无限冲激响应滤波器的设计方法

第7章

IIRDF的设计方法数字滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低、带、高、带阻。2.从实现方法上分:FIR、IIR3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫〕,Butterworth〔巴特沃斯〕4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器等等。数字滤波器的理想幅频特性LPDFHPDFBPDFBSDF…….…….…….…….一般滤波器的设计方法概述因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统，即选频滤波器。它在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。性能指标我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。理想滤波器物理不可实现的。〔由于从一个频带到另一个频带之间的突变〕要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。1、低通滤波器的性能指标fswsfpwpδ21-δ11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)δ1:通带的容限δ2：阻带容限通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fs(ws)又称阻带下限截止频率。阻带衰减：As2、高通滤波器的性能指标fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fs(ws)又称阻带上限截止频率。阻带衰减：As3、带通滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws24、带阻滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws25、通常具体技术指标四、H(z)如何推导出有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特性〔低、高、带通、带阻〕来设计系统H(z).有时根据时域波形提出要求来设计-->单位冲激响应h(n)的形状。有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).五、确定DF的采用的结构及运算结构的好坏确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。1.计算复杂性一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间，延时器最费存储单元。2.存储器长度的有限和运算结构将会有影响。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。滤波器设计的步骤1.根据任务，确定性能指标。2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。3.用有限精度算法实现这个系统函数。〔包括选择运算结构、选择适宜的字长、有效数字处理方法。〕4.用适当的软、硬件技术实现包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。

模拟滤波器

的设计方法简介1.幅度平方响应通常我们用的数字滤波器一般属于选频滤波器，幅频特性表示信号通过该滤波器后频率成分衰减情况。本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计，即根据幅度平方响应来设计。由于冲激响应h(n)为实函数，故满足：即满足共轭对称条件。假设是H(z)的极点，那么：是H(z-1)的极点.又由于H(z)的有理表达式中各系数为实数，因而，零极点必然都以共轭对形式出现，故必有：两极点存在所以〔1〕H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位圆镜像对称的。〔2〕为了使H(z)成为可实现的系统，故取：单位圆内的那些极点作为H(z)的极点单位圆外的那些极点作为H(z-1)的极点H(z)的零点一般不是唯一确定的，可在z平面上的任意位置。〔3〕如果选H(z)H(z-1)在z平面单位圆内的零点作为H(z)的零点，那么所得到的是最小相位延时滤波器。2.相位响应滤波器的相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。如果对输出波形有要求，那么需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成，波形传输、图像信号处理等对波形有严格的要求，那么需要设计线性相位数字滤波器。〔放在第八章讲〕3.群延时它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：一、IIRDF系统函数IIRDF是一个递归型系统，其系统函数：二、IIRDF频率特性它是由三个参量来表征：1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时三、IIRDF的设计方法设计IIR数字滤波器系统函数有三种方法：1、简单滤波器的零、极点累试法2、间接方法3、直接方法1、简单滤波器的零、极点累试法在z平面上直接设计IIR数字滤波器，以滤波器响应作为依据，直接在z平面上，通过屡次选定极点和零点位置逼近该响应。即在单位圆内设置一对共轭极点，频响在w0处就有一峰值。r越近于1，极点位置越接近单位圆，那么峰值就越锋利。同理，假设在单位圆内设置一对零点，频响就会在w1处出现零值，即可实现陷波。如特性还达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的DF.这种方法，可以设计一些简单阶数很低〔1~2阶)的DF。**Re[z]Im[z]2、间接方法由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIRDF的方法，即间接设计方法。这种方法通常要先设计一中间滤波器，然后通过映射或频率变换完成最终IIR数字滤波器的设计。这种间接设计方法中包括：(1)由模拟滤波器设计数字滤波器(2)频率变换法〔分为模拟频率变换法和数字频率变换法〕来设计数字滤波器3、直接方法直接方法(计算机辅助设计法)〔1〕在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。〔2〕在时域直接设计IIR数字滤波器此法根据性能指标和一定的逼近准那么，直接利用计算机完成设计。由模拟滤波器设计数字滤波器的方法

