平面向量、复数-2021年江苏省新高考数学三轮冲刺专项突破（解析版）

2021年江苏省新高考数学三轮冲刺专项突破

专题05平面向量、复数

一、单项选择题

-14-5/

1.若复数2=——其中/•为虚数单位，则Z的虚部是（）

1+Z

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】A

【详解】

T+5i一(-1+5,)(1_

因为复数z--乙I,

1+z(l+z)(l-z)

所以z的虚部是3,

故选：A

2.若复数土卫（i为虚数单位，aeR）为纯虚数，则“的值为（）

1+i

A.-4B.-3C.3D.5

【答案】A

【详解】

4+ai_（4+az）（l-z）_（4+a）+（a-4）i_4+aa-4.

1+i-（l+z）（l-z）-2-+'

因为该复数为纯虚数，所以a+4=0，a—4=0,所以a=-4.

故选：A.

3.若复数z满足|z-l+—2i|,其中i为虚数单位，则z对应的点(x,y)满足方程()

A.=5B.(x-1)-+(y+l)2=5

C.(x+1)2+(y-l)2=5D.(x+])2+(y+l『=5

【答案】B

【详解】

设z=x+yi(x,ywR),代入=得:(x-1)2+(y+l)2=5.

4.知复数z(l+2i)=3-，(其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应点在(

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

3-z(3-/)(l-2z)1-7/17.

【解析】由已知得2=----=-：­：==Z

l+2z(l+2z)(l-2z)555

]__7

所以复数z在复平面上所对应的点为5，-5,在第四象限，故选：D.

【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.

1-4-7

5.已知复数z=1+i，5为z的共朝复数，则()

Z

A,史1+il-3il+3i

B.——C.D.

22"T"

【答案】D

1+z2+z(2+z)(l+z)l+3z

【解析】，故选：D.

z1-z22

【点睛】本题考查了复数代数形式的四则运算以及共知复数，属于基础题.

2-2020

6.设/为虚数单位，aeR,“复数z=^——是纯虚数"是“a=l”的（）

21-i

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

a2,020a21a21+ia211.

【解析】复数z=<一二1是纯虚数,

21-i21-i2(l-i)(l+i)222

则“2=1，a=±l,a=±l是。=1的必要不充分条件，故选：B.

【点睛】本题考查了复数的概念以及充分条件和必要条件的判别，属于基础题.

7.已知i是虚数单位，在复平面内，复数一2+i和l-3i对应的点之间的距离是（）

A.V5B.回C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.

【详解】由于复数一2+i和1—31对应的点分别为（一2,1）,（1,-3）,

因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为J（—2—1）2+（1+3）2=5.

故选：C.

8.已知。|=3,|b|=4,则“|；+E|=7”是“向量；与一共线”的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据|a+b|=7,得到两个向量的夹角为0,又向量a与b共线，可得两个向量的夹角为0或e结

合充分条件和必要条件的定义，分析即可.

【解答】解：因为|a+bl=7,则有|之+2|cos0+|b|2=49,

又lal=3,|bl=4,

则有cos。=1,所以0=0,

又向量a与b共线，则有8=0或IT,

所以“la+bl=7”是“向量a与b共线”的充分而不必要条件.

故选：A.

【知识点】充分条件、必要条件、充要条件

9.在回。八8中，点P为边上的一点，且Q=2万，点Q为直线0P上的任意一点（与点。不重合），且满

足丽=4函+4砺，贝U?=（

)

1

A.1B.2C.-1D.一

2

【答案】D

【详解】

解：如图，因为点。，P,Q三点共线，且点Q与点。不重合，所以存在非零实数大满足的=4而，又

____________2__.1___0__.__.__.2___2/L__.

AP=2PB^所以丽=丽+丽=/§通/砺，则丽=九丽=§丽+彳丽，又

OQ=2)OA+2,,所以4=：,4=斗，所以？=不.

3342

故选：D.

