小波变换及其在电力系统中应用

小波变换理论及其在电力系统中的应用1小波变换的根底理论小波变换主要是用于信号处理。信号处理的任务之一是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。“横看成岭侧成峰，远近上下各不同〞。从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。信号变换就是寻求对信号的另一种表示方法，使得比拟复杂的，特征不够明确的信号在变换之后形式变得简单，特征明确。信号最初是以时间〔空间〕的形式来表达的。除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。频率的表示方法是建立在傅里叶分析〔FourierAnalysis〕根底之上的。由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论根底上，提出并开展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换或加窗傅里叶变换。1.1傅立叶变换长期以来，傅立叶变换是信号处理的一个重要数学工具。特别是对于平稳信号的处理，把周期变化的信号表示成一组具有不同频率的正弦信号叠加。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的信号变换到频域中，因此是一种纯频域的分析方法。傅立叶变换表示为：图1随机信号图1是一个随机信号，图2是进行了傅立叶变换之后的频谱图。傅立叶谱线是信号频率统计特征，从表达式也可以看出，他是整个时间域内的积分，没有局局部析信号的功能，傅立叶谱图中完全不包含时域信息。也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这一频率在何时产生，这就是信号分析中面临的一个根本矛盾：时域和频域局部化的矛盾。尤其是对于非平稳信号。图2傅立叶变换频谱图1.2加窗傅立叶变换然而对于突变的，不稳定的信号，我们感兴趣的不止是该信号的频率，尤其关心在不同时间的频率。也就是说要用时间和频率两个信号来刻画该信号，这样显然傅立叶变换是无能为力的。因此出现了加窗傅立叶变换。时时间窗时间幅度假定非平稳信号f(t)在分析窗g〔t〕一个短时间间隔内是平稳的，移动窗函数，使f(t)*g(t-T)在不同的时间段内是平稳信号，进而分析它的频率特性。其作用相当于在t=T处开了一个窗口，然后对整个时间域内进行傅立叶变换。就相当于透过窗口观察原始信号。然而，加窗傅立叶变换只有一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，这就大大制约了它在实际信号分析中的应用。1.3小波变换实际的信号是由多种频率分量组成的，当信号锋利变化时，需要一个较短的时间窗为其提供更多的频率信息。而当信号变化平稳时，需要一个长的时间窗用来描述信号的整体行为。这就导致了小波变换的出现，小波分析是傅立叶分析深入分析开展的里程碑。小波变换在非平稳信号分析中具有独特的优势在于它可以有灵活可变的时频窗口，以适应不同频率分辨率的要求，在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，形象的说小波变换具有“变焦〞的功能，因此常被称为“数学显微镜〞小波基函数表示为：，小波基函数具有波动的特性，在原点附近的波动明显偏离水平轴，在远离原点的地方函数值将迅速衰减为0，整个波动趋于平稳。而对于某一信号函数的小波变换定义为：图3小波基函数变化通过图3可以看出，改变a可以对小波函数进行伸缩变换，改变b可以实现小波函数的平移。从而实现通过改变系数a,b的大小，使小波函数在整个时间域内完成计算。图4是连续小波变换的示意图。图4连续小波变换示意图1.4小波变换的多分辨多尺度分析多分辨分析原理与人类的视觉方式十分接近，例如我们站在月球上看地球，只能看到地球上大概轮廓和地球上凸出的建筑物〔例如中国的万里长城等〕，这就是高频边缘的提取：当我们站在地球上看地球时，一草一木清晰可辨，然而不能看见整体，这就是低频分析。小波可以进行多分辨多尺度分析图5多分辨分析示意图将信号在小波基函数上投影，高频局部为D，低频局部A，相当于用滤波器给原始信号滤波，得到高频和低频分量，然后再进一步应用滤波器，得到更精确的信息。最后可以通过小波重构得到原始信号。S＝A1+D1=A2+D2+D1=……图6为对一随机信号s进行多分辨分析的示意图。在图中高频局部为d，低频局部a，对应着相应的细节和整体的概念。最后也可以通过小波重构得到原始信号S。也可以通过分析得到相应包含的各个频率的谐波成分。图6随即信号的多分辨分析2小波变换在电力系统的应用小波变换已经在各个学科中得到了广泛的应用，主要是用于信号处理。在地质学，控制理论，图象学，医学等很多方面得到应用。这里主要介绍小波变换在电力系统中的应用。2.1输电线路故障诊断输电线路容易发生故障发生故障后暂态行波中包含了丰富的故障信息故障点，故障相，故障距离，故障方向等。精确的故障定位为现场人员提供及时可靠的信息，加快线路修复，减小经济损失。然而这种故障信号都是非平稳信号，这样依据传统的傅立叶变换很难得到故障的信息。图7为对一故障信号进行六层小波分析，再进行重构，第三图进行放大，可以看出故障发生的时间与预先设定的仿真时间相差不多。可以得到所需要的结果。图7故障信号六层小波变换2.2谐波检测谐波检测的原理为对于一个任意函数x〔t〕都可以表示为不同频率的正弦函数的和。对于平稳信号，傅立叶变换分析完全能满足要求，然而谐波多是不平稳信号，所以采用小波变换进行分析。下面是采用傅立叶变换和小波变换进行比拟的图：仿真输入信号为：可以看出u(t)含有3、5和7次谐波，原始信号波形如图8下：图8原始信号波形通过傅立叶变换后波形见图9：图9傅立叶变换波形通过小波变换后波形见图10：图10傅立叶变换波形通过上面这个例子可以看出，小波分析可以得到谐波频率，有效值，相位，同时表达频域和时域的特征。而傅立叶变换只能从整体上表达信号出现的谐波，而不能表达出信号在时域方面的信息。下面是对某一电流信号应用小波变换进行谐波检测的例子。对图11电流信号，取尺度j=3，在matlab下用db4小波进行多尺度一维小波分解，并将各尺度下的低频和高频系数重构，那么可得到图11所示的小波变换多尺度特性。其中，参数d对应的是高频系数，相应的频率分别为d1：400～800Hz；d2：200～400Hz；d3：100～200Hz。参数a对应的是低频系数。相应频带分别是a1：0～400Hz；a2：0～200Hz；a3：0～100Hz。由图11可以看出，通过d2，d3和a3可将原始信号〔电网畸变电流〕中的五次谐波、三次谐波和基波电流分量有效地区分出来，从而实现了利用小波变换进行谐波电流检测的目的。图11小波变换