第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合

第2节排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念知

识

梳

理名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照_____________排成一列组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.不同排列不同组合3.排列数、组合数的公式及性质n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！[常用结论与微点提醒]1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√2.(老教材选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(

) A.12 B.24 C.64 D.81答案B答案2104.(2020·泰安一中月考)某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为(

) A.6 B.12 C.24 D.48答案B5.(2020·东北三省四校模拟)安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有(

) A.360种 B.300种

C.150种

D.125种答案C6.(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).答案1260考点一排列问题【例1】

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】

(2019·青岛二模)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，任务C不能相邻，则不同的执行方案共有(

) A.36种

B.44种

C.48种

D.54种答案B考点二组合问题【例2】

某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】

(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答).答案16考点三分组、分配问题【例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法. (2)(2020·荆门调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答).答案(1)90

(2)90

(3)BC【训练3】(1)(2020·济南一中月考)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每名至少到一名学生家中进行问卷调查，这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为(