差分方程和脉冲传递函数等概念

第七章线性离散系统的分析与校正本章主要内容

本章首先阐述离散控制系统相关基本概念，系统学习采样过程及采样、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析方法，简要介绍频率法、根轨迹法在离散系统中的应用以及离散系统的校正方法。本章重点

学习本章，掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、Z变换和Z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上重点掌握利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。深入了解频率法、根轨迹法在离散系统分析中的应用，理解离散系统的串联校正和最少拍校正原理。7-1离散系统的基本概念7-2信号的采样与保持7-3Z变换理论7-4离散系统的数学模型7-5离散系统的稳定性与稳态误差7-6离散系统的动态性能分析7-7离散系统的数字校正7-8离散控制系统设计第七章线性离散系统的分析与校正前六章讨论的是线性连续控制系统，其各处的信号都是时间的连续函数，也称为模拟信号（时间上连续、幅值也连续的信号）。若系统的一处或数处信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，则称为离散信号。它通常是按照一定的时间间隔对连续模拟信号进行采样而得到的，又称为采样信号，这样的系统称为离散系统或采样系统，如计算机控制的各种系统。信号分类1、模拟信号

信号是时间的连续函数；2、离散信号信号是时间上的离散序列；3、数字信号离散量化信号，是时间上、幅值上的离散序列。(a)连续信号t(b)离散信号t(c)离散量化信号t离散系统与连续系统间的根本区别在于：

连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数(模拟信号），而在离散系统中则不然，在一般情况下，控制系统中至少有一处或几处信号在时间上为离散的脉冲或数字信号。控制系统分类1、连续系统2、采样系统3、计算机控制系统被控对象控制器r(t)e(t)u(t)c(t)测量元件ZOH被控对象脉冲控制器测量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)D/A被控对象数字计算机测量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)A/D采样周期：是一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的稳定性、稳态误差、信号恢复精度！连续系统与采样控制系统的比较相同点：

1、采用反馈控制结构

2、都由被控对象、测量元件和控制器组成

3、控制系统的目的

4、系统分析的内容不同点：信号的形式（采样器、保持器）采样控制系统的优点：高精度、高可靠、有效抑制干扰、良好的通用性7-1

离散系统的基本概念

控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或数字，由于信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）1.采样控制系统给定电位器测温电阻加热气体被控对象电动机减速器放大器电位器检流器凸轮＋＋-s-θe*例：炉温采样控制系统

当炉温偏离给定值时，热敏电阻的阻值发生变化，使电桥失去平衡，检流计指针发生偏移，转角为S，同步电机带动凸轮使检流计指针上下周期性地运动，检流计指针每隔T秒与电信号接触一次，每次接触时间为τ秒。此时电位器输出是一串宽度τ

，周期为T的脉冲电压信号，用表示。信号仅仅在检流计指针与电位器接触时才能通过，它经过放大器，电动机，减速器控制炉门角度来改变气体的进气量，使炉温趋于给定值。当检流计离开电位器时，有误差信号，但执行电机不动作，相当于开关断开。炉温采样控制系统控制原理：炉温采样控制系统结构图检流计的输出是连续偏差信号，而通过指针、电位器的输出为离散信号。即连续信号，经采样周期为T的采样开关变为一系列脉冲信号。

采样就是通过采样开关的作用将连续信号变成脉冲序列的过程。所谓周期采样，就是采样开关按一定的时间间隔开闭。该时间间隔称为采样周期，通常用T

表示。信号采样：→0采样系统的典型结构图：0e(t)t0e*(t)t0eh(t)t2.数字控制系统例：小口径高炮高精度数字伺服控制系统D/AD/AD/AD/AD/ASMTG数字信号发生器误差角显示器ABC8255控制计算机模拟滤波器放大器PWM减速器负载多级双通道旋转变压器无源校正网络A/D及锁存电路计算机及其接口计算机控制系统及其信号变化

②字长足够认为e*(kt)=e(kt)

（1）A/D

过程

采样

—

时间上离散量化

—

数值上离散

①

t<<T

认为采样瞬时完成理想采样过程（2）计算过程描述

零阶保持器

(ZOH)（3）D/A

过程计算机控制系统的描述方法

3.离散控制系统的特点⑴由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活.⑵采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力.⑶允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度.⑷可用一台计算机分时控制若干个系统，经济性好.⑸对于具有传输延迟，特别是大滞后的控制系统，可以引人采样的方式使其趋于稳定.4.离散系统的研究方法系统中存在脉冲或数字信号，且作用过程是断续的，从时间上看控制过程也是断续的。所以，连续系统中的拉氏变换、传递函数和频率响应法及根轨迹法都不再适用。通常采用Z变换法，使用差分方程和脉冲传递函数，通过Z变换这个有力的数学工具，应用于离散系统。7-2