10.已知复数4=2-戛Z2=l+2i(z•为虚数单位)、Z3在复平面上对应的点分别为A、B、C,若四边形

Q4BC为平行四边形(0为复平面的坐标原点)，则复数Z3的模为()

A.回B.75C.5D.1()

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出

【详解】解：因为复数4=2-骁22=1+27(，为虚数单位)、23在复平面上对应的点分别为4B、C,

所以4(2,—1),3(1,2),

设C(x,y),因为OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，

所以血=反，

X——]

所以(-l,3)=(x,y),所以《一.，

1'=3

所以Z3=-l+3i,所以%|=J(—l)2+32=，

故选：A

11.设复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z,=2-i,则Z|Z2=()

A.-5B.5C.4+zD.4-z

【答案】A

【解析】Z=2-i对应的点的坐标为(2,T),

•••复数Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

二(关于虚轴对称的点的坐标为(-则对应的复数，

2,1)2,-1),z2=-2-i,

则ZE?=(2_i)(-2_i)=(T)2_22=_]_4=_5,故选：A.

【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.

12.矩形ABCO中，AB=1,AD=2,AC与3。相交于点。，过点A作AELBD，则荏.觉=()

24

B.

25

4

D.

5

【答案】D

【解析】建立如图所示直角坐标系:

V

则A(O,1),B(0,0),C(2,0),£)(2,1),设E(x,y)所以通=(%,y-1),BE=(%,y),丽=(2,1)

•.•靠1而且丽/丽

2

x——

2x…+y—1=。0’解叫5，二啜），荏=（14反=修

15

y=—

-5

AE-EC=-x-+\——x——=一.故选：D

5515八5）5

13.（2021•江苏苏州市•高三期末）已知AABC为等边三角形，AB=2,AABC所在平面内的点尸满足

|市-福-园=1,网的最小值为（）

A.V3-1B,2V2-Ic.273-1D.币-1

【答案】C

【分析】

计算出|通+北|的值，利用向量模的三角不等式可求得|%耳的最小值.

【详解】

22

-\AB+AC^AB+AC+2AB-AC^\AB^+\Ac[+2\AB[\AC\COs^n,

所以，|福+恁卜26,

由平面向量模的三角不等式可得

网=|（丽—丽一硝+（而+码2|AP-AB-AC|-|AB+AC||=2V3-I.

当旦仅当丽-丽-前1与A月+/方向相反时，等号成立.

因此，网的最小值为24-L

故选：C.

【点睛】

结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：

小川第+阵

14.（2021•江苏高三专题练习）在平行四边形A8CD中，M,N分别为A8,AD上的点，连接AC,/WN交于

—.1—.——3———.

点P.已知AP=§AC且若4V=则实数％的值为（）

1323

A.-B.-C.一D..

2534

【答案】B

【分析】

—4......—.1—.—1—►

由条件可知A6=—AM,AD=74V,因为AP=-AC,代入丽和而，利用三点共线，系数和为1,

3/I3

可求出4的值.

【详解】

----3----4

AM=-AB,则A8=—AM

43

AN=AAD-则赤=丁丽

A

AP=-AC=-（AB+AD）=-AM+—AN

33932

413

0P,M，N共线，0—I——1,134=—

9325

故选：B.

【点睛】

思路点睛：（1）点为两直线的交点，可利用向量共线的方法，先利用一条向量共线求出等量关系，再代入

另一条向量共线，根据系数和为1,可求出参数值.

（2）若P,民。三点共线，点A为线外•点，则有Q=a荏+〃而，且丸+〃=1.

7T

15.（2021•江苏高三专题练习）在AABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若乙4="，

6

△A6C的面积为百，则俞.丽取最小值时，BC=（）

A.2B.4C.86一12D.^^-4

3

【答案】A

【分析】

根据题中条件，先得到AB-AC，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到疝■•丽的最小值，以

及取得最小值时|而|与|前|的值，最后根据余弦定理，即可求出结果.

【详解】

因为在AABC中，ZA=-,AABC的面积为、Q,

6

所以b=」AB?ACsin工，则AB?AC4百，

26

乂加是边6c的中点，N是线段5M的中点，

所以宿="而+正）,

..1

+-AB+-通+;恁,

2G

|2

则砌.丽=g回+硝•（1而+；ACH福.恁+押

I网*网码cos湾硝邛网砌+乎画国邛网国=6.

