力学基础课件

第一章静力学公理和物体的受力分析主要内容§1.1静力学公理§1.2约束和约束力§1.3物体的受力分析和受力图公理：是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。公理1力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形对角线确定。如图。或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和，即,亦可作一力三角形，如图。§1.1静力学公理公理2二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。这个公理表明了作用于刚体上最简单力系平衡时所必须满足的条件。公理3加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。推论1力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。§1.1静力学公理作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线。推论2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。§1.1静力学公理公理4作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。若用表示作用力，用表示反作用力，则公理5刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。§1.1静力学公理自由体：位移不受限制的物体。非自由体：位移受到限制的物体。约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。约束力：从力学角度来看，约束对物体的作用，实际上就是力。关于约束力：1)作用点：作用在被约束物体与约束接触的点、线、面上。

2)大小：一般未知，主要由静力学方程或动力方程求出。3)方向：一般未知，但确定约束反力方向应遵循一条原则，方向一定与约束所能够限制物体的位移方向相反。一、基本概念§1.2约束和约束力在静力学问题中，约束力和物体受的主动力组成平衡力系，因此可用平衡条件求出未知的约束力。主动力：能够单独改变物体的运动状态，主动地作用在物体上的力，其大小、方向、作用点都是明确的。二.几种常见约束及其约束反力1、具有光滑接触表面的约束光滑支承面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束的物体。这种约束力称为法向约束力。§1.2约束和约束力2、由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束绳索对物体的约束力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体，如图链条或胶带也都只能承受拉力。当它们绕在轮子上，对轮子的约束力沿轮缘的切线方向。如图§1.2约束和约束力可3、可动铰支座N§1.2约束和约束力4、光滑圆柱铰链：两个带孔的物体穿一个销子，只允许相对转动，而不允许相对移动，凡具有这种特点的约束称为圆柱铰链。§1.2约束和约束力圆柱滚子轴承结构圆柱滚子轴承约束力

圆柱滚子轴承

球铰链圆锥滚子轴承圆锥滚子轴承受力分析过程：1、取研究对象或取隔离体：把需要研究的物体（称为受力体）从周围的物体（称为施力体）中分离出来，单独画出它的简图。2、画受力图：将施力体对研究对象的作用力（包括主动力和约束反力）全部画在简图上，这个图形即为受力图。

受力分析是理论力学乃至整个力学课程的基本功，正确分析受力、画好受力图是解决力学问题的关键性的第一步。

§1.3物体的受力分析和受力图

在图示的平面系统中，匀质球A重G1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C和柔绳维持在仰角是

的光滑斜面上，绳的一端挂着重G2的物块B。试分析物块B,球A和滑轮C的受力情况，并分别画出平衡时各物体的受力图。

CGBHEG1AFDG2例题1-1§1.3物体的受力分析和受力图解：1.物块B的受力图。BDG2T

CGBHEG1AFDG2例题1-1§1.3物体的受力分析和受力图AEFG1FFFE2.球A

的受力图。

解：

CGBHEG1AFDG2例题1-1§1.3物体的受力分析和受力图3.滑轮C的受力图。CFCFHFGIGH解：

CGBHEG1AFDG2例题1-1§1.3物体的受力分析和受力图

等腰三角形构架ABC的顶点A，B，C都用铰链连接，底边AC固定，而AB边的中点D作用有平行于固定边AC的力F，如图所示。不计各杆自重，试画出杆AB和BC的受力图。ECABFD例题1-2§1.3物体的受力分析和受力图1.杆BC的受力图。FBFCBC解：ECABFD例题1-2§1.3物体的受力分析和受力图2.杆AB的受力图。表示法一

表示法二BDAFFAxFAyFBBDAHFFAFB解：ECABFD例题1-2§1.3物体的受力分析和受力图

如图所示，梯子的两部分AB和AC在A点铰接，又在D，E两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在AB的中点处作用一铅直载荷F。试分别画出梯子的AB，AC部分以及整个系统的受力图。FABCDEH例题1-3§1.3物体的受力分析和受力图1.梯子AB部分的受力图。