一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤这种方法设计经以下三步：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标2、模拟低通滤波器设计3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标根据给定设计要求，把数字滤波器的性能指标变成模拟滤波器低通的性能指标。这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用。〔采用冲激不变法和双线性变换法〕2、模拟滤波器设计设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Ellipse,Bessel等。3、映射实现利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，完成IIR数字滤波器系统函数的设计。〔采用冲激不变法和双线性变换法〕二、由模拟滤波器设计

数字滤波器条件由模拟变换到数字的映射必须满足两条基本要求：①H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。，S平面的虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆上，即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π]②因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z).为保持滤波器稳定性，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内，即Re[s]<0|z|<10ΩSωz-ππ0ΩSωz-ππ三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性用这方法设计IIR数字滤波器存在一定的局限性：(1)这种方法只适于设计幅度响应分段恒定的滤波器，不能解决多带或任意幅度的滤波器的设计问题。(2)它只是一种可行的方法，而不是最优的方法。四、映射实现的方法由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。主要有以下几种映射方法：冲激响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法冲激不变法

〔脉冲响应不变法〕由雷道〔Rader),戈尔登(Golden)提出一、变换原理

1、什么是冲激不变法冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h(n)对应于模拟滤波器ha(t)的等间隔抽

样。h(n)=ha(nT)，其中T是抽样周期。因此时域逼近良好。2、数字滤波器与模拟滤波器的频率的响应映射关系由于在时域抽样，导致在频域内，数字滤波器的频率响应H(ejw)为模拟滤波器频率响应的周期延拓.存在多对一的映射关系。3、冲激响应不变法的映射规那么为:z=esT(T为抽样周期).这种映射并不是简单的代数映射，故不能将其直接代入Ha(s)来得到H(z).4、映射规那么的要点S平面上每一条宽为的横带局部，将重叠映射到z平面的整个平面上。每一横条的左半边映射到z平面单位圆内，每一横条的右半边映射到z平面单位圆外。S平面的虚轴(j)轴映射到z平面单位圆上，虚轴上每一段长为的线段都映射到z平面单位圆上一周。数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。二、性能分析数字滤波器的冲激响应为对应模拟滤波器冲激响应的抽样，由抽样定理可知其频谱为模拟滤波器频谱的周期延拓。只有模拟滤波器的频谱限带于折叠频率内时，即要满足才能避免混叠失真。而实际的滤波器并非严格限带，所以用冲激响应不变法设计的数字滤波器不可避免地会产生混叠失真。所以此法只适于设计带限滤波器。三、设计流程的公式推导

1、设计步骤冲激响应不变法设计数字滤波器的思路为:(1)先根据要求，设计出中间模拟滤波器系统函数,(2)然后经以下变换设计出H(z)：Ha(s)→ha(t)→h(n)→H(z)即：Ha(s)求ha(t)=L-1[Ha(s)]ha(t)抽样，h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)(会导致频谱中幅度变小〕Th(n)=Tha(t)|t=nT〔把幅度加大，让它频谱幅度一样〕H(z)=Z[Th(n)]可见整个过程很复杂。2、设计流程中注意点冲激响应不变法是Ha(s)-->H(z).即:将S平面极点sk映射-->到Z平面极点z=eskT因而只有极点有这种简单映射关系，而零点不满足这种简单的对应关系。将模拟滤波器系统函数展开为并联形式〔即局部分式展开〕，且要求其分母的阶次大于分子的阶次。〔因为只有这样才是一个稳定的模拟系统〕下面通过推导变换关系完成数字滤波器系统函数设计。3、设计公式推导四、模拟滤波器与数字滤波器的变换关系五、数字滤波器的频率响应数字滤波器的频率响应：与抽样周期T成反比，当抽样频率很高时，将产生很高的增益，为稳定增益，令h(n)=Tha(nT)那么六、用冲激不变法设计IIRDF的一般流程〔总结〕用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程：1、根据设计要求，设定指标。2、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:3、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。4、将Ha(s)展成局部分式的并联形式，利用式设计出H(z)。5、将H(z)乘以抽样周期T，完成数字滤波器系统函数H(z)的设计。七、冲激不变法设计IIRDF的优缺点〔1〕冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。〔2〕模拟频率Ω和数字频率w之间呈线性关系：w=ΩT如：一个线性相位的模拟滤波器〔例贝塞尔滤波器〕可以映射成一个线性相位的数字滤波器。〔3〕缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。八、冲激不变法应用的局限性由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频局部不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。假设要对高通和带阻实行冲激不变法，那么必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。对于带通和低通滤波器，需充分限带，假设阻带衰减越大，那么混叠效应越小。例子1|Ha(jΩ)|Ωw|H(ejw)|由于模拟滤波器不是充分限带，所以数字滤波器产生很大的频谱混叠失真。例子2设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π,止带频率ws=0.4π,在w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法〔冲激不变法〕设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz〕解：设计分为4步。〔1〕将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。因为：fs=20kHz,那么采样间隔为T=1/fs=1/20kHz对于冲激不变法，频率变换是线性的。(2)设计Ha(s)x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)并联型级联型