信号的采样与保持

1.采样过程（1）过程描述采样过程

当采样开关的闭合时间时,采样器就可以用一个理想采样开关来代替,采样过程可以看成是一个幅值调制过程.理想采样开关好像是一个载波为的幅值调制器,如图所示,其中为理想单位脉冲序列.理想采样过程

脉冲调制器r(t)e(t)e*(t)c(t)t单位脉冲序列：采样器的输出可表示为调制器载波（2）采样过程的特点1)采样过程相当于一个脉冲调制过程2)采样的输出信号可表示两个信号的乘积决定采样时间决定采样信号的幅值调制器采样器（3）采样信号的物理意义连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。

如果用数学形式描述上述调制过程，则有因为单位脉冲序列可以表示为其中是出现在时刻时、强度为1的单位脉冲,故可以写为（4）采样信号的数学描述因此，脉冲序列是从零开始的.上述讨论过程中，假设了

由于e(t)

的数值仅在采样瞬时才有意义，所以上式又可表示为采样器输出看做是一串脉冲，脉冲的强度，分别等于各采样瞬时上的采样数值。2.采样过程的数学描述（1）采样信号的拉氏变换对采样信号进行拉氏变换,可得根据拉氏变换的位移定理,有注意:②由于只描述了e(t)在采样瞬时的数值,所以不能给出连续函数e(t)在采样间隔之间的的信息.①与采样函数e(nT)

联系了起来,可以直接看出的时间响应.③采样拉氏变换,与连续信号e(t)

的拉氏变换非常类似.因此,如果e(t)是一个有理函数,则无穷级数也总是可以表示成的有理函数形式.④在求的过程中,初始值通常规定采用所以,采样拉氏变换例1

设，求的L变换

例2

设为常数，求的L变换

由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息,所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比,要发生变化.研究采样信号的频谱,目的是找出与之间的相互联系.

展开为如下形式的富氏级数：式中,,为采样角频率,是富氏系数,其值为（2）采样信号的频谱在区间中,仅在t=0时有值,且所以得那么对上式两边取拉氏变换,由拉氏变换的复数位移定理,得到：上式说明：1采样开关前后信号的拉氏变换之间的关系；2

是s的周期函数。式中：----原函数e(t)的频谱，最高频率为----调幅脉冲序列的频谱，以为周期。以代入（在频域内）,上式变为：即离散信号与连续信号频谱关系。采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱连续信号频谱采样信号频谱

>2c采样信号频谱

<2c信号复现的条件：加一个如图所示的理想滤波器。12脉冲序列互不搭接：01.0理想滤波器的频率特性3.香农（Shannon）采样定理香农采样定理：如果采样器的输入信号具有有限带宽，具有最高频率为的分量，只要采样周期满足以下条件：信号可以从采样信号中恢复过来。图8-4ωh为连续信号f(t)的最高次谐波的角频率。则采样信号f*(t)就可以无失真地再恢复为原连续信号f(t)。需要指出的是，采样定理只是在理论上给出了信号准确复现的条件。但还有2个实际问题需要解决。其一，实际的非周期连续信号频谱最高频率是无限的.其二，需要一个幅频特性为矩形的理想低通滤波器，才能把原信号不失真地复现出来。4.采样周期的选取

采样定理只是给出了采样周期选择的基本原则，并未给出选择采样周期的具体计算公式。一般:

T↓:对控制过程的信息获得越多，控制效果也会越好；但计算量加大，实现较复杂控制规律的难度加大。

T↑:给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，甚至有可能使控制系统不稳定。

因此，采样周期的选取是数字控制系统设计中的一个关键因素，必须要依据实际情况综合考虑，合理选择。工业过程采样周期T的选择控制过程采样周期(s)流量1压力5液面520成分20温度T的选取，主要取决于系统的性能指标。频域闭环:闭环频率响应有低通滤波特性．输入频率高于ωr时，信号快速衰减，可认为通过系统的控制信号最高频率分量为ωr

。频域开环：近似有ωc＝ωr，频率分量超过ωc的分量通过系统后被大幅度衰减。随动系统的采样角频率近似为ωs=10ωcT=2π/ωs,采样周期公式可表示为时域指标:T可以通过tr，ts选取，按经验公式确定5.信号保持信号的复现：把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实现方法：理想滤波器实际使用的方法：保持器保持器零阶保持器（恒值外推）一阶保持器（线性外推）采样定理

理想滤波器采样开关T选择得当，e(t)从e*(t)中完全复现。但理想滤波器不存在，只能用保持器代替。保持器将离散信号连续信号的元件采样时，连续信号值与脉冲序列强度相等，nT时刻，有(n+1)T时刻，有保持器要解决nT与(n+1)T之间(即0<△t<T)，连续信号e(nT+△t)有多大？它与e(nt)的关系？（1）保持器的数学描述保持器有外推功能，外推作用即现在时刻的输出取决于过去时刻离散信号的外推,用公式描述该式说明现在时刻的输出e(nT+△t)，由过去(m+1)个离散信号e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T、…、e*(n-m)T确定。αi（i=0,1,…,m）为待定系数，由过去(m+1)个e*[(n-i)T]确定，αi

