六年级奥数试卷：定义新运算练习题（附答案）

三、定义新运算（一）

年级班姓名得分

一、填空题

1.规定—2,则20（5。3）之值为____.

ba

2.规定“※”为一种运算，对任意两数见仇有。※心”竺，若6Xx=乌,则x=

33

3.设a,b,c,d是自然数，定义<a,Z>,c,">=a"+bc.则

«1,2,3,4>,<4,1,2,3>,<3,4,1,2>,<2,3,4,1»=.

4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数，可以表示成[4]=3.

计算：（口8]+[22]）+[7]=.

5.规定新运算※:a※力=3a-2".若%※©※1）=7,则x=.

6.两个整数。和h,a除以b的余数记为例如,13翁5=3,5+13=5,12众"4=0.

根据这样定义的运算,（26众9）☆4=.

7.对于数a,b,c,d规定<a,b,c,d>=2a0-c+”.如果<1,3,5,x>=7,

那么4.

8.规定:6派2=6+66=72,2X3=2+22+222=246,

1^4=1+11+111+1111=1234.7^5=.

9.规定：符号“△”为选择两数中较大数,为选择两数中较小数.例

如:345=5,3O5=3.那么,[（703）A5]X[5O（3A7）]=.

10.假设式子/axb表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子

表示经过计算后力的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2力=2,依次进

行计算8,/a-d4，*人,。，-匕,则计算结束时,4与b的和是.

二、解答题

11.设a,"3d是自然数,对每两个数组我们定义运算※如下：(a力)※

(c,J)=(a+c,O+t/);又定义运算△如下：(a,O)z\(cM=(ac+b4ad+bc).试计算((1,2)X

(3,6))似(5,4蟀(1,3)).

12.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号

△表示羊△羊=羊洋△狼=狼;狼4羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,

狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了.

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊

☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与

狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊

了.

对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，

括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果：

羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).

13.64=2x2x2x2x2x2表示成/(64)=6;

243=3x3x3x3x3表示成g(243)=5.

试求下列的值：

⑴人磔上;⑵/(16)=g();(3)/()+g(27)=6;

(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:/Oy)=/(x)+/(y).

14.两个不等的自然数a和九较大的数除以较小的数，余数记为比如5。

2=1,7025=4,608=2.

(1)求199102000,(5019)019,(1905)05;

(2)已知110%=2,而x小于20,求尤；

(3)已知(19G)x)。19=5,而x小于50,求x.

答案

16

20(503)=20—215

162120

15

2.8.

依题意方※x="生，因此史立=工，所以x=8.

333

3.280.

<1,2,3,4>=1x4+2x3=10;<4,1,2,3>=4x3+1x2=14;

<3,4,1,2>=3x2+4x1=10;<2,3,4,1>=2x1+3x4=14.

原式=<10,14,10,14>=10x14+14x10=280.

4.5.

因为18=2x32有(1+1)X(2+1)=6个约数，所以[网=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式=(6+4)+2=5.

5.9.

因为4派1=3x4—2x1=10,所以工※⑷※1)=%※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.

6.0.

26=2x9+8,26☆9=8,X8=2x4，故(26☆9法4=8众4=0.

7.6.

因为<1,3,5,x>=2xlx3-5+x=l+x，所以l+x=7,故x=6.

8.86415.

7X5=7+77+777+7777+77777=86415.

9.25.

原式=[3A5]X[5O7]=5x5=25.

10.14.

第1次计算后,a=2x2=4;第2次计算后，力=4-2=2;第3次计算后，

a=4x2=8;第4次计算后,8=8—2=6.此时a+b=8+6=14.

11.(1,2蟀(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4蟀(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).

原式=(4,8)A(6,7)=(4X6+8X7,4X7+8X6)=(80,76).

12.原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.

13.(1)/(128)=/(27)=7;

(2)/(16)=/(24)=4=^(34)=g(81);

(3)因为6-g(27)=6-g(33)=6-3=3=f(23)=f(8),所以/(8)+g(27)=6;

(4)令x=2m,y=2n,则/(%)=m,f(y)=n.

fCx-y)=f(2'"-2")=f(2"1+n)=根+〃=f(x)+f(y).

14.(1)199102000=9;

由5019=4,得(5019)019=4019=3;

由1905=4,得(19。5)。5=4。5=1.

(2)我们不知道11和x哪个大(注意用11),即哪个作除数，哪个作被除数，这样

就要分两种情况讨论.

这时x除11余2,x整除11-2=9.又应3(因为尤应大于余数2),所

以x=3或9.

2)x>ll,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以

x=l1+2=13.

因此⑵的解为43,9,13.

(3)这个方程比(2)又要复杂一些，但我们可以用同样的方法来解.

用y表示190x,不管19作除数还是被除数,190x都比19小，所以y应小

于19.

方程yQ19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于龙6,所以>=7,14.

当y=7时,分两种情况解190x=7.

l)x<19,此时x除19余7c整除19-7=12.由于应8,所以x=12.

