平行四边形单元 期末复习提高题检测试卷

平行四边形单元期末复习提高题检测试卷

一、选择题

1.如图，菱形ABC。的边长为4,NA=60,£是边AO的中点，尸是边A8上的一个动

点，将线段EF绕着E逆时针旋转60，得到EG,连接EG、CG,则6G+CG的最小

A.36B.2币C.D.2+273

2.已知PA=JiPB=4＞以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两

侧.当NAPB=45°时,PD的长是（）；

D

A.2石B.26c.3拒D.5

3.如图，正方形ABC。的边长为定值，E是边CO上的动点（不与点C,D重合），AE

交对角线3。于点F,FGLAE交BC于点G,6"，8。于点次连结AG交8。于点

N.现给出下列命题：①A/=fG；②DF=DE；③”的长度为定值；

④GE=BG+DE：⑤372+。尸2=杯2.真命题有（）

4.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平

分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小

正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它

剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）

A.2A/2B.石D.Vio

5.点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE,R3FEG的两条直角边EF、EG分别交

BC、DC于M、N两点，若正方形ABCD的边长为a,则四边形EMCN的面积()

C.D.-a2

£9

6.在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上,ZEFB=2ZAFE=2ZBCE,CD=9,CE=2O,

则线段AF的长为().

C.V19D.4

7.如图，直线/上有三个正方形“，b,C,若a,c的面积分别为6和14,则人的面积

A.8B.18C.20D.26

8.如图，在aABC中，NABC和NACB的角平分线相交于点0.过点。作EF〃BC交AB于

E.交AC于F.过点0作ODLAC于D.下列五个结论：其中正确的有()

(1)EF=BE+CF；(2)ZBOC=90°+—ZA；(3)点。到aABC各边的距离都相等；

2

(4)设OD=m.若AE十AF=n,则SAAEF=mn；(5)SAAEF=SAFOC.

A.2个B.3个C.4个D.5个

9.如图，矩形ABCD中，AC,8。相交于点。，过点B作AC交C。于点F,交

AC于点过点。作。初/8尸交A8于点E,交AC于点N,连接则下列结

论：

①DN=BM；②EM//FN；

@AE=FC；④当AO=A£＞时，四边形尸是菱形.

其中，正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，矩形ABCO中，。为AC的中点，过点。的直线分别与AB、CO交于点

E、F,连接BE交AC于点M,连接OE、BO.若NCO3=60°,FO=FC=2,

则下列结论：®FB±OC;②ZXEOBmACMB；③四边形E3F7）是菱形；

④MB=25其中正确结论的个数是（）

11.如图，NMAN=90。，点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接

BC,A^BC与ZkABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延

长交AB所在直线于点F,连接AE当AZEF为直角三角形时，AB的长为.

M\

D

AB

12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，对角线长为1cm,过点0任作一条直线分

别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是.

NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②NOGF=135°;

25

BDG=工SF"，正确的有.

14.如图，RrAABE中，NB=90°,A3=BE,将AA3E绕点A逆时针旋转45°，得到

AA//D,过。作。交3E的延长线于点C，连接并延长交OC于点尸，连接

DE交BF于点、0.下列结论：①OE平分N"OC；②DO=OE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE；⑤〃是8尸的中点，其中正确的是

15.如图，菱形ABC。的边长是4,NABC=60°,点E,尸分别是AB,BC边上的

动点（不与点A,B，C重合），且尸，箱EGHBC,FG//AB,EG与尸G相

交于点G,当AOG为等腰三角形时，8E的长为.

16.如图，在矩形ABCO中，AB=16,BC=18,点E在边AB上，点F是边BC上不

与点B、C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在点B'处.若AE=3,当

COB是以。夕为腰的等腰三角形时，线段的长为.

17.如图，矩形A8CO中，CE=CB=BE,延长3E交A。于点延长CE交A。

于点F,过点E作EN工BE,交BA的延长线于点N,FE=2,AN=3,贝ij

BC=.

