考研数学一(N维向量与向量空间)-试卷2

考研数学一（N维向量与向量空间）-试卷2(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.已知Q=，P是3阶非零矩阵，且PQ=0，则

（分数：2.00）

A.t=6时，r(P)=1．

B.t=6时，r(P)=2．

C.t≠6时，r(P)=1．

√

D.t≠6时，r(P)=2．解析：解析：若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，则由B的每列都是Ax=0的解，可有r(A)+r(B)≤n，从而r(P)≤3一r(Q)．如t=6，则r(Q)=1，得r(P)≤2．因此(A)，(B)应排除．如t≠6，则r(Q)=2，得r(P)≤1．因此(D)不正确，而P非零，r(P)≥1，故仅(C)正确．3.设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有

（分数：2.00）

A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．

√

B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．

C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．

D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．解析：解析：设A是m×n矩阵，B是n×S矩阵，满足AB=0，且A，B均为非零矩阵，那么r(A)+r(B)≤n，r(A)≥1，r(B)≥1．所以必有r(A)＜n且r(B)＜n．因为，秩r(A)=A的列秩＜n，r(B)=B的行秩＜n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．应选(A)．4.设α1，α2，α3是3维向量空间R3的一组基，则由基α1，到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为

（分数：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：按过渡矩阵概念：(新基)=(旧基)．过渡矩阵，那么过渡矩阵C应满足关系式(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=(α1，α3)C．由于(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=(α1，α2，α3)(α1，α3)=(α1，α2，α3)又(α1，α2，α3)可逆，从而所以应选(A)．5.设矩阵是满秩的，则直线=的位置是

（分数：2.00）

A.相交于一点．

√

B.重合．

C.平行但不重合．

D.异面．解析：解析：初等变换不改变矩阵的秩，由可知，后者的秩仍应是3．所以直线的方向向量S1=(a1一a2，b1一b2，c1一c2)，S2=(a2一a3，b2—b3，c2一c3)线性无关，因此排除(B)，(C)．究竟是相交还是异面呢?在这两条直线上各取一点(a3，b3，c3)与(a1，b1，c1)，可构造向量S=(a3一a1，b3—b1，c3一c1)，如果S，S1，S2共面，则两直线相交，如S1，S2，S3不共面，则两直线异面．而三个向量的共面问题可用向量的混合积或线性相关性来判断．例如或S+S1+S2=0，所以，应选(A)．6.设αi=(ai，bi，ci)T，i=1，2,3，则平面上三条直线a1x+a2y+a3=0，b1x+b2y+b3=0，c1x+c2y+c3=0交于一点的充分必要条件是

（分数：2.00）

A.｜α1，α2，α3｜=0．

B.｜α1，α2，α3｜≠0．

C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)．

D.α1，α2线性无关，但α1，α2，α3线性相关．

√解析：解析：三条直线交于一点的充要条件是方程组有唯一解，即α3可由α1，α2线性表出且表示法唯一．故(D)正确．(B)肯定错，它表示α1，α2，α3线性无关，于是r(A)≠r方程组无解．而(A)，(C)均是交于一点的必要条件，仅行列式为0不能排除其中有平行直线，对于(C)，因为秩可能是1，也就可能有平行直线．作为充要条件(A)，(C)是不正确的．7.设向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则

（分数：2.00）

A.α必可由β，γ，艿线性表示．

B.β必不可由α，γ，δ线性表示．

C.δ必可由α，β，γ线性表示．

√

D.δ必不可由α，β，γ线性表示．解析：解析：故应选(C)．8.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是

（分数：2.00）

A.α1，α2，…，αs均不是零向量．

B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．

C.α1，α2，…，αs，αs+1线性无关．

D.α1，α2，…，αs中任一个向量均不能由其余s一1个向量线性表出．

√解析：解析：(A)，(B)均是线性无关的必要条件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，虽α1，α2，α3均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但α1+α2一α3=0，α1，α2，α3线性相关．(C)是线性无关的充分条件．由α1，α2，…，αs，αs+1线性无关α1，α2，…，αs线性无关，但由α1，α2，…，αs线性无关α1，α2，…，αs，αs+1线性无关．(D)是【定理3．4】的逆否命题．故应选(D)．9.设α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列说法正确的是

（分数：2.00）

A.若α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，则α1+α3，α2+α4也线性相关．

B.若α1，α2，α3线性无关，则α1+α4，α2+α4，α3+α4线性无关．

C.若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．

√

D.若α1，α2，α3，α4中任意三个向量均线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．解析：解析：若α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，2)，α4=(O，3)，则α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，但α1+α3=(1，2)，α2+α4=(2，3)线性无关．故(A)不正确．对于(B)，取α4=－α1，即知(B)不对．对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(一1，一1，一1)，可知(D)不对．至于(C)，因为4个3维向量必线性相关，如若α1，α2，α3线性无关，则α4必可由α1，α2，α3线性表出．现在α4不能由α1，α2，α3线性表出，故α1，α2，α3必线性相关．故应选(C)．10.若α1，α2，α3线性无关，那么下列线性相关的向量组是