AB=2

当且仅当J可而|=|44,即＜'广时，等号成立，

AC=26

所以在△43C中，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA=4+12-2x2x2y/3x—=4^

2

则BC=2.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定疝■.前取得最小值的条件，根据

三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.

16.如图，AB是圆0的一条直径且AB=2，EF是圆。的一条弦，且上户=1，点P在线段£尸上，则

中.丽的最小值是（）

E

F

13

C.一一D.——

24

【答案】B

【分析】

uiruiruun2

根据平面向量的线性运算法则，得到-1,再由圆的性质，得到的最小值,即可得出

结果

【详解】

由题意可得，

丽.丽=（而+丽•即+网=（而+a）.（用_场）=|呵一画2=|呵,

为使|0尸|最小，只需OP_LEF,根据圆的性质可得，此时P为石尸中点时；

UUD

又EF=1,因此PO

min

所以丽•丽的最小值为T

故选：B.

17.平行四边形A3CD中，AB=4，4）=3,NBAD=60，。为CO中点，点?在对角线3。上，且

BP=ABD）若/，诙，则；1=（）

【答案】A

【解析】

以点A为坐标原点，AD所在直线为大轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则4（0,0）、8（2,2@、C（5,2⑹、£＞（3,0）、网,

AB=（2,273）,丽=（1,-2@,而=4而=卜,_2向），

所以，AP=AB+BP=（2+A,2y/3-2y/3^,

■.■BQ=（2,-s/3）,APYBQ,则福•即=2（2+4）一百（26—26/1）=84一2=0,

因此，％=1.

4

故选：A.

18.如图，在△ABC中，石』五，版』正，8E和CD相交于点F,则向量正等于（）

42

8

A

【答案】B

【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得：CF=^AB-AAC.再由三角形法则可求向量标.

77

【解答】解：设而=4而=A（AD-AC）=k（lAB-AC）.

4

；BF=BC+CF=A（AAB-AO+AC-AB=（工A-I）AB+（1-A）AC，BE=AE-AB=^

442

AC-AB.

VBF^BE，.,.BF=ABE，则』…）标+（1-A）瓦=入（工正-标）.

42

TA

-k-l=-入

CF=」AB-殳AC，，AF=AC+CF=2AB+WAC

l-k=1X77777

故选：B.

19.在AABC中，AC=9,ZA=60。，。点满足而=2丽,后，则BC的长为（）

A.3sB.376C.3>/3D.6

【答案】A

【解析】

【分析】把通用而，而表示后，利川模的平方转化为数量积计算可求得AB.然后再由余弦定理得BC.

【详解】因为B=2£）月，

____119,1

所以4万=加+8方=4与+—86=46+—（4。一4月）=一48+—43,

3333

设AB=x，则而2=(2而得37=±X2+±XXX9COS60°+4X92,

U3)999

即2犬+9%—126=0，因为x>0,故解得无=6,即A3=6,

所以3C=y/AB2+AC2-2ABACcos60°=^62+92-2x6x9x1=3s.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量在几何中的应用，解题关键是利用向量的线性运算表示出向量，然后

平方抒发向量的模转化为数量积的运算，即利用数量积求线段长.

20.已知非零向量a，b满足|a|=2也|,若函数/(x)=>L?+L|aH+abx+l在R上存在极值，则a和b夹角

32

的取值范围是()

A.[0,卷)B,(2L,兀]c,(A,12L]D.4，K]

63333

【答案】B

【分析】先求导数p(x)=x2+G|x+Z・E，而根据/(X)在R上存在极值便有，GO=0有两个不同

实数根，从而△=|之|2_公用>0,这样即可得到cos<；,b><y>这样由余弦函数的图象

便可得出<Z,5〉的范围，即得出向量；，了夹角的取值范围.

【解答】解：F(x)=x?+1a|x+a,b；

'：f(x)在R上存在极值；

：.f(x)=0有两个不同实数根；

,•△=|a12-4a,b>0；

即|a12-4Ia11b|cos<Ca，b>>0，Ial=21bI；

百二2|E二1；

cos<Ca,b><

4|bI"4lbI"2,

b〉《冗；

o

•••W与E夹角的取值范围为嚎，兀］.