阶跃响应不变法一、变换原理同冲激响应不变法，可使所设计的数字滤波器的单位阶跃响应g(n)等于模拟滤波器的单位阶跃响应ga(t)按周期T的等间隔采样的采样值ga(nT)。这种设计方法称为“阶跃响应不变法〞即二、变换公式设模拟滤波器的系统函数为Ha(s),数字滤波器的系统函数为H(z).如果其输入端作用一个阶跃函数u(n),那么其输出端即为阶跃响应g(n).两端取z变换可得：因此有：要满足阶跃响应不变，那么有这就是阶跃响应不变法由模拟系统函数Ha(s)映射成数字系统函数H(z)的公式。因此有：三、特点1.由于阶跃不变法仍由模拟滤波器求得相应数字滤波器的系统函数。因模拟滤波器的幅度响应不具有锐截止的通带特性，那么利用阶跃不变变换法设计的滤波器也同样存在频响混叠问题。2.由于变换公式中存在因子1/s,因此在高频段将增加6dB/每倍频程的衰减。即对于同一模拟滤波器系统函数，阶跃响应不变法所引入的混叠误差将比脉冲响应不变法所产生的误差小。四、应用场合主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器的功能。例如：控制冲激响应或阶跃响应的数字滤波器。这样可把模拟滤波器时域特性的许多优点在相应的数字滤波器中保存下来。而其它情况下设计IIR数字滤波器时，多采用下节介绍的双线性变换法。双线性变换法

BilinearTransformation引言冲激不变法〔和阶跃响应〕：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。它是由凯塞(Kaiser)和戈尔登(Golden)提出。一、变换原理

1、定义双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的一种变换法。2、实现S平面与Z平面一一对应的关系。第一次变换：频率压缩第二次变换：数字化S平面S1平面Z平面3、双线性变换法的映射规那么