有唯一解;△t＝0、－T、－2T、…、－mT为过去时刻。m=0，为零阶保持器；m=1，为一阶保持器；m=m，为m阶保持器。一般采用零阶保持器△t是以nT为坐标原点。（2）零阶保持器零阶保持器的输入输出信号主要特点：1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。2、相位滞后。——采用恒值外推规律，即将前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一个采样时刻(n+1)T。此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：可求得零阶保持器的传递函数为：其频率特性则为：据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线零阶保持器的频率特性零阶保持器具有如下特性：低通滤波特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比。在ω=ωs/2，其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过，从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随ω的增大而加大，在ω=ωs/2时，相角迟后可达－180°，从而使闭环系统的稳定性变差。时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t)，其平均响应为e[t－(T/2)]，表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统的稳定性不利。（3）一阶保持器一阶保持器是一种按照线性规律外推的保持器。一阶保持器的单位脉冲响应一阶保持器与零阶保持器比较1、一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分量也大。2、一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。3、一阶保持器的结构更复杂。一阶保持器实际很少使用。7-3

Z变换理论

1.Z变换定义对其进行拉氏变换：采样信号：令，则F(z)称为采样函数的z变换。2.Z变换方法(1)级数求和法由离散函数及其拉氏变换，根据Z变换的定义有：

已知函数在采样时刻kT(k=0,1,2,3,4,…..)的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式。对常用离散函数的Z变换应写成级数的闭合形式。例1：试求函数f(t)=1(t)的Z变换。解:f(kT)=1(kT)=1(k=0,1,2,3….)例2：试求函数f(t)=e-at的Z变换。解:

级数求和法求取已知函数Z变换，需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的技巧。但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义，这又是Z变换无穷级数表达形式的优点。Z变换本身便包含着时间概念，函数Z变换的无穷级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况。

(2)级数求和法设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即式中pi为F(s)的极点，

Ai为常系数。对应的时间函数为其Z变换为可见，f（t）的Z变换为：

利用部分分式法求Z变换时，先求出已知连续时间函数f(t)的拉氏变换F(s)，然后将有理分式函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）给出每一项相应的Z变换。例3：求的Z变换。例4：求f(t)=sinωt的Z变换。解：的原函数为，其Z变换为常用函数的Z变换3.Z变换性质Z变换的基本定理，与拉氏变换的基本定理有相似之处.设：则：函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。（1）线性定理（2）实位移定理（平移定理）t<0时，f(t)的值为零，f(t)的Z变换为F（z）则原函数延迟的采样周期数为k，象函数则乘z-k。算子z-k的含义表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。（3）复数偏移定理f(t)的Z变换为F（z），则（4）终值定理经常用于分析计算机系统的稳态误差！！f(t)的Z变换为F（z），f(nT)序列为有限值（n=0,1,2,…），并且极限存在，则函数序列的终值G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)线性定常系统，输入输出关系可用卷积分表示卷积的概念（5）卷积定理设式中为正整数，当n为负数时则有式中两个采样函数卷积的Z变换等于其相应Z变换的乘积！！卷积定理4.Z反变换Z反变换是已知F（z），求f(nT

)的过程，即只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！！求解方法:

部分分式法、幂级数法(长除法)、反演积分法(留数法)。步骤：①将变换式写成，展开成部分分式③查Z变换表②两端乘以Z（1）部分分式法（因式分解法，查表法）例1求的Z

反变换解：①②③（2）幂级数法（长除法）要点：将F（z）用长除法变为降幂排列的形式。F(z)展开成的无穷幂级数，即如果幂级数收敛，按Z变换定义，式中系数即采样脉冲序列的脉冲强度f(nT)。可以直接写出的脉冲序列表达式即：例2求的Z反变换解：为方便求取，将分母首项变成1。为此，用分母首项（Z2）去除全式（3）反演积分法（留数法）函数F(z)zn-1在极点pi处的留数，曲线C是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线。由Z变换的定义两端同乘由复变函数理论若Zi为一重极点若Zi为q重极点例3求的Z反变换解：有两个一重极点例4求的Z反变换解：有一个两重极点7-4

离散系统的数学模型为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、脉冲响应函数及频率特性等。离散系统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间三种。1.离散系统的数学定义

将输入序列r(n)变换为输出序列c(n)的一种变换关系,称为离散系统.记作其中,r(n)和c(n)为时系统的输入序列和输出序列为采样周期.……设输入序列为

[的简记],输出序列为且记作若上式为线性关系,则称为线性离散系统，否则为非线性离散系统。输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统。它可以用线性定常差分方程来描述。2.线性常系数差分方程及其解法差分的定义两个采样点信息之间的微商即称为差分。忽略采样间隔T连续时间系统r(t)c(t)