故选:B.

【知识点】函数在某点取得极值的条件、平面向量数量积的性质及其运算

21.如图，若说=万，诟=5，OC=c>8是线段AC靠近点。的一个四等分点，则下列等式成立的是

()

4-1

A.c=-b--aB.c=—b+—a

3633

4一1

C.c=—b——aD.

3336

【答案】C

————1——1/——\4—1—•4一1

【解析】C=OC=OB+BC=OB^-AB=OB+-(OB-OA]=-OB一-OA=-b一一1.故选C.

33、73333

22.已知M是△ABC内的一点，且A由不？=4百，ABAC=30°,若AMBC,ZJ0C4和人设43的面积

19

分别为1，x,y,则一+一的最小值是（）

%y

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【详解】

由，百ZBAC=30°,

可得|而I-|AC|=8,故S.A8c=g|丽，恁I.sinN8AC=2,

即x+y+l=2,x+y=l,且x>0,y>0,

..1919.,、y9x,cJy9x.，/

故—i—=(z—I—),(x+y)=—I------F10>21-----F1n0=16,

xyxy'xy\xy

y9x

当且仅当上=——，即y=3x时取等，

xy

23.如图，在△ABC中，AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,AF=xAB+yAC，则(%,切为()

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题.

根据40=2DB,AE=3EC,利用8、F、E三点共线和C、F、。三点共线分别表示出向量衣，根据平面

向量基本定理可求出x、y的值.

【解答】

解：•••AD=2DB,AE=3EC,

设丽=X~BE,CF="而,

：.AF=AB+'BF=AB+ABE

=AB+A(^AC-48)=(1-A)74C,

且而=AC+CF=AC+nCD

=南+〃(海-前)=|〃荏+(1-0正,

l-A=-/zA=-

3解得《3

可得3V

U=-

六2

所以存=^AB+^AC,

因为都=%而+丫而，

所以％=l，y=|，

则(％y)为©[),

故选A.

24.在AABC中，"是边8C的中点，N是线段的中点.若NA=g,△A3C的面积为石，贝！I

6

而心丽取最小值时，BC=()

A.2B.4C.873-12D.1^-4

3

【答案】A

【分析】

根据题中条件，先得到A8，AC，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到说.丽的最小值，以

及取得最小值时B同与伍。的值，最后根据余弦定理，即可求出结果.

【详解】

因为在AABC中，44=工，△A3C的面积为百，

所以6=段函•〔祠sin*则通.前=48，

又M是边的中点，N是线段5M的中点,

所以前=^（AB+AC）,

A8=2

当且仅当丽|=|恁J,即＜'广时，等号成立,

AC=2V3

所以在△ABC中，

由余弦定理可得：5C2=A52+AC2-2^-ACcosA=4+12-2x2x2V3x—=4，

2

则3c=2.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定猛.而取得最小值的条件，根据

三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.

25.（2021•江苏苏州市•高三开学考试）如图，在斜坐标系xOy中，X轴、y轴相交成60。角，1、1分别

是与％轴、＞轴正方向同向的单位向量，若向量方=x[+yN，则称有序实数对＜x,y＞为向量而的坐

标，记作OP=<x,y>.在此斜坐标系中，已知向量。=<2,3>,b=<—5,2>>则〃、加夹角的大

小为（）

5乃

D.~6

【答案】C

【分析】

W的值，可计算得出cos<£出〉的值，即

由已知可得。=2。+3弓,b=-5e14-2e2»计算出

可求得1、B的夹角.

【详解】

由己知可得。=2e}+3e2,b——5q+2c),

由平面向量数於枳的定义可得=|不同cos60=g,

a-b=(2q+3.)(—5q+2.)=-10q_1lq,/+6e?=—10—1lx—+6=——

—•*・2i

+12q,e?+9^={T9，

W=J"家+2寸=J—•2—•—•—•2f

25q-20q•/+4/=39，

19

_7a-h71

cos<a,b>=||.=—j=—-r==——j

棉MxM2

__——27r__2兀

0<<ci,b><7t»所以，<a,b>=—,因此，Q、B的夹角为飞-。

33

故选：c.