双线性变换法的映射规那么：

〔1〕频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。〔2〕数字化：将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。〔1〕频率压缩把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。这个横带的宽度为：那么满足：采用如下变换关系：〔2〕数字化将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。那么可得到S平面-->z平面的单值映射关系：以后变换只须用上面公式带入即可。实际中，为使模拟滤波器的某一频率与数字化滤波器的任一频率有对应的关系，引入常数C〔3〕变换常数C的选择1调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关系。(a)使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。(b)利用DF的某一特定频率(例截止频率wc)与AF的某一特定频率c严格相对应。二、性能分析1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。2.它是一种简单的代数关系。只须将上述关系代入AF的Ha(s)中(对直接、级联、并联结构都适用)即可求出DF的H(z),设计十分方便。4.双线性变换法不适用于设计：(1)设计线性相位的DF(2)它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅度变换是线性的)。(一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数)即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。所以双线性变换防止了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。3.由于双线性变换中，5.同时，看出双线性变换：(1)在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。(2)又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的所以称之为双线性变换。频率升高时，非线性失真严重。6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。1.线性相位滤波器经双线性变换成非线性相位的滤波器一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通过双线性变换成为数字微分器。模拟微分器数字2.将滤波器在临界频率点预畸变对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘临界频率点产生了畸变。这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正，也就是临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。例如：1、数字带通滤波器的四个截止频率(即临界频率)为:2、如按线性变换所对应的模拟滤波器的四个截止频率分别为：3、再进行求解模拟带通滤波器的系统函数。4、求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器。显然就不等于原来给出的数字滤波器的频率要求。即现在带通的四个截止频率不等于原来的：因此，要事先在数字滤波器指标变为模拟滤波器的指标时，将频率加以预畸变，即利用：将以上这组数字频率：变换成一组模拟频率：三、设计流程1.根据要求，设定所要设计的数字滤波器指标。2.将各分段频率临界点预畸变。将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。3.根据中间模拟滤波器的性能指标，设计出模拟滤波器的系统函数Ha(s)。5.用：4.选定双线性变换常数C。代入Ha(s)中，得到DF的H(z).设计结束例子1试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。低通DF的3dB带宽频率，止带起始频率，在处的止带衰减解：〔1〕将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。对双线性变换法根据3dB带宽频率例2考虑描述的Bessel滤波器，假设采样速率fs=12kHz,设计一个数字滤波器，使它在f0=3kHz的幅度等于H(s)在=4rad/s处的幅度。解：1)确定C数字滤波器的频率为2)用公式：代入

常用模拟低通滤波器的设计一、为何要设计模拟低通滤波器首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标后，设计“模拟低通原型〞滤波器。模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。1、Butterworth巴特渥斯滤波器2、Chebyshev切比雪夫滤波器它们都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计，它们滤波器各有特点。典型模拟滤波器的特点1、Butterworth巴特渥斯滤波器它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫滤波器在通带或阻带等波纹，可提高选择性。3.Bessel贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位特性。4.Ellipse椭圆滤波器其选择性相对前三种是最好的。二、模拟滤波器设计思想根据模拟滤波器设计要求，求出相应的模拟系统函数.使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群时延特性)，在此我们采用幅度平方函数特性来设计。三、根据幅度平方函数确定系统函数

1、求滤波器的幅度平方函数设计模拟滤波器经常要借助其幅度平方函数其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。假设p1,z1为Ha(s)的一个零点和一个极点，那么-p1,-z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：＊＊-z1-p1z1p1＊＊2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤我们知道，实际滤波器都是稳定的，因此其极点一定位于S平面左半平面，这样可根据幅度平方函数通过如下步骤分配零、极点来设计出模拟滤波器的系统函数。(1)由来确定象限对称的S平面函数。(2)将因式分解，得到各零点和极点。(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性的对比就可确定出增益常数。

(1)由来确定象限对称的S平面函数。

将代入中即得到s平面函数。(2)将因式分解，得到各零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)。如无特殊要求，可取的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点。如要求是最小相位延时滤波器，那么应取左半平面零点作为Ha(s)的零点。且轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s)。(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性,确定出增益常数。由的条件，代入可求得增益常数。例子根据以下幅度平方函数确定系统函数Ha(s).四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器

1、幅度平方函数Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上Ωc的圆上，并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为其中N为整数，表示滤波器的阶次，Ωc定义为截止频率，为振幅响应衰减到-3dB处的频率。2、Butterworth滤波器的极点分布

由可知Butterworth的零点全部在S=∞处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为Ωc的圆上,呈象限对称分布。为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点,设计出巴特沃斯低通滤波器.3、Butterworth的幅度响应

