内蒙古赤峰市红山区2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学（文）试题含答案解析

2020~2021学年度上学期期末高二质量检测数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．本卷命题范围：必修3，选修1-1.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列赋值语句正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据赋值语句的格式即可判断.【详解】赋值语句的格式为“变量表达式”，“”的左侧只能是单个变量，故A，B，D均不正确．故选：C.2.命题，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题，为存在量词命题，其否定为：，；故选：C3.抛物线准线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，根据抛物线的方程直接写出其准线方程.【详解】抛物线的标准方程为所以，准线方程为.故选：C4.已知x，y是两个变量，下列四个散点图中，x，y呈正相关趋势的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】呈正相关趋势时，散点图应该是从左下到右上趋势，由图可知选项中的散点图是从左下到右上趋势，描述了随着的增加而增加的变化趋势，故选A.5.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程写出，根据焦点位置得渐近线方程．【详解】由题意双曲线标准方程为，，，焦点在轴，渐近线方程为，故选：C．6.已知R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若，则，则成立．而当且时，满足，但不成立；“”是“”的充分不必要条件．故选：．7.某工厂生产了个零件，现将所有零件随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为的样本．已知号、号、号、号零件在样本中，则样本中还有一个零件的编号是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样的概念即得.【详解】∵样本容量为5，