（分数：2.00）

A.α1，α1+α2，α1+α2+α3．

B.α1+α2，α1－α2，－α3．

C.－α1+α2，α2+α3，α3－α1．

D.α1－α2，α2－α3，α3－α1．

√解析：解析：用观察法．由(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，可知α1一α2，α2一α3，α3一α1线性相关．故应选(D)．至于(A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为0来判断．例如，(A)中r(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α1+α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．或(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α2，α3)由行列式≠0而知α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关．11.设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则

（分数：2.00）

A.当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．

B.当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．

C.当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．

D.当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．

√解析：解析：用【定理3．6】，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关．故应选(D)．请举例说明(A)，(B)，(C)均不正确．12.若r(α1，α2，…，αs)=r，则

（分数：2.00）

A.向量组中任意r一1个向量均线性无关．

B.向量组中任意r个向量均线性无关．

C.向量组中任意r+1个向量均线性相关．

√

D.向量组中向量个数必大于r．解析：解析：秩r(α1，α2，…，αs)=r向量组α1，α2，…，αs的极大线性无关组为r个向量向量组α1，α2，…，αs中有r个向量线性无关，而任r+1个向量必线性相关．所以应选(C)．二、填空题(总题数：2，分数：4.00)13.设A=，B是3阶非0矩阵，且AB=0，则a=1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为AB=0，有r(A)+r(B)≤3．又因B≠0，有r(B)≥1．从而r(A)＜3，因此行列式｜A｜=0．又所以a=14.设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T）解析：解析：由于｜A｜=0，秩r(A)=2，知r(A*)=1．那么n—r(A*)=3—1=2．从而A*x=0的通解形式为：k1η1+k2η2．又A*A=｜A｜E=0，故A的列向量是A*x=0的解．所以A*x=0的通解为：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T．三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：16.求向量组α1=(1，1，4，2)T，α2=(1，一1，一2，4)T，α3=(一3，2，3，一11)T，α4=(1，3，10，0)T的一个极大线性无关组．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有所以，α1，α2是一个极大线性无关组．)解析：17.设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：记A=(α1，α2，α3，α4)，则那么，当a=0或a=－10时，｜A｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关．当a=0时，α1为向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a=－10时，对A作初等行变换，有由于β2，β3，β4为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β1=－β2－β3－β4，所以α2，α3，α4为向量组β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4．)解析：18.已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，知α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，故α4可由α1，α2，α3线性表出．设α4=l1α1+l2α2+l3α3．如果α4+α5能由α1，α2，α3线性表出，设α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，则α5=(k1一l1)α1+(k2一l2)α2+(k3一l3)α3．于是α5=可由α1，α2，α3线性表出，即α1，α2，α3，α5线性相关，与已知r(Ⅲ)=4相矛盾．所以α4+α5不能用α1，α2，α3线性表出，由秩的定义知r(α1，α2，α3，α4+α5)=4．)解析：解析：由于r(Ⅰ)=3，得α1，α2，α3线性无关，那么向量组α1，α2，α3，α4+α5的秩至少是3，能否是4?关键就看α4+α5能否用α1，α2，α3线性表出，或者看向量组α1，α2，α3，α4+α5是线性相关还是线性无关．19.设A是n阶矩阵，证明r(A*)=