解：FABCDEHABHDFAyFFAxFB例题1-3§1.3物体的受力分析和受力图2.梯子AC部分的受力图。

ACEFCFABCDEH例题1-3§1.3物体的受力分析和受力图主要内容§2.1平面汇交力系的合成与平衡的几何法§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法§2.3平面力偶系1.力的多边形法则O应用力三角形法则F1F2F3F4R1R2F1F4F3F2R结论：

1).平面汇交力系可以合成为一个合力，合力的

作用线通过汇交点。

2).合力矢等于力系中各力矢的矢量和。§2.1平面汇交力系的合成与平衡的几何法2.平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力等于零，即：此时力多边形的封闭边等于零，即力的多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。

§2.1平面汇交力系的合成与平衡的几何法

图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212N，方向与水平面成α=45

角。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24cm，

DE=6cm

点E在铅直线DA上，又B，C，D都是光滑铰链，机构的自重不计。F

24cm6cmACBDO(a)E例题2-1§2.1平面汇交力系的合成与平衡的几何法ABD(b)

O

EJFDKFBFI

(c)1.取制动蹬ABD作为研究对象，并画出受力图。2.作出相应的力多边形。解：3.由图b几何关系得：4.由力三角形图c可得：FFBFD例题2-1§2.1平面汇交力系的合成与平衡的几何法1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法xyFFxFyXY力沿x轴向的分量是个矢量力向x轴的投影是个代数量A力的分解力的投影2.合成

平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

合力投影定理:F1F2F3F4Rxyabced§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法3.平衡的解析条件平面汇交力系平衡的充分必要条件是

将此式向

轴和

轴投影或由上式可得：

这就是平面汇交力系的平衡方程，即平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系中所有各力在两个相互垂直的坐标轴上的投影的代数和均等于零。§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法

如图所示，重物G

=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。ABDCG例题2-2§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法列写平衡方程解方程得杆AB和BC所受的力:解：

取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。xyBFBAF2F1FBCABDCG例题2-2§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。约束力FBA为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受压力。例题2-2§2.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法一、力对点的矩oFd正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。§2.3平面力偶系O点

矩心d

力臂力矩

用来衡量力使物体转动的效应合力矩定理平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于力系中诸力对同一点的矩的代数和，即：

§2.3平面力偶系二、力偶与力偶矩

由两个等值反向不共线的的平行力组成的力系称为力偶，用表示。

1.力偶的定义d力偶臂：力偶中两个力的作用线之间的垂直距离d称为该力偶的力偶臂。力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。

表示为：

力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并取以正负号，称为该力偶的力偶矩。

§2.3平面力偶系正负号规定：力偶逆时针转向时为正，反之为负。2.力偶的基本特性不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个力平衡，它只能由力偶来平衡。对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即只能原地转动。组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数和恒等于该力偶的力偶矩。力偶的两个力在同一坐标轴上的投影之和为零。

§2.3平面力偶系3.力偶等效变换的性质力偶可以在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的作用效应。只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短而不改变力偶对刚体的作用效果。

§2.3平面力偶系三、平面力偶系的合成与平衡1.合成平面力偶系可以合成一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即

2.平衡平面力偶系平衡的充分必要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

§2.3平面力偶系

横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为M，如图所示。不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。ABDMl例题2-3§2.3平面力偶系主要内容§3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题§3.4平面简单桁架的内力计算§3.1平面任意力系向作用面内一点简化§3.1平面任意力系向作用面内一点简化一.力的平移定理可以把作用在刚体上点A的力F平移到刚体上任一点B,但必须同时附加一个力偶,这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.等效等效ABABddAB二、平面任意力系的简化设刚体上作用有一平面任意力系,根据力的平移定理进行简化.等效等效在此作用面内任取一点O,称之为简化中心,§3.1平面任意力系向作用面内一点简化定义:主矢:力系中各力的矢量和称为该力系的主矢.主矩:力系中各力对简化中心O点的矩的代数和称为该力系对简化中心O点的主矩.结论:平面任意力系向平面内任意点简化，最终可以得到一个力和一个力偶。这个力等于力系的主矢，且作用在简化中心；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩

