考研数学历年真题

20XX年全国硕士研究生入学统一考试数三试题及答案详解

一、选择题

1.已知当x->0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与ex*是等价无穷小，则

Ak=1,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-4

2.一知在x=o处可导，且/（o）=o,则二2""）=

XTOX

A-2/（0）B-/z（0）C/z（0）DO

3.设｛Uj是数列，则下列命题正确的是

A若£力收敛，则£（%“一什力,）收敛

“=1"=|

B若£（力“T+4,,）收敛，则收敛

“131

C若收敛，则£（%“_「小”）收敛

”=1n=\

D若之电1-力“）收敛，则£%收敛

"=1"=1

4.设/=「Insinxdx,J=Jjncotxdx,K=j；Ineosxdx则/'，、K的人小关系是

AI<J<KBI<K<JCJ<I<KDK<J<I

5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B

1oo100

P,=111,P,001,

的第二行与第一行得单位矩阵。记[000_010J则

A=

APRBP;'P2CP遇、DPJR

6.设A为4x3矩阵，7%%是非齐次线性方程组版=夕的3个线性无

关的解，匕自为任意常数，则Ax=A的通解为

C+k4%一7)+七(小一7)D+砥(%—7)+&3仇一7)

7.设A(x),居(X)为两个分布函数，其相应的概率密度力(x)/(x)是连续

函数，则必为概率密度的是

A/,(X)/2(X)B2/2(X)F2(X)C/(X)E(X)D1(x)鸟(x)+9(x)耳(x)

8.设总体X服从参数〃义>0)泊松分布篇/「..*„(〃22)为来自总体的

简单随机样本，则对应的统计量7；4£匕,7>上/匕+!尤

〃/=]n—iz=]n

<。4

\ETX>ET2,DTX>DT2BET;

CETX<ET2,DTX>DT2DETI<ET2，DT]<DT?

二、填空题

X

9.设/(x)=limx(l+3犷，则f'(x)=

x->0

X

10.设函数Z=(l+与7,㈤”0)=

y'

11.曲线tan(x+y+2)=e>在点(0,0)处的切线方程为

4

12.曲线y=GT,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所

成的旋转体的体积为

13.设二次型/(X|,X2，X3)=xZx的秩为1,A中行兀素之和为3,则/在

正交变换下x=Qy的标准为

14.设二维随机变量(*,丫)服从"(〃,〃；4,/；0),则E(xy2)=

三、解答题

15.求极限lim如宜岳二二1

ioxln(14-x)

16.已知函数了(“#)具有连续的二阶偏导数，川,1)=2是〃”,1，)的极值，

z=f[(x+y),f(x,y)]求

odxdy1

s+rarcsinVx+lnx,

17.求J----j=-------dx

l8.证明4arctanx-x+—-V3=0恰有2实根。

3

I9j(x)在[0,l]有连续的导数,/(0)=l,且JJ—(x+y)阿y=JJ_f(x+yMMy,

D,D,

D,={(x,y)|05y<f,0<x<r](()<r<l),求/'(x)的表达式。

20.%=(1,0,1尸，%=(0，U)"%=(135尸不能由4=(1,。»,&=(1,2,3尸，

四=(1,3,5)，线性表出，①求“；②将四,%A由6,%，%线性表出。

Jnr-ir

2LA为三阶实矩阵，R(A)=2,且400=00

、-用111

(1)求A的特征值与特征向量；(2)求A。

求：（1）（X,Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）「乂丫

23.（X,Y）在G上服从均匀分布，G由x-y=0,x+y=2与y=0围成。

（1）求边缘密度/x（x）；（2）求/x|y（布）。

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题及答案详解

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）已知为XTO时,函数/。）=35山》-3113X。）是等价无穷小.则（）

（A）A=l,c=4（B）A=l,c=-4

(C)A=3,c=4(D)k=3,c=-4

【答案】应选（C）

【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。

27.一

(详解一】sinx=x---+o(x3),sin3x=3x-+0”)

3!

=小：!学竺Llim竽=

3sinx-sin3.v

lim

r⑷exzcrcr

所以c=4<=3

3sinx-sin3K3cos.r-3cos3.v3-2sin2.rsin(-.x-)

［详解一】lim=㈣=lim

“一•ockxi'*Mckji-i

—Iim4r=

所以£-l=2,M=l2,即*=3,c=4

//(x)-2/(M)等「

（2）己知〃x）在x=0处可导，ll./（O）=O,则lim)

(A)-2//(0)(B)(C)/'(O)(D)0

【捽案】1锄i（B）

【分析】根据导数4：某点的定义求解.