18.如图，在矩形纸片A8CD中，48=6,8c=10,点E在CD上，将△BCE沿8E折叠，点

C恰落在边AO上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿8G折叠，点A恰落在线段8F上的

3

点，处，有下列结论：①/EBG=45°；@SAABG--SAFGH;（3）ADEF^AABG;

④AG+DF=FG.其中正确的是.（把所有正确结论的序号都选上）

19.如图，菱形。ABC的两个顶点坐标为0（0,0）,3（4,4）,若将菱形绕点。以每秒

45。的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点。的坐标为.

20.在平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交边BC于E,DF平分NADC交边BC于F,若

AD=11,EF=5,贝ljAB=.

三、解答题

21.综合与探究

如图1,在MBC中，乙4cB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AO,以AD为一边且在AD

的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：

（1）研究发现:如果=AC,N84c=90。

①如图2,当点。在线段BC上时（与点B不重合），线段CF、8。之间的数量关系为

，位置关系为.

②如图3,当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍成立并说明理由.

（2）拓展发现:如果AB丰AC,点D在线段BC上，点F在AABC的外部，则当

ZACB=时,CF，6。.

E

22.在矩形ABCD中，AE_LBD于点E,点P是边AD上一点，PFJ.BD于点F,PA=PF.

(1)试判断四边形AGFP的形状，并说明理由.

(2)若AB=1,BC=2,求四边形AGFP的周长.

23.如下图1,在平面直角坐标系中XQV中，将一个含30°的直角三角板如图放置，直角顶

点与原点重合，若点A的坐标为(—1,0),ZABO=30°.

(1)旋转操作：如下图2,将此直角三角板绕点。顺时针旋转30。时，则点B的坐标

为一.

(2)问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点。顺时针60°,如图3,在AB边

上的上方以AB为边作等边ABC,问：是否存在这样的点D,使得以点A、B、C、D四

点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D所有可能的坐标；若不存在，请

说明理由.

(3)动点分析：在图3的基础上，过点。作0PJ.A3于点P,如图4,若点F是边OB的

p、Q，连接CQ、MQ.且CQ=MQ.

(1)求证：/QAB=NQMC

(2)求证：/AQM=90°

(3)如图2,连接MN,当BM=2,CN=3,求AWN的面积

图1图2

25.正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点。，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个

动点（点P不与点B,0,D重合），连接CP并延长，分别过点D,B向射线作垂线，垂

（备用图）

（1）补全图形，并求证：DM=CN；

（2）连接0M,0N,判断0MN的形状并证明.

26.社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：

如图1，NMCW=90，点A为边0M上一定点，点8为边。N上一动点，以A5为一边

在/MON的内部作正方形过点。作垂足为点尸（在点。、A之

间），交BD与点、E,试探究A4E产的周长与0A的长度之间的等量关系该兴趣小组进行

了如下探索：

（动手操作，归纳发现）

（1）通过测量图1、2、3中线段AE、AF,EF和0A的长，他们猜想A4EF的周长

是0A长的倍.请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）

为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程:

(2)如图4,过点。作CG_LON,垂足为点G

则NCGB=90

:.ZGCB+ZCBG=9Q

又四边形ABC。正方形,

AB=BC,XABC=90

则NCBG+ZABO=90"

ZGCB=ZABO

在ACBE与AABE中，

(类比探究，拓展延伸)

(3)如图5,当点F在线段OA的延长线上时，直接写出线段AE、EF、AF与。4长

度之间的等量关系为—.

图4图5

27.已知在平行四边形ABC。中，AB#BC,将ABC沿直线AC翻折，点8落在点

尽处，AZ)与CE相交于点0,联结OE.

(1)如图1,求证：ACIIDE：

(2)如图2,如果N8=90°,AB=6BC=&＞，求04c的面积；

(3)如果N8=30°,AB=2后，当是直角三角形时，求BC的长.

28.如图1,在矩形纸片A8CD中，A8=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点落在边AD上的

E处，折痕为PQ,过点E作EF〃阳交PQ于F,连接BF.

（1）求证：四边形8FEP为菱形；

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，（如图2）,求菱形BFEP的边长；

②如果限定P、Q分别在线段848c上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围.