。§3.1平面任意力系向作用面内一点简化三、主矢和主矩的解析表达式§3.1平面任意力系向作用面内一点简化四、平面任意力系简化结果讨论主矢和主矩均等于零

此时力系处于平衡状态主矢等于零而主矩不等于零

此时力系等效于一个合力偶的作用主矢不等于零而主矩等于零

此时力系等效于一个合力的作用主矢不等于零,主矩也不等于零

此时力系可以进一步简化§3.1平面任意力系向作用面内一点简化此时力系可以进一步简化为一个合力,合力的作用线不通过简化中心,简化中心O点到该力的作用线的垂直距离为§3.1平面任意力系向作用面内一点简化五、合力矩定理:平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。§3.1平面任意力系向作用面内一点简化证明：又故六、固定端约束1.固定端约束2.固定端约束反力A§3.1平面任意力系向作用面内一点简化七、作用在杆上任意分布的同向平行力的合成结果xy§3.1平面任意力系向作用面内一点简化1.平面任意力系平衡的充要条件力系的主矢和力系对平面内任一点o的主矩均为零,即或2.平面任意力系的平衡方程§3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q=100N/m，力偶矩大小M=500N·m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。BAD1mq2mM例题3-1§3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：1.取梁AB为研究对象。BADFFAyFAxFDCM2.受力分析如图。其中F=q×AB=300N；作用在AB

的中点C。例题3-1§3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程AD1mq2mMBFDyxBADFFAyFAxCM3.选如图坐标系，列平衡方程。4.联立求解，可得

FAx=0，FAy=－175N，FD=475N例题3-1§3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程定义静定问题:对于一个平衡体来说,如果能列出的独立的平衡方平衡方程的数目等于未知量的数目时,则全部未知量可以通过平衡方程来求得,这样的问题称为静定问题.静不定问题:对于一个平衡体来说,如果所包含的未知量的数目多于独立的平衡方程的数目,这样仅依靠静力学平衡方程无法求解出全部未知量，这类问题称为静不定问题或超静定问题。§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

如图所示组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内，B处铰接一二力杆。已知：F=20kN，均布载荷q=10kN/m，M=20kN•m，l=1m。试求插入端A及B处的约束力。ABCDqllllFM例题3-2§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

1.以整体为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程解：BCDAqllllFMAFAyFBMFAx§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

CBD2.再以梁CD为研究对象，受力分析如图所示列平衡方程联立求解方程可得qFCxFCyFFB§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

ABCDqllllFM

如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,θ=45°

。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DⅡKCABEⅠG例题3-3§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

DⅡKCABEⅠ

1.选取整体为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程解平衡方程，得FAGFExFEy解：§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

2.选取杆DCE研究对象，受力分析如图所示。ECKD列平衡方程解平衡方程FKFEyFExDⅡKCABEⅠG§3.3物体系的平衡.静定和超静定问题

桁架是一种由杆件在两端用铰链链接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链街头称为节点。1、桁架的定义2、桁架的优点杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量。为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：a.桁架的杆件都是直的：b.杆件用光滑的铰链连接；c.桁架所受的力都作用在节点上，而且在桁架的平面内；d.桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。§3.4简单平面桁架的内力计算

本节只研究平面桁架中的静定桁架。此桁架是以三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件，这样构成的桁架称为平面简单桁架。下面介绍两种计算桁架杆件内力的方法：节点法和截面法。1、节点法

桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。为了求每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知的杆件内力，这就是节点法。§3.4平面简单桁架的内力计算

平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点D处受一集中载荷F=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。ABC2m2m12345FD例题3-4§3.4平面简单桁架的内力计算