微分方程

R(s)C(s)G(s)离散时间系统r(k)c(k)

差分方程

R(z)C(z)G(z)设连续函数为，其采样函数为其一阶前向差分为其二阶前向差分：其一阶后向差分：其二阶后向差分：差分方程对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值c(k)不仅与这一时刻的输入值r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、c(k-2)…有关。为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统的输入输出关系：也可用n阶后向差分方程描述n—系统的阶次k—系统的第k个采样周期解：例1已知微分方程：将其离散化，用采样控制方式(T=1)，求相应的前向差分方程，并解之。（1）迭代法：由后向n阶得当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系，可以逐步求出系统在给定输入序列作用下的输出序列（用计算机最为方便）。由前向n阶差分方程可得输出序列的递推关系：差分方程的解法①经典法；②迭代法；③Z变换法。例2：

已知差分方程为输入序列r(k)=1，初始条件为试用迭代法求输出序列解：根据初始条件及递推关系得：(2)Z变换法:与连续系统用拉氏变换解微分方程一样，用Z变换解差分方程。先对差分方程两边求Z变换，使差分方程变为以Z为变量的代数方程，得到再求反变换可求得输出序列例3：

解：差分方程为：两边求z变换，用超前定理：或3.脉冲传递函数（1）脉冲传递函数定义G(s)

线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为:在零初始条件下，系统输出采样信号的Z

变换与输入采样信号的Z变换之比，记作所谓零初始条件,是指在t<0时,输入以及输出脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T),

c(-T),c(-2T),

均为零.R(z)已知,求c*(t)关键在于求出系统脉冲传递函数G(z).如果已知R(z)和G(z),输出采样信号为局限性:

(1)原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息;(2)只适合描述单输入单输出系统;(3)只适线性定常离散系统。实际上，多数离散控制系统的输出都是连续信号，而不是离散的采样信号。在此情况下，可以在系统的输出端虚设一个理想采样开关。它与输入采样开关同步动作，而且采样周期相同。必须指出，在这种情况下，虚设的采样开关是不存在的，它只表明脉冲传递函数所能描述的仅是输出连续信号的采样信号。（2）脉冲传递函数意义实际开环离散系统G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)虚设开关由卷积和定理，可得系统的脉冲传递函数即为系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号的Z变换，即系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)衰减越快，则相应的脉冲传递函数的展开式中包含的项数越少。（3）脉冲传递函数求法求G(z)的一般步骤：①求出系统的传递函数G(s);②将G(s)分解成部分分式后用查表法求取G(z)。

若不能查表，则继续按下述步骤进行；③求出脉冲响应函数④从nT代替g(t)中的t，再按Z变换的定义计算：例4：若，求解：

由于拉氏变换和Z变换均为线性变换，所以、与之间存在一一对应关系，故也可以由直接查表求得。

4.开环系统脉冲传递函数开环离散系统由几个环节串联组成时，脉冲G(z)的求法与连续系统的G(s)情况不完全相同。两个开环离散系统的组成相同，但采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会不同。对开环系统的脉冲传递函数，应注意以下两种不同的情况。

串联各环节之间有采样器串联各环节之间无采样器1）串联各环节之间有采样器脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传函之积。如图，G1(s)和G2(s)之间有理想采样开关隔开。根据脉冲传递函数定义，得G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)D*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG(z)2）串联各环节之间无采样器两个串联环节之间没有采样开关，脉冲传递函数为这两个环节传递函数积的Z变换。G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)C(z)C(s)C*(s)TG(z)例5设两个环节串联，求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。解：两个环节中间有采样开关时两个环节中间无采样开关时有零阶保持器的开环系统3）有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数例5：设求系统的解：

可见：没有保持器时有保持器时其分母相同，分子不同。零阶保持器不影响极点，只影响零点5.闭环系统脉冲传递函数在离散控制系统中，由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，因而对于离散控制系统而言，会有多种闭环结构形式，这就使得闭环离散控制系统的脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据系统的实际结构具体分析。G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)B(s)误差方程采样后Z变换反馈方程输出方程1）采样系统典型结构代入作采样Z变换误差的Z变换即输出方程采样Z变换输出对输入的脉冲传递函数2）数字控制系统典型结构（1）系统的输入、输出为、；（2）根据系统结构图

（3）对上式采样后进行z变换

注意：对于一个离散控制系统，若对其误差信号不进行采样，将得不到闭环脉冲传递函数，而只能写出输出信号的变换表达式。

（4）消去中间变量、，得

例6

设闭环离散系统结构如图所示，试证其闭环脉冲传函为离散系统结构证明：例7

设闭环离散系统结构如图，试求其输出采样信号的z变换函数闭环系统结构图解：由图可得离散化有取Z变换有3）对于一般的单闭环系统求解规律典型闭环离散系统结构图及其脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法①离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；②表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打“*”号。否则需相乘后才打“*”号。③取Z变换，把有“*”号的单项中的s变换为z，多项相乘后仅有一个“*”号的其Z变换等于各项传递函数乘积的Z变换。7-5