【点睛】

-ra,b

方法点睛：求平面向量的夹角一般利用向量夹角的余弦公式cos<a,b>=E万，同时要注意向量夹角的取

1TH

值范围.

26.已知L4B1AC,AB=AC,点M满足新=1南+(1-t)而，若NB4M=%则f的值为()

A.V3-V2B.V2-1C.芋D.等

【答案】C

【解析】解：如图所示，建立直角坐标系.4(0,0).

不妨设C(3,0),8(0,3),

••,点M满足宿=t荏+(1-t)尼，二点M在2c上.

设|4M|=a,则acos/+；a=3,解得a=3遍一3.

...”(手夸).

•••点M满足宿=tAB+(1-t)AC，

—=0+(1-t)x3,解得t=以

2、，2

故选：c.

如图所示，建立直角坐标系.4(0,0).不妨设C(3,0),8(0,3),由点M满足祠=t^+(1-t)近，可得点

M在BC匕设依M|=a,则acos：+1a=3,解得a.可得M坐标.利用点例满足前=tAB+(1一t)就，

向量相等即可得出.

本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

27.（2021•江苏高三月考汜知直线y=x+l上有两点A（4,4），3（%也），且4>4，已知若IA8|=2+JL

且％,伉,，满足21aM2+b[b,\=Qa；+b;.Ja；+b；,则这样的点A个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

rr2乃

设砺和丽的夹角为。，由已知条件可得出6=1■或6=奇，由正弦定理可得AQ4B外接圆的半径为

注2,由此可以求出圆心C到直线y=x+l的距离为1=虚望，进而推出外接圆圆心所在直线的方

V36

程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点A,从而可以求出A点的

个数.

【详解】

因为直线y=x+l上有两点A（q,4）,8（出也）,且外>。2,

设砺和丽的夹角为。，则。4=（乌，4）,OB=（a2,b2）,OAOB=a}a2+hxb2.

网卜击「+42,西=也+仇2,

所以2kw+*21=Ja；+片-7^2+bl即转化为21。4•。,=|。4卜]。耳,

因为砺.砺〔=21函卜|丽卜os6|,

所以彳砺冈砺卜os6|=|砺卜|砺卜解得：cos6=±g,

rr27r

因为所以。=—或。=—，

33

若IA间=2+JL由正弦定理可得A045外接圆的半径为一——=2±在，

112sinZAO8

设AQ4B外接圆的圆心为C,则C到直线y=x+1的距离为4=12百+、V2+1

所以圆心在与直线y=x+l平行且距离为虐%的两条平行直线y=x+1t2+l,y=x+l—变二上,

JI.C到原点。的距离为生处,

V3

V2+2

原点。到直线丁=%+也二+的距离为，

1F+1V2+2+V32+V2,

V3d=76>G

所以直线,=、+等+】上面不存在这样的点C,

V2+2,

原点0到直线y=x+1—«宏2的距离为&_

丁一1V2+2-V32+V2，

V2

所以直线y=x+l-Y罢上存在两个这样的点C到原点的距离为

V3G

一个点C对应一个点A，所以这样的点A有2个,

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是2ko2+她|=*：+斤.如+区即转化为4次.西=|研x］的,利用数

jr27r

量积的定义求出。4和湿的夹角。=3'或

弦长|A5|=2+应为定值，所对角为定值，所以有确定的外接圆，每一个外接圆对应一个点A,利

用弦心距、弦长的一半、半径满足勾股定理，求出圆心。到直线y=x+l的距离为d=■，可以判断

圆心在与直线y=x+i平行且距离为乌上的两条平行直线，利用圆心到两条平行线的距离与

。4=2也比较即可确定点。的个数，进而得点A的个数，属于难题.

二、多项选择题

28.已知向量2=(1,3),5=(—2,1),5=(3,-5),则()

A.(a+2b)//cB.(n+26)lc

C.|5+c|=>/i0+x/34D.|a+c|=2|^|

【答案】AD

【详解】

由题意可得1+2日=（一3,5），万+不=（4,—2）.因为万+23=—5，所以（2+25）〃^，则A正确，8错误;

对于C,D,因为B+4=,42+(-2)2=2右,5=J(-2>+1=逐,所以1+乙=2忖，则C错误，D正

确.