［详解】隔虫⑶:2/2=.立3二立⑼-"（『）；2/（0）

IfXXK

因为/（X）在x=。处可导,所以

山二/(+2/，)=而产/3T/叽•2一)[2/(。)

月TOXXT°x~XT©K

=.no)-2r(o)=-r(o)

(3)设｛(｝是数列，则卜列命题正确的是()

(A)心£收敛.则+u2n)收敛

*Ih

(B)若£(k_1+”2”)收敛，则£以收敛

M«1>'I

<c)若Ex收敛，则£他“一「心)收敛

,IIn'

<D)若收敛.则Ex收敛

【芥案】J；选(A)

【详解】收敛.则对它的任意项加括号后所成的级数仍收敛，逆命题不一定正确，所

A«l

以选(A).

(4)设/uplnsinxar.JuJjlncotxaLK=J4IncosAzZr.则/JK的大小关系是

(A)!<J<K(B)I<K<J(C)J<1<K(D)K<J<1

【答案】应选(B)

【详解】在区间[0,白匕sinx<cosx<colx,lnx是增函数，所以

4

Insinx<Incosx<Incotx,由定积分比较大小的性质可知,应选(B)

(5)设A为三阶矩阵,将A的第二列加到第•列得到矩阵B,再交换B的第:行与第.行

'100、‘I00、

得到单位矩阵,记/?=1I0，2=00I.则A=()

、00I,、0I0,

(A)<6；(B)甲6；(C)64；(D)鸟中.

【答案】应选(D).

【详解】由初等变换及初等矩阵的性质易知名44=£从血/=右‘k'=£夕',答案应

选(D).

⑹设A为4x3矩阵,小人，/是非齐次线性方程组4¥=4的三个线件无关的解，

k„k2为任总实数，则AX=fl的通解为()

(A)归为+&(小-%);(B)巧近+M小-7)；

(C)(/-/)+&(%-/)：⑹巧2+人(小-7)+k式小-%).

【答案】应选(C).

【洋解】由小彷，/是非齐次线性方程组4¥=夕的：个线性无关的解.知

7,F,，小一/为4¥=0的基础髀系.非齐次线性方程组解的线性组合并系数和为1是非

齐次线件方程组解，从血”互为4¥=力的解.山非齐次线件方程绢解的结构,知

巧h+h(小—％)+k式小一小)为AX=B的通解，故应选(C).

(7)设片⑶、鸟(x)为两个分布函数，比相应的概率密度A⑶/⑶是连续函数，则必为

概率密展的是()

(A)£(x)〃x)⑻2或x)£(x)(C)f^F^x)(D)/；(x)玛(x)+£(x)£(x)

【答案】应选案).

【解析】由概率密度的性质知，概率密度必须满足J'r(xMt=i,故由题知

匚LA(x)E(x)+&X拓(X)]&=「好=£3外=I

故选择D.

(8)设总体¥服从参数为4(/1>0)的泊松分布，％,占,…,X"("N2)为来自正态总体的

简单随机样本.则对应的统计量1=：£X，1==皆％1X.满足()

(A)ET、>ETrDT\>DT\(B)ETt>ET^DT^DT.

(C)ET^ET^DT^D^(D)ETt<ET2,DTt<DT2

【答案】应选(D).

【解析】由题知欧,=4必=M=LZ…,〃)，故有

【答案】R4

P24

【详解】V=J-nyrdx=-n

(13)设二次型〃m,X2，xJ=X,4T的秩为1.A的行元素之和为3.则/'在正交变换

X=QY卜的标准形为

【答案】应答现.

【详解】由A的行元素之和为3,得/1=31,从而3为其特征值.因为«/)=1,所

<dli

以f在正交变换X=QY卜的标准形为3疗.

(14)设.维随机变成(X,Y)服从MM4。?,/,。),则£(川2)=.

【答案】〃("+")

【详解】由题知x与y的相关系数0m=o,即x与丫不相关.在：维正态分布条件F,x

与丫不相关与*与y独立等价,所以x与丫独立,则有

EX=EY=p,DX=DY=a-

£72=。丫+(")2=〃、/

E(XY2)=EXEY'=〃("+cr)

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答庖纸指定的位置上解答应写出文字说

明、证明过程或演算步51

(15)(本题满分10分)求极限lim业WH

…xln(l+x)

…m-S+2sinx-x-lVl+2sinx-x-l

[洋解]hrm----———■——=hmr--------------；----------

Ixln(1+x)7x*

..cosx-Vl+2sin.r..cosx-Vl+2sinx

=lim------7--•—=hm-----------------------

…ZrV1+2sinx…2x

1..z,cosx、1

2…Vl+2sinx2

…a,.Vl+2sin.t-x-ll+2sin.v-(.r+l)2

[详解]Inn-------_-——=lim,,----------2,~—

fxln(l+x)f]Jl+2sinx-x-1)

2sinx-.v2-2KI”sinx-xI铲cosx-1

=—lim=--4-lim----；——=--+hm-------=

2r.»O2xr2f2x2

(16)《本题满分10分)已知函数八〃e)II有一阶连续偏导数，/(1.1)=2是的极

值'z=〃(W(3))'求矗

【详解】里=Z.+ZJ「d^z

=Zw+Z=M+(ZR+Z„vjv,+2,.V„,

ax

由=2是v)的极值工。,1)=/(U)=o.