离散系统的稳定性与稳态误差线性连续系统稳定的充要条件:[s]j0稳定区不稳定区线性连续系统稳定的充要条件是闭环系统特征方程的根全部位于左半s平面上，稳定与不稳定区域以虚轴为界。∆以虚轴为界离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在s平面上分析稳定性的结果离散线性系统在z平面上的稳定性。1.s域到z域的映射本节讨论离散系统的稳定性，同时指出计算离散系统在采样瞬时稳态误差的方法。7.6.1离散系统的稳定条件（一）S平面和Z平面的映射关系设复变量则因为由于S平面Z平面变化一周变化一周Z平面以原点为圆心的单位圆上的点（显然有|z|=eσt=1)S平面是虚轴上的点Z平面的单位圆映射到s平面为虚轴；Z平面单位圆内的点（|z|=eσt

<1）映射到s平面位于左半平面的点（σ<0)；Z平面上单位圆外的点（|z|=eσt

>1）映射到z平面则位于右半平面的点（σ>0)。S平面Z平面Z平面S平面2.离散系统稳定的充分必要条件闭环脉冲传递函数闭环系统特征方程闭环系统稳定的充要条件R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T例8

二阶离散控制系统的方框图如下图所示，试判断系统的稳定性。设采样周期，。解：先求出系统的闭环脉冲传递函数式中

闭环系统的特征方程为

解出特征方程的根

特征方程的两个根都在单位圆内，所以系统稳定。

例9系统不稳定。几点说明：（1）当系统的闭环特征方程以因式的形式给出时，可直接判别其稳定性。（2）当系统的闭环特征方程不是以因式的形式给出时，又分以下两种情况：1）

如果为一、二阶系统，也可直接解得特征根。2）

如果为高阶系统，不易解得特征根，可用判据。连续系统中的劳斯判据是判别根是否全在S左半平面，从而确定系统的稳定性。在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。3.离散系统的稳定判据劳斯判据用到离散系统，必须引入Z域到ω域的线性变换，使Z平面上的单位圆，映射成ω平面上的左半平面，这种新的坐标变换，称为双线性变换，或称为ω变换。双线性变换法z和w均为复变量将Z带入（2）w平面的左半平面对应Z平面单位圆内（3）w平面的左半平面对应Z平面单位圆外讨论（1）w平面的虚轴对应Z平面单位圆Z平面w平面用劳斯判据判别稳定性的步骤：中整理得到2）令代入1）求出离散系统的特征方程3）应用劳斯判据：

的根是否都位于的左半部。

例10

设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1s，试求系统稳定时K的变化范围。解：求系统的开环脉冲传递函数代入上式，得系统特征方程为闭环系统脉冲传递函数为化简后，得w域特征方程列劳斯表从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使K>0，2.736-0.632K>0，即0<K<4.33。朱利稳定判据：朱利稳定判据是直接在Z域内应用的稳定性判据。设离散控制系统的闭环特征方程可写为根据特征方程的系数，利用表7-4的方法构造（2n－2）行，（n＋1）列的朱利阵列：表7－4朱利阵列在朱利阵列中，第（2k＋2）行各元素，是（2k＋1）行各元素的反序排列。从第三行起，阵列中各元素的定义如下：则离散控制系统稳定的充要条件是：系统满足如下约束条件例11

已知离散控制系统的特征方程为试判断系统的稳定性。解：系统满足朱利判据的所有约束条件，故系统是稳定的。4.采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期T。举例说明：设带有零阶保持器的离散系统如图所示R(s)C(s)Ts(1)当采样周期Ts分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益K；(2)当r(t)=1(t)，K=1，Ts

分别为0.1s、0.2s、0.3s、0.4s

时，系统的输出相应c(kTs)。系统的开环脉冲传递函数为相应的闭环特征方成为当时，有令得w域特征方程系统的临界开环增益当时，有w域特征方程系统的临界开环增益系统的闭环脉冲传递函数可求的C(z)表达式，取不同的采样周期，对其Z反变换，求出c(kTs)。不同T时系统的响应K=1，T=0.1K=1，T=4K=1，T=2K=1，T=1K=2，T=1K=3，T=1K=0.5，T=1K=2.4，T=1K=2，T=0.5K=3，T=0.5K=5，T=0.5K=4.37，T=0.5

