数形结合概念通透学习的力量 论文

数形结合概念学习通透的力量摘要：针对当前小学生在数学概念学习中的问题，分析数学概念的特点以及学生形成数学概念的思维路径，尝试从数学的两个最基本的研——数与形出发，总结提炼基于数形结合的小学数学概念教，帮助小学生构建概念本质，形成概念构，提高学生的思维能力，进一步提升学生的数学素养。关键词：数学概念，数形结合，教学策略引言：数学概念反映的是现实对象的数量关系和空间形式的本质特征。其表现形态是高度概括、精确的语言。因其抽象的内容、静态的呈现方式以及在教材中的点状分布，导致学生学习数学概念很困难，如何突破该学习难点？教师可以从数学中的两个最基本的研究对象数与形出发，探寻数形结合揭示概念本质的教学策略。一、小学数学概念很在市2020-2021学年度第二学期五年级期末测试卷中有一道判断题：棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。我校504班44人参与测试，8人答错，错误率18.18%。无独有偶，人教版三年级下册课本第74页上有这样一道判断题：边长4米的正方形，它的周长和面积相等。之前在我校304班学生学完《正方形的面积》一课之后，笔者立即进行了后测。参与测试的52人中，30人认为这题是正确的，错误率高达57.69%。看来，无论是在刚刚建构数学概念之时，还是在经历多轮巩固练习消化吸收之后，总有学生分不清概念周长与面积、表面积和体积。“他们是怎样想的呢？”笔者对504班学生进行了访谈。判断失误的学生认为：“正方体表面积和体积计算公式S=6a²、V=a³，棱长是6厘米的正方体的表面积和体积都是6×6×6=216，所以它的表面积和体积相等。”能正确判断的学生认为：“正方体表面积是一个面的大小，是二维的；正方的体积是它所占空间的大小，是三维的，它们无法”。对比两种观点，错误判断的学生关注的是表面积和体积怎样计算，正确判断的学生抓住了表面积和体积概念的形状。不仅周长、面积、体积学生易错，在小学数学学习中，还有许多概念是学生很难把握的。例如：正反比例概念。人教版六年级上册课本第49页和基础训练出现了这样两道题（见图1）。也是让我们教师教的很抓狂的比例的两种量的变化方向，却很难get到这种变化方向后的本质，不能正确判断。不仅如此，学生画出的正比例图像竟然是线段，有的还拐弯。正比例意义教学之后，学生完成了这样一道题（见图2），从学生的答题中发现：学生已经从水时间成正比例了，可画出的正比例图像竟然是线段，还拐弯了。细细想来，从学生的角度出发，这种错误也情有可原。学生已有的经验是在学习折线统计图时的描学生是把那时的经验迁移所致。可见，小学数学概念是多么难学。图1图2二、小学数学概念为什么这1．概念的内容是抽象的。数学概念为什么这么难学？宋乃庆认为，数学概念是“客观世界中数量关系和空间形式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物的共同属性的思维形式。”[1]。其学术形态是高度概括、精确的语言。在小学数学课本中，以简短的文字呈现的。在抽象的文字中往往包含着子概念。例如：人教版六年级下册课本呈现的正比例概念（见图3），短短的几行字中就包含“相关联”“变量”“比值一定”等字眼。对六年级学生而言，理解静态的离散的数比较容易，要感知动态的、连续的、变化的量，而且还要理解量变化现象的背后是比值一定，很困难。图3，图42.概念的呈现方式是静止的。抽象的数学概念，如图文并茂，可有助于学生理解。但教材因篇幅限制，图示往往较少，并且是静态的。学生看到的是思维的结果，而看不到思维的过程。如教材给出了正比例图像（见图4）。“正比例图像是如何形成的？看似很像折线统点？”学生不得而知。3.小学数学教材中的概念呈点状分布。小学数学教材中概念编排呈螺旋式上升结构，对应了小学生思维由简单到复杂的特点。同时，小学生的思维还具有连续性、整体性的特点，小学数学教材中概念的点状分布也给学生整体构建概念带来困难。