∴样本分段间隔为，

∵4号、16号、40号、52号零件在样本中，

∴样本中还有一个零件的编号是28.故选：B．8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.36 B.48 C.288 D.576【答案】D【解析】【分析】根据程序循环直到满足条件结束即可【详解】由程序框图依次执行：进入循环，满足，推出循环，输出的S=576故选：D9.已知命题p：在平面直角坐标系中，方程表示为一个圆；命题q：当且时，方程表示的直线不过原点．则下列复合命题为真的是（）A.且 B. C.p且q D.p或q【答案】D【解析】【分析】判断命题的真假，根据复合命题的真假判断即可.【详解】p：在平面直角坐标系中，方程表示为一个圆,需满足，故命题p为假命题；命题q：当且时，方程表示的直线不过原点，命题q为真命题.由复合命题的真假可知命题p或q为真命题．故选：D10.下图为射击使用靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取黑色部分（7环到9环）的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据面积型的几何概型求概率公式进行求解．【详解】黑色部分的面积为，该靶子的面积为，由几何概型概率公式可得，所求概率为．故选：D．11.若函数单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导函数，再用分离参数法求出的取值范围.【详解】，若函数单调递增，必有恒成立，可得.故选：D12.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化条件为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，进而可得，由离心率公式即可得解.【详解】由题意，(为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，即，所以离心率.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若A，B为互斥事件，，，则_______________.【答案】0.74【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式计算概率．【详解】∵A，B为互斥事件，∴，.故答案为：0.7414.函数在区间上的平均变化率为_________.【答案】【解析】【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.【详解】函数在区间上的平均变化率为：.故答案为：15.某人连续五周内收到的包裹数分别为3，2，5，1，4，则这5个数据的标准差为______.【答案】【解析】【分析】先计算出平均数，再结合方差公式求出方差，进而得到标准差.【详解】，.故答案：.16.若抛物线与椭圆有一个相同的焦点，则正数a的值为________.【答案】4【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据椭圆性质计算．【详解】抛物线的焦点坐标为，有，得.故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为，且过点.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出后，根据焦点据坐标轴写出标准方程；（2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论．【详解】（1）设所求双曲线的标准方程为，焦距为由题意有，解得故所求双曲线的标准方程为（2）设所求双曲线的标准方程为由题意有，解得故所求双曲线的标准方程为.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，求双曲线标准方程方法：（1）根据已知条件求出后，根据焦点位置得标准方程如；（2）已知渐近线方程为，可以不考虑焦点所在轴，直接设双曲线方程为，代入其他条件求出即可得．18.为了调查某社区中学生的课外活动，对该社区的100名中学生进行了调研，随机抽取了若干名，年龄全部介于13与18之间，将年龄按如下方式分成五组:第一组；第二组；第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三个组的频率之比为，且第二组的频数为4.（1）试估计这100名中学生中年龄在内的人数；（2）求调研中随机抽取的人数.【答案】（1）32；（2）25名.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求样本中年龄在[16，17]内的频率，由此估计该年级学生中年龄在[16，17）内的人数．（2）设图中从左到右前三组的频率分别为，根据频率分布直方图的性质列方程求，再根据频数与频率的关系求抽取人数．【小问1详解】年龄在内的频率为，又，所以估计这100名学生中年龄在内的人数为32.【小问2详解】设图中从左到右前三个组的频率分别为，依题意得，所以，设调研中随机抽取了名学生，则，所以，所以调研中随机抽取了25名学生.19.已知椭圆过点和点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l与椭圆C相交于P､Q两点，若，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由顶点坐标得，即得椭圆方程；（2）设直线的方程为，点P､Q的坐标分别为，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后由弦长公式得弦长，求得，得直线方程．【详解】解：（1）由题意有，，故椭圆C的标准方程为.（2）设直线的方程为，点P､Q的坐标分别为，联立方程，消去后整理为.有联，解得.故直线的方程为.20.已知函数.（1）当时，求函数的极大值与极小值；（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.【答案】（1）的极大值为0,的极小值为（2）2【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用导函数判断的单调性，进而求解；（2）由（1）可得在上的最小值为，由，，可得的最大值为，进而根据求解即可.【详解】解:（1）当时，，所以，令，则或，则当和时，；当时，，则在和上单调递增，在上单调递减,所以的极大值为；的极小值为.（2）由题,，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值即为的极小值；因为,,所以，因为，则，所以.【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力.21.一转眼2020年已经过半，趁着端午小长假，大家都纷纷外出走亲访友，甚至是举杯畅饮，放松一下身心，但是喝酒后千万别驾车上路行驶．为进一步消除道路交通安全隐患，确保节日期间广大市民出行平安，端午节假期前后，某市公安局交管支队第二大队连续开展了5次酒驾醉驾统一行动．交警小王在某路口连续5天对行驶的汽车每隔10辆汽车，就对司机进行酒驾呼气检测一次，确认酒驾检测结果如图所示：（1）问交警小王对驾驶人员的酒驾检测抽查采用的是什么抽样方法？（2）用分层抽样的方法对确认酒驾的驾驶人员进行抽样，若男性司机有4名，则女性司机的应抽取几名？（3）在（2）的条件下，在上述抽出酒驾的驾驶人员中任取2名，求这2名驾驶人员一名是男性，一名是女性的概率．【答案】（1）系统抽样方法；（2）2名；（3）【解析】【分析】（1）根据抽样方法的特征，可直接得出结果；（2）根据题中条件，先计算出被查酒驾的男性司机和女性司机的人数，设女性司机应抽取x名，根据抽样比列出方程求解，即可得出结果；（3）由（2）的结果，用表示被抽取的男性司机，表示被抽取的女性司机，根据列举法分别得出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】（1）交警小王对行驶汽车驾驶人员的酒驾抽样检测，采用的是系统抽样方法；（2）从题意可知，被查酒驾的男性司机：人，女性司机有：人，设女性司机应抽取x名，依题意得，解得，即女性司机的应抽取2名，（3）由（2）的结果，用表示被抽取的男性司机，表示被抽取的女性司机．则所有基本事件的总数为：，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中有1名男性司机，1名女性司机包括的基本事件的总数为：，共8个．所以，这2名驾驶人员一名是男性，一名是女性的概率为.【点睛】本题主要考查抽样方法的判定，以及根据分层抽样确定每层抽取的样本数，考查求古典概型的概率，属于基础题型.22.已知抛物线过点，（1）求物线的方程；（2）为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点的不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，由求解.（2）设点､的坐标分别为，由，易得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理由求解即可.注意直线的斜率不存在的情况.【详解】（1）因为抛