29.如图，在四边形0A8C是边长为4的正方形点P为0A边上任意一点（与点。、A不

重合），连接CP,过点。作加_1,。尸，且尸过点/W作MN〃AO,交BO

于点M联结BM、CN,设。P=x.

（1）当光=1时，点M的坐标为（,）

（2）设S四边形av“8=y，求出）'与X的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.

（3）在无轴正半轴上存在点。，使得QMN是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合

条件的点。的坐标（用龙的式子表示）

30.如图①，在A8C中，AB=AC,过A8上一点。作OE//AC交BC于点E,以

E为顶点，ED为一边,作NQEE=NA,另一边EF交AC于点F.

a

8c

图①

(1)求证：四边形AOEF为平行四边形；

(2)当点。为A8中点时，ADE尸的形状为：

(3)延长图①中的OE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②，若AO=AG,

判断四边形AEGF的形状，并说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点F,连接FC,E'B,此时

CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E，点重合，再在RtAEBC中，EB=2，^,

BC=4,求EC的长.

【详解】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E',连接E'C,E'B

此时CE的长就是GB+GC的最小值;

：MN〃AD,

.\HM=—AE,

2

VHB1HM,AB=4,/A=60°,

；.MB=2,NHMB=60°,

，AE'=2,

；.E点与E，点重合，

VZAEB=ZMHB=90%

AZCBE=90°,

在RSEBC中，EB=26,BC=4,

EC=2V7，

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键.

2.A

解析：A

【解析】

【分析】

过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E,连接BE,由NAPB=45。可得

/EPA=45。，可得APAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得

ZEAB=ZPAD,利用SAS可证明APAD丝AEAB,可得BE=PD,利用勾股定理求出BE的长即

可得PD的长.

【详解】

过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交与E,连接BE,

VZAPB=45O,EP±PB,

，NEPA=45°,

EA±PA,

.•.△PAE是等腰直角三角形，

；.PA=AE,PE=&PA=2,

•・•四边形ABCD是正方形，

.,•ZEAP=ZDAB=90°,

，ZEAP+ZEAD=ZDAB+ZEAD,即NPAD=NEAB,

XVAD=AB,PA=AE,

/.△PAD^AEAB,

，PD=BE=y]pE2+PB2=\/22+42=2V5-

故选A.

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股

定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.

3.C

解析：C

【分析】

根据题意，连接CF,由正方形的性质，可以得到AABF丝Z\CBF,则AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由/BAF=/FGC=/BCF,得到AF=CF=FG,故①正确；连接AC,与BD相交于点。，由正方

形性质和等腰直角三角形性质，证明△A0FZ4FHG,即可得到EH=A。，则③正确；把

△ADE顺时针旋转90。，得到AABM,则证明△MAGgz^EAG,得到MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.

【详解】

解：连接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=^CBF=A5°,

BF=BF

.".△ABF^ACBF(SAS),

，AF=CF,NBAF=/BCF,

VFG±AE,

.•.在四边形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360o-90o-90o=180°,

XVZBGF+ZCGF=180°,

AZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

；.CF=FG,

，AF=FG；①正确；

连接AC交BD于O.

:四边形ABCD是正方形，HG1BD,

.\ZAOF=ZFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90°,

.\ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.,.△AOF^AFHG,

・，.FH=OA二定值,③正确；

如图，把AADE顺时针旋转90。,得到ZkABM,

AAM=AE,BM=DE,ZBAM=ZDAE,

VAF=FG,AF±FG,

•••△AFG是等腰直角三角形，

AZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在ZkAMG和z\AEG中，

AM=AE

<ZE4G=ZMAG=45°,

AG=AG

/.△AMG^AAEG,

.\MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

/.GE=DE+BG,故④正确；

如图,AADE顺时针旋转’90。,得到AABM,记F的对应点为P,连接BP、PN,

则有BP=DF,ZABP=ZADB=45°,

VZABD=45°,

AZPBN=90°,

.".BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45。，

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

.".ZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

<NEAG=NMAG=45°,

AN=AN

AAANP^AANF,

；.PN=NF,

.".BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正确；

根据题意，无法证明②正确，

...真命题有四个，

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造

出等腰三角形和全等三角形.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN,利用勾股定

理即可求得.

