冲击响应和阶跃响应课件

5.3冲击响应和阶跃响应1.冲击响应定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即:冲击响应和阶跃响应

因为只有在t=0时,δ（t）才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在t＞0时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即：冲击响应和阶跃响应2.

h(t)求法例:已知电路如图，iL(0-)=0,求iL(t)解：（1）建立电路方程：(1)直接法:（等效初始条件法）冲击响应和阶跃响应(2)将其转换为等效零输入响应：冲击响应和阶跃响应（3）求解：三要素法得：(2)比较系数法

因为由电路系统的（1）问题转为（2）问题，电路系统的解应具有相同的函数形式，一般（1）对于n＞m时，若电路系统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为冲击响应和阶跃响应（2）n=m时，若特征根互异：（3）n<m时，若特征根互异：

若有重根，也可以同理推得公式。因为特征根是由特征方程求得的，那么只要求得系数Ai和αj即可，为此采用比较系数法。冲击响应和阶跃响应例：设描述电路系统I/O微分方程为：

试求其冲击响应h(t)解：（1）求特征根：

方程表为：∴系统微分方程的特征方程为：即

冲击响应和阶跃响应(3)对h(t)求一阶,二阶导数h(1)(t),h(2)(t)

求得(2)设系统的冲击响应为：冲击响应和阶跃响应同理：将y(t)=h(t),f(t)

=δ(t)

等代入给定微分方程得：即冲击响应和阶跃响应左右两端相应项的系数必须相等:∴冲击响应为：

解得：冲击响应和阶跃响应这里我们巧妙地回避了求h(0+)和h(1)(0+)的问题。综上所述，我们将求冲击响应的方法步骤归纳如下：(1)求出电路微分方程的特征根。(2)写出冲击响应解的表达式。(3)对h(t)求导，求导的次数由方程的阶次n决定（注意δ(t)

抽样性）。(4)将h(t)及其导数和δ(t)

代到电路微分方程，比较两端相应项系数（即令其相等），求得Ai，从而得到h(t)。冲击响应和阶跃响应(3)微分法定理：若已知电路系统的阶跃响应为g(t)，则其电路系统的冲击响应由下式决定：例：已知LTIS，当激励为12U(t)时，响应为(24－12e-2t)U(t)，试求单位冲击响应。（2）求h(t)解：（1）单位阶跃：(4)拉普拉斯变换法（留待ch8讨论）冲击响应和阶跃响应2.阶跃响应(1)定义：LTIS在单位阶跃信号作用下，系统产生的零状态响应，叫做单位阶跃响应。即：(1)冲击响应和阶跃响应（2）比较系数法：系统阶跃响应的求法与冲击响应的求法类似，但不同的是，根据U(t)的定义，t>0，U(t)≠0.∴系统的阶跃响应是求解非齐次方程（0初条），它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得：强迫响应：(2)求阶跃响应的常用方法（1）由h(t)→g(t)冲击响应和阶跃响应∵方程（1）中左端最高阶为g(n)(t)，右端最高阶为U(m)(t)∴即使m=n，g(t)中也不会包含δ(t),

故在n≥m时，若（1）式特征根互异，则自由响应：故由此可采用求冲击响应类似的方法，求得g(t)冲击响应和阶跃响应(1)线性性（即迭加性和均匀性）定理1：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的：a.响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响应，零状态响应。b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。c.零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。3.LTI电路系统的基本性质冲击响应和阶跃响应注意：（1）当系统同时存在n个激励时，系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性关系。（2）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。（3）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输入线性，零状态线性。冲击响应和阶跃响应

我们对第二条进行证明设一阶电路方程为（1）叠加性若x1(t)，x2(t)分别激励系统时，相应的零状态响应为y1(t)和y2(t)，它们应当满足方程（1）（1）（2）（3）冲击响应和阶跃响应将上两式相加得：（4）如果在t=0时，在电路中的相同位置上，同时加入x1(t)+x2(t)，则相应的零状态响应为y(t)，则必然有根据微分方程的唯一性充分条件，式（4）和（5）中，初始状态和激励相同，而1/τ仅决定于电路结构和元件参数，也应是相同的。所以其解也必然相同。（5）冲击响应和阶跃响应这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。（2）若在上述同一电路的相同位置，t=0时接入激励αx1(t)

α是实数，相应的零状态响应为y3(t)，则：（6）而如果用α

同时乘方程（2）的两边，则得：（7）于是：y(t)=y1(t)+y2(t)冲击响应和阶跃响应根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（6）（7）两式得：这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。

由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。冲击响应和阶跃响应(2).延时不变性：（定常特性）定理2：若线性时不变系统，输入为f(t)时，引起的响应为y(t),则输入为f(t-τ)

时，引起的响应为y(t-τ)

。这就是说，响应的波形与输入的时间无关，仅是起点改变。即若f(t)→yzs(t)，则冲击响应和阶跃响应(3).微分特性：定理3：若线性时不变系统在激励f(t)作用下，产生零状态响应为yzs(t)，则当激励为f‘(t)

时，其响应为y’(t)

f(t)零状态yzs(t)冲击响应和阶跃响应证明：因为f(t)→y(t)

根据延时不变性：f(t－△t)→y(t－△t)

又因为系统具有叠加性和均匀性：根据导数的定义有：∴证毕。冲击响应和阶跃响应推论：（1）这个特性可以推广至高阶导数和积分。（2）对几个典型的信号有：冲击响应和阶跃响应(4).因果特性：a.因果系统：如果t<t0时，系统的激励信号为0，相应的输出响应在t<t0时也等于0，则这样的系统称为因果系统。b.因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激励引起的效果，或者说系统没有预知未来的能力，只有在激励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。

一切物理可实现系统都是因果系统，都具有因果特性。由常系数微分方程描述的系统都是因果系统，都满足因果性，因此，因果系统的充分必要条件是：

h(t)=0(t<0)

g(t)=0(t<0)冲击响应和阶跃响应例：某LTIS，在相同的初始状态下，输入为f(t)时，响应为：y(t)=(2e-3t+sin2t)U(t)

，输入为2f(t)时，响应为：y(t)=(2e-3t+2sin2t)U(t)

试求：（1）初态加