及极点分布其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数极点不会落在S平面上的虚轴上4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，那么更接近理想矩形幅度特性。5、3dB带宽6、Butterworth滤波器的特点〔总结〕(1)当Ω=0时，即Ω=0处无衰减。(2)当Ω=Ωc时，在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有幅频特性曲线都经过-3dB点，或说衰减3dB,这就是3dB不变性。或通带最大衰减(3)在Ω<Ωc的通带内：前(2N-1)阶导数为零，因而Butterworth又称最平幅度特性滤波器。随着Ω由0变到Ωc，|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，减小越慢，也就是通带内特性越平坦。有最大平坦的幅度特性，即N阶Butterworth低通滤波器在Ω=0处：(4)在Ω>Ωc，即在过渡带及阻带中，|Ha(jΩ)|2也随Ω增加而单调减小，但是Ω/Ωc>1，故比通带内衰减的速度要快得多，N越大，衰减速度越大。当Ω=Ωs

，即频率为阻带截止频率时，衰减为：(5)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，那么通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而幅频特性更接近于理想的矩形频率特性。

2为阻带最小衰减。7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数在一般设计中，都先把Ωc设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查。即假设令8、Butterworth滤波器设计步骤

(1)根据设计规定，确定Ωc和N。(2)由确定Ha(s)Ha(-s)的极点。(3)Sk的前N个值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)<0部分的极点，构成Ha(s).(4)常数K0可由A(Ω)和Ha(s)的低频或高频特性对比确定。

9、例子导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根据幅度平方函数：方法二方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得10、Butterworth滤波器的阶数N设计公式(1)Ωc、Ωs和As求ButterworthDF阶数N〔2〕Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap求ButterworthDF阶数N〔3〕Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap和As求ButterworthDF阶数N例子1试设计一个模拟低通Butterworth滤波器取N=3阶，根据N=3，查表得归一化系统函数：例子2设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π,止带频率ws=0.4π,在w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法〔冲激不变法〕设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz〕解：设计分为4步。〔1〕将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。因为：fs=20kHz,那么采样间隔为T=1/fs=1/20kHz对于冲激不变法，频率变换是线性的。(2)设计Ha(s)将上述设计指标代入求出N阶数x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)并联型级联型例子3试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。低通DF的3dB带宽频率，止带起始频率，在处的止带衰减解：〔1〕将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。对双线性变换法根据3dB带宽频率五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev

1、引入原因Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，那么在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的方法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。2、Chebyshev滤波器的种类

在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为：〔1〕ChebyshevI型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；〔2〕ChebyshevII型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的；由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器〔1〕ChebyshevI型幅频特性和零极点图〔N=3〕N=3ChebyshevI型，下面我们仅讲此类型〔2〕ChebyshevII型幅频特性和零极点图〔N=3〕N=3ChebyshevII型，其设计思想同ChebyshevI型，在此课程中我们就不作介绍。3、ChebyshevI型幅度平方函数ChebyshevI型模拟滤波器的振幅平方函数为：4、CN(x):N阶Chebyshev多项式

(1)函数Chebyshev多项式：〔2〕Chebyshev多项式图形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)5、通带等波纹振荡6、确定通带内波纹值ε7、确定阶数N

〔1〕N阶特性阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。可由幅频特性中看出N阶数。且当：N=奇数，那么Ω=0处有一最大值，N=偶数，那么Ω=0处有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6〔2〕N阶公式由止带起始点s处的关系求出Chebyshev的阶数。8、求滤波器的系统函数Ha(s)

(1)求极点--18、求滤波器的系统函数Ha(s)

(1)求极点--28、求滤波器的系统函数Ha(s)