2)x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26

或x=19x2+7=45.

当y=14吐分两种情况解190x=14.

l)x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但尤大于14,这是不可能的.

2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以

尤=19+14=33.

总之，方程(19Ox)。19=5有四个解/=12,26,33,45.

三、定义新运算(二)

年级班姓名得分

一、填空题

1.规定:a※匕=(8+a)x〃,为日么(2派3)派5=.

2.如果abb表示(。-2)x8,例如3丁4=(3-2)x4=4,那么，当AA5=30时,

3.定义运算“△”如下:对于两个自然数。和仇它们的最大公约数与最小公倍数

的和记为a△无例如:4A6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运

M,18A12=.

4.己知a,b是任意有理数，我们规定:a㊉。=a+/?-l,a(8)b=a0-2,那么

4③[(6㊉8)㊉(3③5)]=.

5.x为正数,<X>表示不超过x的质数的个数，如<5.1〉=3,即不超过5.1的质数有

2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>x<l>x<8>>的值是.

6.如果aQb表示3a-4，例如405=3x4-2x5=2,那么，当工。5比50%大5时,

x=.

7.如果1X4=1234,2X3=234,7X2=78,那么4X5=.

8.我们规定:符号。表不选择两数中较大数的运算，例如:5。3=3。5=5,符号△表

示选择两数中较小数的运算，例如：5A3=3A5=3.

9.规定一种新运算"※”:aX/?=a*(a+l)x3*(a+/j+l).如果(工※？)※

4=421200,那么x=.

10.对于任意有理数x,y,定义一种运算“※"，规定:球)'="+力-。孙淇中的

a,b,c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1派2=3,2X3=4/※

机=x(〃拄0),则m的数值是.

二、解答题

11.设a,b为自然数，定义ah.b=a2+b2-ab.

⑴计算(4A3)+(8A5)的值;

⑵计算(2A3)A4;

(3)计算(2A5)A(3A4).

12.设a,h为自然数，定义a※/?如下:如果a也定义a※/?=a也如果a。,则定义a

初=b-a.(l)计算:(3※4蟀9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是

说,下面两式是否成立?①a※斤。※/②(a※与※c=。※3※。).

13.设a,b是两个非零的数，定义。※人=-+

ba

⑴计算(2派3)派4与2※0※4).

(2)如果已知a是一个自然数，且柞3=2,试求出a的值.

14.定义运算“。”如下:

对于两个自然数a和"它们的最大公约数与最小公倍数的差记为aQb.

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10014=70-2=68.

(1)求12021,5015;

(2)说明，如果c整除a和8则c也整除a。。;如果c整除a和康。8则c也整除

(3)已知6。427,求x的值.

答案

1.100.

因为2X3=(3+2)X3=15,所以(2X3)X5=15X5=(5+15)x5=100.

2.8.

依题意，得(a-2)x5=30，解得a=8.

3.42.

18A12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

4.98.

原式=4③[(6+8-1)㊉(3x5-2)]=4区口3㊉13]

=4③[13+13—1]=4025

=4x25-2=98

5.11.

<19>为不超过19的质数，有2,3,5,7,11』3」7,19共8个.<93>为不超过的质数,

共24个，易知<1>=0,所以

原式=<<19>+<93»=<8+24>=<32>=11.

6.6.

x05-5Ox=(3x-2x5)-(3x5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.

7.45678.

8.

2

172172c…23_523_5

因为0.%o=­O—=—,0.625A—△

26-326333~833~8

二34134_1237…23799

0.3△—=:—△:一，---。2.25=二--------O—

99399~310610644'

25

-----1-----1

所以，原式=

192

-----1-----

34

9.2.

令xX3=y,贝U)^4=421200,

X421200=24X34X5?X13=24X25X26X27,

所以y=24,即工※3=24.

又24=23x3=2x3x4,故x=2.

10.4.

由题设的等式x^y=ax+by-cxy及x※加=x(/n¥0),得

a-Q+bm-C-O-m=0,

所以人帆二0,又故b=0.因止匕x^.y=ax-cxy,

由藤2=3,2派3=4,得1'解得G=5,C=L

2。-6c=4

所以x※产5x-初，令x=l,y=m得5-/〃=1,故m=4.

11.⑴原式=(4?+32-4X3)+(82+52-8x5)=62;

⑵原式=3+32-2X3)A4=7A4=72+42-7X4=37;

(3)MX^=(22+52-2X5)A(32+42-3X4)=19A13

=192+132-19x13=283.

12.(1)原式=(4-3蟀9=1※9=9-1=8;

(2)因为表示*表示较大数与较小数的差，显然凝加沙※。成立，即这个运

算满是交换律，但一般来说并不满足结合律，例如：(3※4)※9=8,而3派(4派9)=3派

(9-4)=3※5=5-3=2.

13.(1)按照定义有2派3=±2+士3="13,3※4=3士+24=£25.

3264312

13

于是(2※①※44号+》导言745

312

6

25