K与T对离散系统稳定性有如下影响：1)当采样周期一定时，加大开环增益使系统的稳定性变差，甚至使系统不稳定；2)当开环增益一定时，加大采样周期，丢失的信息越多，对系统的稳定性及动态特性均不利，甚至使系统不稳定。5.离散系统的稳态误差系统的稳态误差是其稳态性能的度量，也是系统分析和设计的一项重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的值。由于离散系统的脉冲传递函数与采样开关的配置有关，所以其稳态误差的计算没有统一的公式，只能采用计算终值－－的方法求得。只要离散系统是稳定的，就可用z变换的终值定理求出采样时刻的稳态误差。系统误差脉冲传递函数154单位反馈离散系统

如果的极点全部严格位于z

平面上的单位园内,即若离散系统是稳定的,则其稳态误差为稳态误差不但与系统本身的结构和参数有关,还与输入序列的形式和幅值有关,此外还与采样周期T

有关.其误差脉冲传递函数为例1：设图中试求连续系统相应的稳态误差。解：系统闭环稳定。单位反馈离散系统离散系统稳态误差的两种计算方法终值定理法：用Z变换终值定理求稳态误差;静态误差系数法：用误差脉冲传递函数求稳态误差。静态误差系数法

——r(t)作用时e(∞)的计算规律

(适用于系统稳定，r(t)作用，对误差采样的线性离散系统)设6.离散系统的型别与静态误差系数采样系统为Ⅰ型系统时采样系统为Ⅱ型系统时

（1）单位阶跃输入时的稳态误差静态位置误差系数采样系统为Ⅱ型系统时采样系统为0型系统时（2）单位斜坡输入时的稳态误差静态速度误差系数及稳态误差系统类型位置误差速度误差加速度误差0型1/Kp∞∞Ⅰ型0T/Kv∞Ⅱ型00T2/Ka（3）单位加速度输入时的稳态误差

静态加速度误差系数及稳态误差静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数离散系统静态误差系数与稳态误差的计算输入信号作用下的离散系统稳态误差解：例2

稳定离散系统的结构图如图所示，已知r(t)=2t,试讨论有或没有ZOH时的e(∞)。无ZOH时有ZOH时—与T

有关—与T无关连续系统的性能指标是利用系统在单位阶跃输入信号作用下的时间响应而求到的。同样，离散系统的动态性能指标也可以通过求解其单位阶跃响应而获得。当然，在连续系统的性能分析中，有时也可以不用求解时间响应，而是直接在[s]平面上通过分析闭环零极点的分布，进而大致得到系统的动态性能。同理，离散系统也可以直接在[z]平面上通过分析闭环零极点的分布获得系统的动态性能。7-6

离散系统的动态性能分析1.离散系统的时间响应

假定外作用为单位阶跃函数1(t).如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数,其中则系统输出量的Z变换为对上式进行Z

反变换,即可求出输出信号的脉冲序列

代表线性定常离散系统在单位阶跃函数作用下的响应过程.解：包括零阶保持器在内的广义被控对象的传递函数为：R(s)+-TC(s)G(z)例3

求图示系统在单位阶跃输入的作用下的动态过程已知T=1s。系统的闭环传递函数为：对于单位阶跃输入：用长除法得:响应曲线0123450.511.5·····K…………2.采样器和保持器对动态性能的影响

采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点,仅影响开环脉冲传递函数的零点.

开环脉冲传函零点的变化,必然会引起闭环脉冲传函极点的改变.因此采样器和保持器会影响闭环离散系统的动态性能.定性分析如下:(1)采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小,但使超调量增大,故采样造成的信息损失会降低系统的稳定性.

然而在某些情况下,例如在具有大延迟的系统中,误差采样反而会提高系统的稳定性.(2)零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长,超调量和振荡次数也增加.这是因为除了采样造成的不稳定因素外,零阶保持器的相角迟后降低了系统的稳定性.3.闭环极点与动态响应的关系问题的提出：分析系统的目的a.判定系统性能的优劣b.设计出性能最佳的系统连续系统的分析设计方法：根据闭环极点的分布与暂态响应的关系，合理设置系统的闭环极点（即合理设计调节器），满足系统的性能要求。（1）连续系统闭环极点分布与动态性能的关系[s]j0稳定区不稳定区（1）闭环极点位于左半[s]上系统稳定；位于右半[s]上系统不稳定；位于虚轴上系统临界稳定（属于不稳定）。∆以虚轴为界[s]j0s1s2s3s4（2）闭环单值极点位于左半[s]上，其暂态响应为单调收敛；而且，极点离虚轴越远，收敛速度越快。（3）共轭复数极点位于左半[s]上，其暂态响应为振荡收敛。且靠近虚轴σ％→100％，靠近实轴σ％→0。