(1)求极点--3ChebyshevI型滤波器的极点，是一组分布在以bc为长轴，以ac处为短轴的椭圆上的点。9、ChebyshevI型滤波器的归一化系统函数假设N=偶数时，当s=0时，即=0。式中，k为归一化系数。假设N=奇数时，当s=0时，即=0。那么归一化后的Chebyshev滤波器系统函数为10、ChebyshevDF设计步骤①首先要先确定ε，N和Ωc。②计算a，b。③确定Ha(s)Ha(-s)的极点。④取Re(Si)<0的极点，得到Ha(s)。

k可由A(Ω)和Ha(s)低频或高频特性对比确定。例1设N=4，确定ChebyshevI型，极点位置。解：N=4，那么有8个极点，我们要求在S左半平面上为稳定系统的四个极点。σjΩ看出：对于N=4，只须求出一点，即可求出其它共轭。画极点：过小圆交点画垂直线；过大圆交点画水平线。由上可知，大半平面上：第1极点：第2极点：第3极点：第4极点：(2)等间隔角均分，各点是虚轴对称的，且一定不落在虚轴上，N为奇数时，有落在实轴上的点；N为偶数时，实轴上也没有。(3)幅度平方函数的极点(在椭圆上)的位置确定：其垂直坐标由落在大圆上的各等间隔点规定；其水平坐标由落在小圆上的各等间隔点规定由上图可知，确定ChebyshevI型滤波器极点在椭圆上的位置方法：(1)先求出大圆(半径为bΩc)和小园半径aΩc。例2试导出2阶ChebyshevI型DF系统函数(通带波纹为,归一化频率为Ωc=1rad/s。例3设Chebyshev模拟滤波器的技术指标c=22kHz,s=24kHz,在=s处的衰减小于-15dB,通带波动参数，2=0.2，求其阶数。模拟低通滤波器至模拟其他类型(高通、带通、带阻〕的变换

一、各种模拟滤波器的理想幅频特性Ω|H(ejΩ)|H(ejΩ)|H(ejΩ)|H(ejΩ)ΩΩΩ〔低通〕〔高通〕〔带通〕〔带阻〕高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，再通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：二、低通AF-->高通AF的频率变换即如何从归一化模拟低通-->归一化模拟高通。|Hal(p)||Hah(s)|看出：高通系统函数的阶次与低通系统函数阶次相同。例子设计模拟高通滤波器的系统函数。满足如下条件：(a)3个极点(b)Butterworth响应(c)3dB截止频率=100Hz.三、低通-->带通的变换即如何从归一化模拟低通变换到归一化模拟带通。设p为低通L变换，s为带通L变换。低通-->带通的变换的映射对应关系平移中心频率至坐标原点0000|Hap(s)|平移至高端平移压缩变成低通滤波器|Hal(p)||Hap(s)||Hap(s)|假设去归一化，因c=B〔同书上的式子〕例子设计一模拟带通滤波器具有如下特性：(a)4个极点(b)Butterworth响应©通带的带宽为200Hz(d)几何中心频率=1kHz.四、低通-->带阻变换即如何从归一化模拟低通变换到归一化模拟带阻。设p为低通L变换，s为带阻L变换。低通-->带阻变换对应关系00|Has(s)|平移压缩平移压缩|HaL(p)|可令求解例子1设计一模拟带阻滤波器具有如下特性：(a)4个极点(b)Butterworth响应(c)带宽为200Hz(d)几何中心频率=1kHz.数字频带变换法

-----将原型低通数字滤波器变换成其它数字滤波器

〔z平面变换法〕

一、变换函数如果已经有一个低通数字滤波器的系数函数Hp(z),可以通过一个变换来设计其它各种不同类型的数字滤波器的系统函数H(z).这种变换是一种映射变换。1.变换关系函数表示式设变换前z平面定义为u平面，变换后z平面仍为z平面。其变换关系用函数表示：注：此中变量选用u-1及z-1,而不是用u和z，是因为系统函数中z和u都是以负幂形式出现的。要求：〔1〕变换以后的系统函数应保持稳定性不变。所以要求u的单位圆内部必须对应z的单位园内部。〔2)两个函数的频响要满足一定的变换要求。即z的单位圆起码要映射到u的单位圆上。2.变换关系函数特性(3)g(z-1)是有理分式，称为全通函数。任何全通函数，都可以表达为：其中：