例如：在小学三年级学了分数的初步认识之后，在三年级下册和四年级并没有接着学习分数，在五年级下册继续学习分数。这样的编排方式割断了学生对数概念整体性结构的认识。三、学生形成数学概念的思关于数学概念的形成与建构，发展心理学、认知心理学和教育心理学开展了许多研究，著名的成果有杜宾斯基的APOS理论，该理论被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一。该理论认为概念形成经历四个阶段：活动阶段、过程阶段、对象阶段和图示阶段。[2]一般来说，先经历上一阶段再进入下一阶段5）图5《义务教育数学课201版）》指出，数学是研究数量[3]“数”与“形”是数学的两大研究对象，也可以认为是数学知识的表征形“形”主要提供研究的对象和辅助思考的工具，“数”则是为研究提供必要的工具、方法、视角，将研究向更深入、更抽象方向引领的关键。通过对学生学习概念的现状、学习难度分析，学生形成概念的思维路径的学习，我们提出了《基于数形结合的小学数学概念教学的实践研究》，以课堂教学研究为主线，开展了一系列较用数形结合的方式，让学生亲历概念的形成过程，使抽象的数学概念变得直观、形象，继而掌握概念本质，构建系统的数学知识体系，进而获得思维能力和核心素养的提升。四、基于数形结合的小学数学概念近年来，我们提炼出以下基于数形结合的小学数学概念教学策略。策略一，数形表征“前概念”，激活概念生长点。前概念，指的是学生在概念学习之前在生活和学习过程中形成的对概念的认知和了解。把陌生的知识放到学生熟悉的情境中，既可激发学生学习兴趣，又可激活在概念教学中，以前概念为起点，从数与形的角度激活前概念，打通前概念与概念的通道。例如：人教版教材对周长是这样定义的：“封闭图形”学生没有“一周”的经验，但有“一”的生活经验，体育课上有围绕操场跑步的体生活中的“一圈”可以抽象成数”。我设计了这样的学习活动行体育锻炼，每天围着操场跑一圈，他跑对了吗？操场一周有多长呢（见图6）？”本案例中，创设乐乐操场跑步的情境，激发学生的前概念“一圈”。通过3次“跑一圈”2的对比，将前概念“一圈”抽象为”，初步建立一周之形表象量和计算操场的周长，使学生将周长与一周的长度建立关联，为从数形结合的角度理解周长概念搭好桥梁，作好铺垫。图6策略二，数形表征操作，积累概念表象。概念表象就是通过感官形成的对概念的感性认识。概念表象，对学生掌握概念来说非常重要，感性认识丰富，表象就清晰，想象就生动，理解和掌握概念就更容易。教学中重视引导学生数形表征操作，促进操作经验的内化；并借助表象”。1.数表征操作。数表征操作指文字、数、代数式来表征概念，以及三者之间的相互转换达成对概念的理解。以《正比例的意义》教学为例：①从数据变化的角度初步认识相关联的量。相关联的量是正比例概念的上位概念，是学习相关联？”对学生来说比较抽象。教学中，我出示四组材料（见图7），让学生观察感受一个量变化，另一个量也随之变化，从而清楚地认识相关联的量，为理解正比例关系作好铺垫。图7②数、文字与代数式之间的转化表征正比例概念。出示一种丝带销售数量与总价的关系表格（见图8），“仔细观察，表中有哪两种量？你能发现总价和数量是怎样相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？”借助3个关键问题，让学生充分经历量的变化过程，发现总价和数量之间的变化规律，同时将目光聚焦到变化中的联系，并归纳出数学关系式，实现数、文字与代数式之间的转化来表征正比例。图82.形表征操作。形表征操作是指利用实物、图形、图像、符号等表征概念，并通过图形的比较与动态变化达成对概念的理解。以《正比例的意义》教学为例：（1）数形对应，动态形成图像。“将表格中的数量与总价看成一个个数对，把它们表示出来，并按一定的顺序连起来，”“这一条线段可以向两延伸到数对（0，0），数对（0，0）表示什么？”“如果买了a米这样的彩带，付了b元钱，a和b有怎样的关学生在数表征正比例概念时，已征。通过描点，连线，与原点沟通联系。