29.在复平面内，下列说法正确的是（）

若复数（/为虚数单位），则30

A.z=^z：—1

B.若复数z满足Z2£R,则ZGR

若复数z=a+bi（a,h^R）,则z为纯虚数的充要条件是a=0

D.若复数z满足|z|=l,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，以1为半径的圆

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据复数的运算及相关概念一一判断可得；

【详解】解：对于A:Z=—=,/=_1，/=],所以23。=产=产7+2=/=一[,故

1-i+z)

A正确；

对于B：设2=。+初，a,b^R,所以z2=(a+4)2="—〃+2a初，若z26R,则2诞=0,则

。=(),〃工()或。=(),。工()或々=方=0，当b=0时zwR，故B错误；

复数z=a+初(a,Z?eR),则z为纯虚数的充要条件是a=0且岳父)，故C错误；

若复数z满足目=1,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，以1为半径的圆，故D正确；

故选：AD

【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.

30.(2021•江苏徐州市滁州一中高三期末)已知抛物线：/=2〃%(〃>0)上三点4(和%)、5(1,2),

C(x2,y2),尸为抛物线的焦点，贝||()

A.抛物线的准线方程为y=-l

B.若衣+旃+#=6,则|AF|、忸尸|、|CF|成等差数列

C.若A、F、。三点共线，则y%=T

D.若|AC|=6,则AC的中点到)，轴距离的最小值为2

【答案】BD

【分析】

求出抛物线的标准方程，可判断A选项的正误；求出X,+々的值，利用抛物线的定义可判断B选项的正误;

设直线AC的方程为*=冲+1,联立该直线与抛物线的方程，利用韦达定理可判断c选项的正误；求得

|AF|+|C盟的最小值，可求得x,+x2的最小值，进而可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，将点5的坐标代入抛物线的方程，可得2P=22=4,解得p=2,

所以，抛物线的标准方程为：/=4%,该抛物线的准线方程为x=-1,A选项错误；

UUUI____________

对于B选项，易知尸（1,0）,则A尸=（1一乱—y）,B尸=（0,—2）,仃=（1一%,一%），

因为而+耳下+无=6，则1一%+1—々=0,可得%+々=2,

由抛物线的定义可得|M|+|。丹=玉+9+2=4=2忸目，B选项正确；

对于C选项，若A、尸、。三点共线，则宜线AC不可能与x轴重合，

v?=4x

设直线AC的方程为x=my+l,联立一，整理可得产―4my—4=0,

x=my+1

△=16m2+16>0，由韦达定理可得M%=T，C选项错误；

对于D选项，由三角不等式可得|A目+|C耳习Aq=6,即％+々+226,即X+Z"，

所以，AC的中点到>轴距离为4=士也22,

2

当且仅当A、/、C三点共线时，等号成立，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如F：

设直线方程，设交点坐标为（芯,凹）、

（1）（x2,y2）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或＞）的一元二次方程，必要时计算/；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为王+々、再々的形式；

（5）代入韦达定理求解.

UUUUU10

31.已知AABC是边长为2的等边三角形，D,E分别是AC、A3上的两点，且丽，AD=2DC'

BD与CE交于点、0,则下列说法正确的是（）

A.ABCE=-1B.OE+OC=0

C.^OA+OB+OC\=^-D.而在册方向上的投影为:

【答案】BCD

【解析】由题E为AB中点，则CE_LA6,

以E为原点，EA,EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，E(0,0),A(1,0),3(—1,0),c(o,G),og,羊)

设0（0,＞）,ye（0,百），的=（1,y）,方5=（一：,y—竽），的团前，

所以y—2超.=—Ay,解得:y—,

-33-2

即。是CE中点，OE+OC=6＞所以选项B正确;

|次+砺+反|=〔2无=|砺|=*，所以选项C正确;

因为CE_LA6,而.丽=0,所以选项A错误;

而二（；,孚），BC=（1,V3）,

而在前方向上的投影为必变=三2=］，所以选项D正确.

\BC\26

故选：BCD

32.（2021•江苏南京市•南京一中高三月考）在