【详解】

如图，EF为剪痕，过点尸作/G于G.

•••EF将该图形分成了面积相等的两部分,

/.EF经过正方形ABC。对角线的交点，

，AF=CN,BF=DN.

易证APME学"DN,

EM=DN,

而Ab=MG,

EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1.

在Rt\FGE中，EF=y]FG2+EG2=V32+l2=J15-

故选：D.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是

解题的关键.

5.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题意过E作EK垂直于直线CD,垂足为K,再过E作EL垂直于直线BC,垂足为

L,只要证明\ENK=\ELM，则可计算S四娜ENCM=SEKCL.

【详解】

解：根据题意过E作EK垂直于直线CD,垂足为K,再过E作EL垂直于直线BC,垂足

为L.

F

四边形ABCD为正方形

EL=EK

EKLCD,ELLBC

NELM=NEKN=90"

NBC。=90°

NKEL=9(f

尸EG为直角三角形

NKEM+ZLEM=NKEM+NNEK=90°

ZLEM=NNEK

：.AENKs\ELM

•1•S四边形ENCM=SEKCL=（§"）""=5"

故选D.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线.

6.C

解析：c

【分析】

如图，取CE的中点H,连接BH,设NEFB=2/AFE=2NECB=2a,则/AFB=3a,进而求出

BH=CH=EH=10,ZHBC=ZHCB=a,再根据AD〃BC求出EF〃BH,进而得出^EFG和ABGH

均为等腰三角形，则BF=EH=10,再根据勾股定理即可求解.

【详解】

则NAFB=3a,

.••△BCE为直角三角形，

•点H为斜边CE的中点,CE=20,

.".BH=CH=EH=10,ZHBC=ZHCB=a,

：AD〃BC,

AZAFB=ZFBC=3a,

，NGBH=3a-a=2a=/EFB,

；.EF〃BH,

AZFEG=ZGHB=ZHBC+ZHCB=2a=ZEFB=ZGBH,

.".△EFG和ABGH均为等腰三角形，

.\BF=EH=10,

VAB=CD=9,

AF=^BF2-AB2=V102-92=晒•

故选c.

【点睛】

本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据

题意正确作出辅助线.

7.C

解析：C

【分析】

由题意根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理和正方形的面积公式进行分析计算.

【详解】

解：：a、b、c都为正方形，a,c的面积分别为6和14,

--.AC=CE,AB2=6,DE2=14,NAC尸=90",

ABAC+NBCA=90°,ZBCA+ZDCE=90°,

ZBAC=ZDCE,

在ABC和△C0E中，

ZABC=ZCDE

<ZBAC=ZDCE,

AC=CE

：.ABC=CDE(AAS),

：.BC=DE,BC2=DE2=14,

由勾股定理可知AC?=AB2+BC2,

：.b的面积为AC2=6+14=20.

故选：c.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的性质，全等三角形的判定是结

合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰

当的判定条件.

8.B

解析：B

【分析】

由在AABC中，NABC和乙4cB的平分线相交于点。，根据角平分线的定义与三角形内

角和定理，即可求得②/80。=90。+l/4正确；由平行线的性质和角平分线的定义得

2

出ABEO和ACFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线定理与三角

形面积的求解方法，即可求得③设。。=加，AE+AF^n,则SMEF=5根〃，故③错

误；E、F不可能是三角形ABC的中点，则EF不能为中位线故④正确.