同时利用多媒体动态演示，a和b都是一对一对出现的（见图9）。随着直线不断向上延伸，学生清晰地感受到另一种量也在不断扩大。学生经历直观想象、抽象、建立模型等过程，丰富正比例概念表象。图9数形对应，动态形成图像（2）在点的位置对比中明晰对应变量中的不变量。“如果4米彩带16元，这个点也在这条直线上吗？11米彩带38.5元呢？想一想：在这条直线上的点有什么特点？不在这条直线上的点呢？（见图10）”教学中，我增加了2组数据描点的环节，一个点在这条直线上，一个点不在这条直线上。通过正例与反例的对比，学生看清了两个变量之间的关系，突破正比例教学难点，形成正比例图像，初步感受函数思想。图10策略三，数形表征沟通与转化，构建概念完整图示。数表征与形表征的信息可以相互选择和转化，数表征与形表征结合在一起进行储存形成概念图示，可以丰富儿童对概念内11），这是数形结合学基本观念。以五年级《分数的意义》教学为例，设计学习活动：用多种方法表征四分之三。图形表征出分数部分与整体的关系；数表征出分数的测量意义，分数是数出来的；数轴表征实现了分数是一个数。通过数表征和形表征之间寻找关联，学生体会到不同形态分数之间的结构性相似，从而抽象出分12）。再如：《因数和一课，学生从数的角度找出一个数因数和倍数的特点。在此基础上，用数轴的从1乘几开始，一对一对往里缩，直至最中心，从而理解一个数最小因数与最大因数的特点。通过数轴，更能直观的看出一个数因数和倍数之”，倍数“有头无尾”与线段和射线产13）。数与形的沟通和转化凸显因数和倍数的特征，使学生对这部分知识的理解走向深刻。图11数形结合概念图示，图12分数概念图示图13因数与倍数概念图示策略四，数形结合应用概念深度理解概念模型。小学生形成数学概念，经历感知——表象——抽象——具体的过程。从抽象到具体就是概念应用。《数学课程标准》强调“应”，既要用数学的概念、原理和方决生活中的问题；又要将生活中与数形有关的问题数学化。[4]把学过的数学知识放到陌生的情境中解决问题，促进学生将获得的概念进行内化、重构、迁移，形成经验。在《周长的认识》中，设计活动：“你能想办法测量雨山湖的”（见图14）运用已有的“绕”—“打开拉直”—“量长度”的方法已不方便解决测量湖周长的问题要想解决这个问题，需要重新展开思考。在思考测量周长策略的同时，不仅实现对周长本质的理解，更能实现思维的创新。再如：在《三角形的面积》一课，用这样的题组引发学生对概念的重构（见图15），在层层递进的练习中，引发学生深和高之间的关系。在内化中重构三角形概念。图14图15策略五，数形结合关联结构，形成概念体系。任何数学概念都不能孤立存在，总存在于概念体系中。学习一个新概念之后，教师要从纵向与横向出发，把新概念与以前学过的有关概念联系起来，使学生弄清楚它们之间的关系，建立一个”。例如，周长概念可以这样关联：“长度50厘米。它有魔力，能围成这些封闭图形（见图16），你知道这些图形的周长吗五节棍的长度50厘米，为什么由它围成的图形却是周长50厘米？这四个封闭图形不一样大，怎么周长都是50厘米？”通过以上梳理活动，使学生把周长和长度建立关联形大，周长长；图形小”，一直是部分学生的错误想法。通过成不同封闭图形周长的比较，使学生感知：虽然面的大小和一周的长短同存于一个图形中，它们之间不一定存在正向的变化关17）。图16，图17周长概念框架图再如：学完四则运算后，借助数轴，沟通加减乘除之间的联系：加法是在数轴上向右平移，减法是向相反的方向平移，减法和加法互为逆运算。乘法是几个几个的向右平移，乘法是加法的简便运算，除法是几个几个的向左平移，乘法和除法互为逆运算，同时除法和减法都是向左平移，除法是减法的简便运算。这样，借助数轴，建立以加法为核心的四则运算关系图示（见图18）。图18四则运算关系图示在概念教学中，挖掘概念中的“数”是什么、“用以形助数或以数解形的方法，从数表征、形表征、数形结合表征概念入手。在数表征概念中，力求提供丰富的实例，在分类与比较中形成概念表象。在形表征概念中，力求通过观察、操作、想象形成概念之