[s]j0s8s7s5s6s9（6）闭环单值极点位于右半[s]上，其暂态响应为单调发散。（5）共轭复数极点位于右半[s]上，其暂态响应为振荡发散。（4）闭环极点位于虚轴上，其暂态响应为等幅振荡。[s]j045°45°阻尼线（6）为使系统稳定且具有较好的动态性能，闭环极点应该位于左半[s]上，靠近±45°的阻尼线附近，且离虚轴越远越好。（极点位置不满足要求时，可通过校正实现）[s]j0s5s6s1s2s3s4非主导极点主导极点（7）位于左半[s]上离虚轴最近的极点且远离其它闭环零极点，其暂态响应衰减最慢，叫主导极点。用于估算性能指标。（2）离散系统闭环极点分布与动态性能的关系已知连续系统的动态性能是用单位阶跃响应表征的。同样，离散系统的动态性能也是假设在单位阶跃输入下，故设其中：∴----稳态响应；----暂态响应。又因为z是一个指数复数，所以也为指数函数。此时的对应的暂态响应按指数规律变化。1．

为正实数：正实轴上的闭环极点(1)0<<1：则a<0，指数衰减，离原点越近的极点对应的暂态响应衰减越快。[z]Im0Reλ11-1λ2[z]Im0Reλ31-1λ4(2)，则暂态响应指数发散。(3)，则暂态响应为常数,不衰减。2．

为负实数：

的符号n为奇数为负，n为偶数为正，所以随着n的增加，输出可为正也可为负，取决于n，交替变化，呈振荡规律。负实轴上的闭环极点λ6[z]Im0Reλ51-1λ7(1)当

时，为振荡衰减，

离原点越近，响应衰减越快。

(2)当

时，为振荡发散。

(3)当

时，为等幅振荡。

Z平面ImRe01闭环实极点分布与相应的动态响应形式闭环实极点分布与相应的动态响应曲线3．极点为一对共轭复数：

为由系数计算公式可知，此时的也是一对共轭复数:即。其中和

和，对应的暂态响应为则有(1)若

<1：暂态响应为振荡衰减，且离原点越近暂态响应衰减越快。

(2)若

>1：为振荡发散。

[z]Im0Re1-10Re1-1(3)若

=1：响应为等幅振荡。

[z]Im(4)

--一个振荡周期包含的采样周期个数，剧烈增加。a)=0（为正实数），，暂态响应为非周期发散或衰减。极端情况：b)为负实数），---一个振荡周期（反映了对应暂态响应振荡的剧烈程度包含了两个采样周期，暂态响应为正负交替的发散或衰减，最剧烈。

四个采样周期，暂态响应仍为衰减或发散的周期振荡。（c)在虚轴上），

--

一个振荡周期包含0Re1-1[z]Im（5）由上图可以看出：离散系统的振荡频率与成正比：所以，位于左半[z]上的极点其暂态响应的振荡频率要高于右半[z]上极点所对应的暂态响应的振荡频率。0Re1-1[z]Imλ5闭环复极点分布与相应的动态响应形式返回ImRe1–1闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应曲线（3）离散系统闭环极点分布与动态特性小结1）当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响应是收敛的，系统是稳定的。2）当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响应是发散的，系统是不稳定的。0Re1-1[z]Im稳定区不稳定区Δ以单位圆为界尽量避免分布在左半[z]平面的单位圆内，4）为使系统具有较好的动态品质，闭环极点应3）当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响应是等幅振荡的，系统仍是不稳定的。尤其不要靠近负实轴，最好分布在右半单位圆内且靠近原点处。（极点位置不满足要求时，可通过校正实现）

非主导极点主导极点5）位于[z]上单位圆内离单位圆最近的极点且其它

闭环零极点又都靠近原点，其暂态响应衰减最慢，称为主导极点。用于估算性能指标。0Re1-1[z]Im（4）连续系统与离散系统的动态特性比较2）连续系统实数极点对应的暂态响应为单调变化；而共轭复数极点对应的暂态响应为周期性

变化，且极点虚部↑→振荡频率↑。离散系统只有正实数极点对应的暂态响应为单调变化；而共轭复数极点和负实数极点对应的暂态响应均为周期性变化，且1）连续系统以[s]平面的虚轴为界划分稳定区与不稳定区。离散系统以[z]平面的单位圆为界划分稳定区与不稳定区。4）连续系统的主导极点是位于左半[s]上离虚轴最近的极点。离散系统的主导极点是位于[z]上单位圆内且离单位圆最近的极点。3）连续系统的闭环极点最好位于左半[s]上，且靠近±45°阻尼线附近。（位置不理想→校正）离散系统的闭环极点最好位于右半[z]平面的单位圆内，且靠近原点处。（位置不理想→校正）定性分析闭环极点分布对系统暂态响应的影响为设计合理的、性能最佳的控制系统指明了原则和方向。★7-7

离散系统的数字校正1.数字控制器的脉冲传递函数图中：Gp(s)----被控对象的传递函数；----零阶保持器的传递函数.D(z)----数字控制器的脉冲传递函数。