所以费|“=小2)+〃2.2工。』)

(17)(本题满分10分)求产an先In”

JVx

【详解】令t=&,则仃

rarcsinVx+Inx.rarcsinz+ln/-_,

J--------丁-----dx=J------------------2tdt=2](arcsint+\nr)dt

=2/(arcsin/+

=2/(arcsin/4-In/2)-2j了L「di_4i

=2/(arcsin/+In-)-4/+j*二？

=2/(arcsin/+ln/>41+2jl-1+C

=2<7x(arcsin4+lnx)-4\/7+25/l-x+C

(18)(本即满分10分)证明4arctanx-x+亨-石=0恰仃两个实根.

4/rl3—X2

【证明】设/(x)=4arclanx-x+多一班，则，(*)=二A

31+r

3-.V

令/'(x)==0.汨x=±G

l+x2

显然"1X€(70,-6)或X€(石,y)时,f'(x)<0,ll|Jf(x)在(70,-石)或(瓜-KO)L

单调递减：“1XC(-G,G)时，/'(X)>0,即/'(X)阳-JIG)匕单调递增.

又/(-6)=0,/(6)=2(¥_/)>0/imf(x)=-w,lim/(x)=y,故在：x=-g

处仃个实根,在区间(6内)内仃且仅有个实根，阳和(-6后)内都没

有实根.

综上所述.方程恰有两个实根.

(19)(本题满分10分)，(x)在［05内有连续的导数,/(0)=l,H

J|f'(x+y)dxdy=JJf(t)(lxdy,

44

其中。={(x,y)|04x4/,04y4f,x+y4/}(0</4I),求/(.v)的衣达式.

【详解】由题知

JJf'(x+y)dx(fy=£rZv£'f\x+y时=工［/")-f(x)］clx=tf(t)-£/(x)<Zr

〃)

所以仃/(/)-1'/(x)去=%，/)，得/U)=J-3(。为任意常数)

J。2(2-/)

4

将/(0)=1代入，得。=4,所以/(/)="1不

(20)(本小题满分11分)设向吊组4=(1,0,1)。a,=(0,l,l)r,%=(135)。不能由

向量组4=(1，/1)‘，&=。，2,3)。4=(1,3,5).线性表出.

(1)求。的值.

⑵将4/A由%,a理性表出.

【详解】(1)易知q,0V%线性无关，由其不能被后,%4线性表出，得到4为伙

线性相关,从而r(片,为⑷<3.

'1irq11、

由a23T024

J35；、o2-a3-a,

得a=I.

(2)

01111、q01111、

013123T013123

15135；<04024,

由J

q011r'10021o'

->013123->0I0420

、001-101J、001-101,

'210、

得0Pz闻=3%。3)420

0L

f\i)(-\r

(21)(本小题满分11分)A为:阶实对称矩阵.[4)=2且/00=00

<-iUI1L

(1)求A的特征值与特征向殳

⑵求矩阵儿

【详解】⑴易如特征值T对应的特征向以为0.特征值1对应的特征向最为.由

r(A)=2知A的另•个特征值为0.因为实对称矩阵不同特征值得特征向量正交,从而特征

值0对应的特征向量为1

◎

⑵由

IoY-iooVIioV

A=00101000I

I0乂00

0人T10,

得

'001、

4=000

J0。1

（22）《本题满分11分）设的机变量X与y的概率分布分别为

।1

p

333

11尸（H=/）=1.

（।）求二维随机变吊（x,r）的概率分布:

（II）求2=封的概率分布：

（川）求x与y的相关系数0“.

【解析】（1）由于产（犬=六）=],即

p（x=o,r=o）+p（^=i,r=-i）+p（^=i,y=i）=i

则有

p（-¥=i.r=o）=p（A,=o.r=-i）=p（A,=o,r=i）=o

p（x=o,y=o）=p（y=o）-p（x=i,y=o）=；

p（x=i,y=-i）=p（y=-i）-p（x=o,y=-i）=；

p（y=l,y=l）=p（y=l）-p（A,=O,K=l）=|

所以（x,y）的概率分布为

（II）易知随机变显Z的可能取值为T