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：若r(A)=n，则｜A｜≠0，A可逆，于是A*=｜A｜A－1)可逆，故r(A*)=n．若r(A)≤n一2，则｜A｜中所有n一1阶行列式全为0．于是A*=0，即r(A*)=0．若r(A)=n一1，则｜A｜=0，但存在n一1阶子式不为0，因此A*≠0，r(A*)≥1，又因AA*=｜A｜E=0，有r(A)+r(A*)≤n，即r(A*)≤n一r(A)=1，从而r(A*)=1．)解析：20.设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明r(AB)≤r(B)．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：设AB=C，C是m×s矩阵，对B，C均按行分块，记为用分块矩阵乘法，得即向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αn线性表出，那么由定理可知r(AB)=r(C)=r(β1，β2，…，βm)≤r(α1，α2，…，αn)=r(B)．)解析：21.设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明：(Ⅰ)秩r(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)．又α，β均为3维列向量，则r(α)≤1，r(β})≤1．故r(A)≤2．(Ⅱ)方法1°当α，β线性相关时，不妨设β=kα，则r(A)=r(ααT+K2ββT)=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤r(α)≤1＜2．方法2°因为齐次方程组αTx=0有2个线性无关的解，设为η1，η2，那么αTη1=0，αTη2=0．若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么βTη1=(kα)Tη1=kαTη1=0，βTη2=(kα)Tη2=kαTη2=0．于是Aη1=(ααT+ββT)η1=0，Aη2=(ααT+ββT)η2=0，即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n—r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．)解析：22.设A是n阶矩阵，A2=E，证明：r(A+E)+r(A－E)=n．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由A2=E，得A2一E=0，即(A—E)(A+E)=0．故r(A—E)+r(A+E)≤n．又r(A—E)+r(A+E)=r(E一A)+r(A+E)≥r[(E—A)+(A+E)]=r(2E)=r(E)=n，所以r(A—E)+r(A+E)=n．)解析：23.已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，r(B)=n，AB=0，证明A=0．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由r(B)=n，知B的列向量中有n个是线性无关的，设为β1，β2，…，βn．令B1=(β1，β2，…，βn)，它是n阶矩阵，其秩是n，因此B1可逆．由AB=0，知AB1=0，那么右乘，得A=(AB1)=0．)解析：24.设A是n阶实对称矩阵，且A2=0，证明A=0．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为AT=A，A2=0，即AAT=0，而于是由=0，a1j均是实数，知a11=a12=…=a1n=0．同理知a2j≡0，…，anj≡0，j=1，2，…，n，A的元素全是0，所以A=0．)解析：25.判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基：(Ⅰ)W1={(x，y，x)｜x＞0}；(Ⅱ)W2={x，y，z)｜x=0}；(Ⅲ)W3={(x，y，z)｜x+y－2z=0}；(Ⅳ)W4：{(x，y，z)｜3x－2y+z=1}；(Ⅴ)W5={(x，y，z｜}．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：(Ⅰ)W1不是子空间，因为W1对数乘向量不封闭．例如α=(1，2，3)∈W1，但k＜0时，kα=(k，2k，3k)W1．(Ⅱ)W2是子空间．因为α=(0，a，b)，β=(0，c，d)∈W2，而α+β=(0，a+c，b+d)∈W2，kα=(0，ka，kb)∈W2，即W2对于运算封闭，W2是子空间．又(0，1，0)，(0，0，1)线性无关且能表示W2中任一向量，因而是W2的一组基，那么dimW2=2．(Ⅲ)W3是子空间，如α，β∈W3，即α，β是齐次方程x+y一2z=0的解．由于α+β，kα仍是解，故α+β∈W3，kα∈W3，W3对运算封闭，是子空间．(－1，1，0)，(2，0，1)是基础解系，也就是W3的一组基，那么dimW3=2．(Ⅳ)W4不是子空间．因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，即W4对加法不封闭．(Ⅴ)W5不是子空间，因为条件等同于．)解析：解析：要判断W是不是子空间，就是要检查W对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭．如W是子空间，则W中向量的极大线性无关组就是一组基，而向量组的秩就是子空间的维数．26.已知α1=(1，1，1，1)T，α2=(1，1，一1，一1)T，α3=(1，一1，1，一1)T，α4=(1，一1，一1，1)T是R4的一组基，求β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，按分量写出，有因此，β在基α1，α2，α3，α4下的坐标是)解析：解析：求β在基α1，α2，α3，α4下的坐标，也就是求β用α1，α2，α3，α4线性表出时的组合系数．27.已知α1=是R3的一组基，证明β1=β3=也是R3的一组基，并求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由于｜β1，β2，β3｜==4≠0，所以β1，β2，β3线性无关，因此它是3维空间R3的一组基．设由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为C，则(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C，故C=(α1，α2，α3)－1(β1，β2，β3)=)解析：解析：要证β1，β2，β3是3维空间的一组基，也就是要证β1，β2，β3线性无关．28.已知R3的两组基α1=(1，0，一1)T，α2=(2，1，1)T，α3=(1，1，1)T与β1=(0，1，1)T，β2=(一1，1，0)T，β3=(1，2，1)T．(Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵；(Ⅱ)求γ=(9，6，5)T在这两组基下的坐标；(Ⅲ)求向量δ，使它在这两组基下有相同的坐标．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：(Ⅰ)设从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵是C，则(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C，故C=(α1，α2，α3)－1(β1，β2，β3)=(Ⅱ)设γ在基β1，β2，β3下坐标是(y1，y2，y3)T，即y1β1+y2β2+y3β3=γ，亦即设γ在基α1，α2，α3下坐标是(x1，x2，x3)T，按坐标变换公式X=CY，有可见γ在这两组基下的坐标分别是(1，2，4)T和(0，一4，5)T．(Ⅲ)设δ=x1α1+x2α2+x3α3=x1β1+x2β2+x3β3，即x1(α1一β1)+x2(α2一β2)+x3(α3一β3)=0．亦即所以，仅零向量在这两组基下有相同的坐标．)解析：29.设x=Cy是坐标变换，证明x0≠0的充分必要条件是y0≠0．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：必要性(反证法)若y0=0，则0=Cy0=C0=0与已知x0≠0矛盾．故y0≠0．充分性(反证法)若x0=0，由Cy0=0，而y0≠0，知齐次线性方程组有非0解，那么系数行列式｜C｜=0，这与x=Cy是坐标变换，C为可逆矩阵相矛盾，故x0≠0．)解析：30.设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1，1，2，3)T，α2=(一1，1，4，一1)T，α3=(5，一1，一8，9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个规范正交基．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为秩r(B)=2，所以解空间的维数是n一r(B)=4—2=2．又因α1，α2线性无关，故α1，α2是解空间的一组基．令β1=α1=(1，1，2，3)T，β2=α2一β1=(一1，1，4，一1)T一(一4，2，10，一6)T，再单位化，得γ1==(一2，1，5，一3)T，即是解空间的一个规范正交基．)解析：31.已知α1=(1，2，0，一1)