【详解】

解：在AABC中，NABC和NACB的平分线相交于点。，

：.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,NA+NABC+NACB=180°,

22

NOBC+NOCB=90°--ZA,

2

.•.NBOC=180O—（NO3C+NOC3）=90o+1zA；故（2）正确;

2

在A4BC中，NABC和NACB的平分线相交于点。，

ZOBC=ZOBE,40cB=ZOCF,

EFIIBC,

ZO13C=NEOB,ZOCB=NFOC,

ZEOB=NOBE,AFOC=ZOCF,

：.BE=OE,CF=OF,

EF=OE+OF=BE+CF,

故（1）正确；

过点。作OM_LAB于M,作ONIBC于N,连接OA,

在A48C中，NA8C和NAC8的平分线相交于点。，

ON=OD=OM=m,

■<-W=+S^OF-A^OM+^AFOD^OD^AE+AFy^nm.,故（3）正确,

（4）错误；

s,B=3BEOM'S"F=gFCOD,

OM=OD,BE不一定等于CF,

即，不一定等于好”.故（5）错误，

综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3）,

故选：B.

【点睛】

此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质.此

题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

9.D

解析：D

【分析】

通过判断△ANDgACMB即可证明①，再判断出△ANEg^CMF证明出③，再证明出

△NFM^AMEN,得到/FNM=NEMN,进而判断出②，通过DF与EB先证明出四边形为平

行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到NNDO=NABD=30°,进而得到DE=BE,

即可知四边形为菱形.

【详解】

VBF±AC

ZBMC=90°

又：DE//BF

AZEDO=ZMBO,DEIAC

.\ZDNA=ZBMC=90o

•・•四边形ABCD为矩形

；.AD=BC,AD〃BC,DC〃AB

.".ZADB=ZCBD

，ZADB-ZEDO=ZCBD-ZMBO即/AND=NCBM

在4AND与ACMB

NDNA=NBMC=90°

V<ZAND=NCBM

AD=BC

.,.△AND丝△CMB(AAS)

；.AN=CM,DN=BM,故①正确.

VAB//CD

/NAE=NMCF

又•.•/DNA=/BMC=90°

AZANE=ZCMF=90°

在4ANE与△CMF中

ZANE=NCMF=90

V<AN=CM

NNAE=NMCF

.•.△ANE^ACMF(ASA)

；.NE=FM,AE=CF,故③正确.

在aNFM与AMEN中

FM=NE

V<ZFMN=NENM=90°

MN=MN

.".△NFM^AMEN(SAS)

/.ZFNM=ZEMN

，NF〃EM,故②正确.

VAE=CF

.,.DC-FC=AB-AE,即DF=EB

又根据矩形性质可知DF〃EB

...四边形DEBF为平行四边

根据矩形性质可知OD=AO,

当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形

，/ADO=60°

又YDNl.AC

根据三线合一可知ZNDO=30°

又根据三角形内角和可知NABD=180°-ZDAB-ZADB=30Q

故DE=EB

，四边形DEBF为菱形，故④正确.

故①②③④正确

故选D.

【点睛】

本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是

解题关键.

10.B

解析：B

【分析】

连接BD,先证明△BOC是等边三角形，得出BO=BC,又FO=FC,从而可得出FB_LOC,故

①正确；因为△EOB乌△FOBgZkFCB,故△EOB不会全等于△CBM,故②错误；再证明四

边形EBFD是平行四边形，由OB1.EF推出四边形EBFD是菱形，故③正确；先在RtZ\BCF

中，可求出BC的长，再在RtaBCM中求出BM的长，从而可知④错误，最后可得到答

案.

【详解】

解：连接BD,

•.•四边形ABCD是矩形，

，AC=BD,AC、BD互相平分，

为AC中点，，BD也过。点，

，OB=OC,

VZCOB=60",

...△OBC是等边三角形，...OB=BC,

又FO=FC,BF=BF,

.".△OBF^ACBF(SSS),

AAOBF与4CBF关于直线BF对称，

；.FBJ_OC,...①正确；

ZOBC=60°,ZABO=30°,

△OBF合△CBF,Z0BM=ZCBM=30°,/.ZABO=ZOBF,

ABHCD,ZOCF=ZOAE,

---OA=OC,易证△AOE合△COF,OE=OF,

•/OB=OD,

A四边形EBFD是平行四边形.

又NEBO=ZOBF,OE=OF,

.•.OB_LEF,.•・四边形EBFD是菱形,

③正确；

•由①②知△EOB合△FOB合△FCB,

J.△EOB空△CMB错误，

②错误；

；FC=2,/OBC=60°,ZOBF=ZCBF,

AZCBF=30°,；.BF=2CF=4,BC=273>

，CM=；BC=g,，BM=3,故④错误.