系统的闭环脉冲传递函数为：系统的误差脉冲传递函数为由上两式可分别求出数字控制器的脉冲传递函数为

离散系统的数字校正问题就是:根据对离散系统性能指标的要求,确定闭环脉冲传递函数或误差脉冲传递函数,然后确定数字控制器的脉冲传递函数,并加以实现。2.最少拍系统设计设计要求：系统在稳定的基础上，必须满足：①对典型输入函数，输出在采样时刻上无稳态误差；②过渡过程（函数）在最少个采样周期内结束。1）稳定性

脉冲传递函数的特征方程的根，必须全部位于单位圆内。如果G(z)中包含有单位圆上或单位圆外的零点或极点时，必须通过选择，使它们能抵消G(z)中的不稳定零、极点。2）典型输入信号3）稳态误差为零的条件

对于典型的采样系统，其误差的脉冲传递函数为：稳态误差为零的条件可由下式给出：式中,F(z)是不含因子的多项式，待定。因此，满足

的条件是：

为使最简单，阶数最低，一般取F(z)=1.其意义是使

的全部极点均位于平面的原点。从而有表明:4）D(z)的求取（1）单位阶跃输入作用下当

时,

可见,最少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入,如图所示.这样的离散系统称为一拍系统,。Tts=最小拍系统的单位阶跃响应序列且有于是（2）单位斜坡输入作用下当时,有.)2(,)(,0(====eT表明:00)LTTee且有于是表明:（3）单位加速度输入作用下当时,有最小拍系统的单位斜坡响应序列最小拍系统的单位加速度响应序列典型输入闭环脉冲传递函数数字控制器D(z)调节时间tsr(t)R(z)Fe(z)F

(z)1(t)Tst2Tst2/23Ts最小拍系统设计结果例1

设单位反馈的离散系统连续部分的传递函数为系统使用零阶保持器，采样周期为T=1s。要求系统在单位斜坡输入下，实现最少拍控制，求数字控制器的脉冲传递函数。E(s)Gp(s)D(z)R(s)C(s)TTGh(s)U(s)系统输入为斜坡函数，取闭环脉冲传递函数为：求得数字控制器的脉冲传递函数为：试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的D(z)。例2

设单位采样控制系统的框图如前，其中解：输入信号为单位斜坡信号,所以加入校正装置后,最少拍系统的开环脉冲传递函数调整时间:两拍超调量:100%

若输入信号不是单位斜坡信号,而是单位阶跃信号,系统的输出信号的Z变换为:最少拍系统的局限性1、根据一种典型信号进行校正而得到的最少拍系统，往往不能很好适用其它形式的输入信号。2、当G(z)含有单位圆上或单位圆外的零点、极点时不能直接应用。当G(z)含有单位圆上或单位圆外的零点、极点时，闭环脉冲传递函数选择的原则：（1）用Φe(z)的零点补偿G(z)在单位圆上或圆外的极点。（2）用Φ(z)的零点补偿G(z)在单位圆上或圆外的零点。（3）G(z)中常含有z-1的因子，为了保证D(z)能实现，要求Φ(z)也必须有z-1的因子。又所以应该包含常数项1和z-1试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的D(z),以及系统暂态响应C*(t)

。例3

设单位采样控制系统的框图如下：

解：输入信号为单位阶跃信号,所以加入校正装置后,最少拍系统的输出信号的Z变换校正装置的脉冲传递函数3.无波纹最少拍系统设计E(s)Gp(s)D(z)R(s)C(s)TTGh(s)U(s)(1)最少拍系统产生纹波的原因tc*(t)Ts2Ts5Ts2Ts3Ts显然，经过二拍后，零阶保持器的输入序列

u(nT)并不是常值脉冲，而是围绕平均值上下波动，使保持器的输出也是波动的，这样会使系统输出不稳，产生纹波。无纹波输出要求控制器的输出序列u(nT)在有限个采样周期后达到相对稳定，不波动。(2)无纹波最少拍系统的必要条件若输入信号为：则无纹波最少拍系统的必要条件是：被控对象的传递函数Gp(s)中至少要包含(q-1)个积分环节。在以下的讨论中假设这一条件成立。(3)无纹波最少拍系统的附加条件如果经过l个采样周期后，脉冲序列u(nT)进入稳态：常数(可以为0)则此时的最少拍系统是无纹波的。因此无纹波最少拍系统要求数字控制器的输出序列U(z)只在有限拍是变化的。U(z)=D(z)Fe(z)R(z)在最少拍系统设计时，Fe(z)的零点可以完全对消R(z)的极点，因此只要D(z)Fe(z)为z-1的有限项多项式，U(z)就是z-1的有限项多项式。u(nT)在有限拍后达到稳态值，从而保证系统无纹波输出。现在设计D(z)Fe(z)使之为z-1的有限项多项式上式中，G(z)的分母多项式

Q(z)总是有限项多项式，不会妨碍D(z)Fe(z)成为

z-1的有限项多项式。因此使D(z)Fe(z)为z-1的有限项多项式的条件是：闭环脉冲传递函数F

(z)的零点应对消G(z)的全部零点。即