i是它的极点，可以是实数，也可以是共轭复数，但都必须在单位圆内，即|i|<1;g(z-1)的所有零点，都是其极点的共轭倒数，全在单位圆内，N称为全通函数的阶数。二、低通--->低通0原型低通另一指标的低通低通--低通变换特性三、低通-->高通通过将单位圆旋转180。，能使低通数字滤波器变到高通数字滤波器。例1低通Chebyshev数字滤波器的通带截止频率：求边界频率为：的高通滤波器。其系统函数为三、低通--带通低通滤波器带通滤波器可以看出：根据全通函数的相位变化量为N的性质，应取N=2那么：例1试由Butterworth低通滤波器，通过映射变换，设计一个带通的数字滤波器。四、低通--带阻四、低通--带阻低通滤波器带通滤波器可以看出：根据全通函数的相位变化量为N的性质，应取N=2四、低通--带阻总结

频率变换法一、频率变换法从上面几节可以看出设计各类数字滤波器可以有以下两种方法：〔1〕模拟频率变换法〔2〕数字频率变换法二、模拟频率变换法

1、原理把一个归一化原形模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需要类型〔截止频率为另一低通、或高通、带通、带阻〕的模拟滤波器。然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需的数字滤波器。2、模拟频率变换法的原理框图模拟归一化低通原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻频带变换数字化先模拟频率变换，再数字化双线性变换法或冲激不变法3、注意点实际上把以上合成二步来实现。模拟归一化低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式+与双线性变换得到相应数字滤波器的公式。将以上两公式合并，就可直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换的关系，一步完成各类数字滤波器的设计。这里只谈双线性变换法，因为冲激响应不变法有频率混叠失真效应，只对能严格限带的数字低通、带通滤波器的设计才能应用。对于数字高通、带阻滤波器，不能直接应用。4、设计方案和步骤〔1〕频率变换〔2〕去归一化〔模拟归一化-->模拟滤波〕〔3〕频率预扩展〔4〕数字化5、数字低通滤波器设计公式要设计数字低通滤波器无须频率变换。6、数字高通滤波器设计公式7、数字带通滤波器设计公式8、数字带阻滤波器设计公式例子1-利用冲激不变法设计数字Butterworth低通滤波器题目：给定抽样频率fs=10kHz,要求在频率小于1kHz的通带内，幅度特性下降小于1dB;在频率大于fst=1.5kHz的阻带内，衰减大于15dB.解：〔1〕讨论f与w的关系及数字域性能的公式表示。模拟与数字频率之间的线性关系：T为抽样周期对应于那么有：设w=0处频率响应幅度归一化为1，即对应于那么取N=6，查表得归一化原型模拟低通滤波器的频率响应为〔2〕把数字滤波器的性能指标转变为“原型〞模拟低通滤波器的性能指标。〔3〕把模拟低通滤波器的系统函数，进行局部分式展开，然后利用冲激不变法可得数字低通滤波器的系统函数。例2-双线性变换法设计数字Chebyshev低通滤波器利用上一实例的指标，但是直接由数字域给定指标，即在w

0.2的通带范围内幅度特性下降小于1dB,在0.3w的阻带范围内衰减大于15dB.

解：〔1〕首先导出由数字域导出“原型〞模拟低通滤波器的指标的公式表达式。数字域指标：(2)利用双线性变换，将数字域指标变为模拟域指标。低频处(3)求.设1=1dB的Chebyshev等波纹模拟滤波器。可知〔4〕根据下式计算滤波器阶次N。选定N=4.(4)求归一化系统函数.=1dB，N=4，可直接查表得到Chebyshev归一化的原型模拟滤波器。(5)利用双线性变换法公式求出数字滤波器系统函数H(z).例3.利用模拟频率变换法题目：设计一个数字带通滤波器，其性能要求为：通带范围从0.25rad到0.45rad，通带内最大衰减为3dB,0.15rad以下到0.55rad以上为阻带，阻带内最小衰减为15dB,采用Butterworth型滤波器。解：〔1〕确定数字滤波器在数字域的各个临界频率。通带的上下边界频率为：