综上可知其中正确结论的个数是2个.

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性

质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解

决问题，属于中考常考题型.

二、填空题

11.46或4

【解析】

分析：当AZEF为直角三角形时，存在两种情况：

①当NA，EF=90。时，如图1,根据对称的性质和平行线可得：A，C=A，E=4,根据直角三角形斜

边中线的性质得：BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长：

②当/A，FE=90。时，如图2,证明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

详解：当AZEF为直角三角形时，存在两种情况：

AA^C与AABC关于BC所在直线对称,

，A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

:点D,E分别为AC,BC的中点，

，D、E是AABC的中位线，

；.DE〃AB,

.\ZCDE=ZMAN=90°,

/.ZCDE=ZA'EF,

；.AC〃A'E,

，NACB=NA'EC,

ZA'CB=ZA'EC,

.,.A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，；E是斜边BC的中点,

，BC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

，AB=而―42=4/；

②当NA'FE=90°时，如图2,

VZADF=ZA=ZDFB=90o,

，NABF=90°,

VAA^C与AABC关于BC所在直线对称，

NABC=NCBA'=45°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

，AB=AC=4；.

综上所述，AB的长为4g或4；

故答案为4月或4.

点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判

定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

12.—c/z?2

8

【分析】

根据正方形的性质可以证明AAEO之CFO,就可以得出SAAEO=SACFO,就可以求出AAOD面积

等于正方形面积*,根据正方形的面积就可以求出结论.

【详解】

解：如图:

•.•正方形ABCD的对角线相交于点。，

/.AAEO与△CFO关于0点成中心对称,

.".△AEO^CFO,

SAAEO=SACFO»

SAAOD=SADEO+SACFO,

:对角线长为1cm,

**«S正方形ABCD=-x1x1=—cm2,

•"•SAAOD——cm2,

8

••・阴影部分的面积为（cm2.

故答案为:-cm2.

O

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形

的面积公式的运用，在解答时证明△AEO也CFO是关键.

13.①③④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=NFAD=45°,可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得/BGE=NDGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GH_LCD于H,设

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH=-X,DG=GB=XIX,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：...四边形ABCD是矩形，

，AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE=45°,

AZF=ZFAD,

，AD=DF,

ABC=DF,故①正确;

VZEAB=ZBEA=45°,

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

.••△CEF是等腰直角三角形，

•.•点G为EF的中点，

，CG=EG,/FCG=45°,CG±AG,

NBEG=/DCG=135",

在4DCG和aBEG中，

BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

AZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

，NDGC=NBGE<45°,

VZCGF=90",

.\ZDGF<135°,故②错误；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

AZCGA=ZDGB=90",

•\BG_LDG,故③正确;

过点G作GH±CD于H,

3

•ZAB=-AD,

4

.,.设AD=4x=DF,AB=3x,

•'•CF=CE=X,BD=以笈+M=5尤,

VACFG,aGBD是等腰直角三角形,

jc2

.\HG=CH=FH=—x,DG=GB=—L±x,

22

1,125,

••SADGF=-xDFxHG=X2,SABDG-—DGxGB=—x2>

224

25

,,sBDG—SFDG,故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

14.①②④⑤

【分析】

根据NB=90。，AB=BE,4ABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得ZkABE三ZkAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DCJ_BC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得/HDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形,有NADC=90。，NHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得NHDO=22.5。，可得NAHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确；

利用AAS证明△DHEMADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的NDHF=22.5°,

/DFH=112.5。，则ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDxHF,所以③错误；

根据aABE是等腰直角三角形，川_LJE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确：

过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,得LI_LAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

TRSABE中，ZB=90°,AB=BE,

.♦.NBAE=NBEA=45°,

XVWAABE绕点A逆时针旋转45°,得到AAHD,

.".△ABE^AAHD,并且4ABE和AAHD都是等腰直角三角形，

AZEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=45°+45°=90°,

.,.AD//BC,

AZADE=ZDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

/DCE=NDHE=90°

由三角形的内角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分/HDC,所以①正确；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

・・・四边形ABCD是矩形，

.\ZADC=90°,

.\ZHDC=45O,

由①有DE平分NHDC,

11

ZHDO=—ZHDC=—x45°=22.5°,

22

VZBAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=y(180°-ZBAE)=yx(1800-45o)=67.5°,

/.ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

.\OD=OH,

在ZkAED中，AE=AD,

ZAED=g(180°-ZEAD)=yx(180°-45°)=67.5°,

/.ZOHE=ZHEO=67.5°,

/.OE=OH,

AOD=OE,所以②正确;

在ZkDHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<ZHDE=ZCDE,

DE=DE

/.△DHE^ADCE(AAS),

1

ADH=DC,ZHDE=ZCDE=—x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

AZDHF=22.5°,

.,.ZDFH=1800-ZHDF-ZDHF=180o-45o-22.5o=112.5°,

，ZkDHF不是直角三角形，并DHHHF,

即有：CD/HF,所以③不正确；

如图，过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,

1△ABE是等腰直角三角形，JHjjE,

.\JH=JE,

又：J是BC的中点，H是BF的中点，

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

AIJ±AD,

又,••△AHD是等腰直角三角形，

Al是AD的中点，

,••四边形ABCD是矩形,HJ1BC,

/.J是BC的中点，

；.H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

84/-

15.一或4一一V3

33

【分析】

连接AC交BD于。，由菱形的性质可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,

AO-CO,可证四边形BEGF是菱形，可得/ABG=30°,可得点B,点G,点D三点共线，由

直角三角形性质可求BD=4j5,AC=4,分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

【详解】

如图，连接AC交BD于。，

；.AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,AO=CO,

VEG/7BC,FG〃AB,

四边形BEGF是平行四边形，

又：BE=BF,

四边形BEGF是菱形，

.♦.NABG=30°,

，点B,点G,点D三点共线,

VAC1BD,ZABD=30°,

AO=yAB=2,B0=JAg?一AO?=>/42—22=2A/5,

，BD=45AC=4,

lBG

同理可求BG=6BE,即BE=-y=,

若AD=DG'=4时，

，BG'=BD-DG，=4百一4,

46-4473

..BE=-----=——=4------------;

&3

若AG"=G"D时,过点G”作G"H±AD于H,

，AH=HD=2,

VZADB=30°,G"H1AD,

；.DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2,

解得：HG"=^m,DG"=2HG”=±m

33

BG"=BD-DG"=4G-

'33

8

3

综上所述：BE为刍或4-迪.

33

【点睛】

本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论

思想解决问题是本题的关键.

16.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情况讨论：(1)当DB，=DC=16；(2)当BD=B，C时，作辅助线，构建平

行四边形AGHD和直角三角形EGBT计算EG和BG的长，根据勾股定理可得BD的长；

【详解】

四边形ABCD是矩形，

DC=AB=16,AD=BC=18.

分两种情况讨论：

(1)如图2,当DB'=DC=16时,即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形

D

E

B'

BF「

图2

(2)如图3,当B'D=B'C时,过点B作GHIIAD,分别交AB与CD于点G、H.

图3

四边形ABCD是矩形，

ABIICD,ZA=90°

又GHIIAD,

四边形AGHD是平行四边形，又NA=90。，

四边形AGHD是矩形，

AG=DH,NGHD=90°,即B'H_LCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-CD=8,AG=DH=8,

3

•1,AE=3,

BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtAEGB，中，由勾股定理得：

GBZ=V132-52=12-

B'H=GHXGB,=18-12=6,

在RtAB'HD中，由勾股定理得：BZD=762+82=10

综上，DB，的长为16或10.

故答案为：16或10

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论.

17.6+66

【分析】

通过四边形ABCD是矩形以及C£=C8=BE,得到△FEM是等边三角形，根据含30。直

角三角形的性质以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，进而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性质及勾股定理得到BN,BE即可.

【详解】

解：如图，设NE交AD于点K,

•.•四边形ABCD是矩