ABC2m2m12345FD1.求支座约束力。列平衡方程解方程可得

以整体为研究对象，受力分析如图所示。解：FAyFByFBx§3.4平面简单桁架的内力计算

2.取节点A为研究对象，受力分析如图。F2F1FAyA列平衡方程解方程可得ABC2m2m12345FD§3.4平面简单桁架的内力计算

F3F4C3.取节点C为研究对象，受力分析如图。列平衡方程解方程可得ABC2m2m12345FD§3.4平面简单桁架的内力计算

4.取节点D为研究对象。列平衡方程解方程可得DF5FABC2m2m12345FD§3.4平面简单桁架的内力计算

如图所示平面桁架，各杆件的长度都等于1m。在节点E上作用载荷FE=10kN，在节点G上作用载荷FG=7kN。试计算杆1，2和3的内力。xyABCDEFGFEFG例题3-5§3.4平面简单桁架的内力计算

2、截面法3211.先求桁架的支座约束力。列平衡方程解方程求得解：xyABCDEFG123FByFAxFEFGFAy取桁架整体为研究对象，受力分析如图。§3.4平面简单桁架的内力计算

主要内容§4.1空间汇交力系§4.2空间力偶理论§4.3力对点的矩与力对轴的矩§4.4空间任意力系的简化.合力矩定理§4.6重心§4.5空间任意力系的平衡方程一.力在空间的表示1.直接投影法2.二次投影法力的解析表示可写为§4.1空间汇交力系空间汇交力系的合力投影定理：二.空间汇交力系的合成与平衡1.合成空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作作用线通过力系的汇交点,即在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。空间汇交力系的合力

§4.1空间汇交力系2.平衡空间汇交力系平衡的充分必要条件是:该力系的合力等于零,即投影到三个直角坐标轴上得空间汇交力系的平衡方程§4.1空间汇交力系

桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球铰链约束。设B点滑轮上起吊重物的重量G=20kN，AD=AE=6m，其余尺寸如图。起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD、

CE所受的力。CA5mBDEG例题4-1§4.1空间汇交力系1.先取滑轮B为研究对象。注意，起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，它的受力图如图所示。xyBGFABFBC解：

这是一平面汇交力系，列平衡方程解得CA5mBDEG例题4-1§4.1空间汇交力系C2.再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。

此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：xzAy先列出对Az轴的投影方程

这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。FACFCEFCD例题4-1§4.1空间汇交力系列平衡方程联立解得xzAyCFACFCEFCD例题4-1§4.1空间汇交力系一.空间力偶1.力偶矩矢量2.力偶矩矢量是自由矢量3.空间力偶等效的充要条件它们的力偶矩矢量相等§4.2空间力偶理论二.空间力偶系的合成与平衡1.合成空间力偶系可以合成一个合力偶,合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和,即将上式投影到直角坐标轴上得

即：合力偶矩矢在坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一轴上投影的代数和。§4.2空间力偶理论将上式投影到直角坐标轴上得§4.2空间力偶理论2.平衡空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢为零.

图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1

，F

1）的矩M1=20N·m；力偶（F2，F

2

）的矩M2=10N·m；力偶（F3

，F

3）的矩M3=30N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。xzyOF1F2F3例题4-2§4.2空间力偶理论2.合力偶矩矢M的投影。解：xzy45°OM145°M2M31.画出各力偶矩矢。例题4-2§4.2空间力偶理论3.合力偶矩矢M的大小和方向。4.为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为

M4=－M

。例题4-2§4.2空间力偶理论一.力对点的矩1.定义设空间一力F作用在点A,点o的矩为矢量则定义力F对空间任一的大小方向与矩心的选择有关,因此力对点的矩应画在矩心处.§4.3力对点的矩与力对轴的矩2.的解析表达式§4.3力对点的矩与力对轴的矩二.力对轴的矩1.定义空间力对轴的矩是个代数量，它等于这个力在垂直于该轴的平面内的投影对于该平面与该轴交点的矩.其正负由右手螺旋规则来确定，拇指方向与该轴方向一致为正，反之为负§4.3力对点的矩与力对轴的矩2.力对轴的矩的解析表达式同理§4.3力对点的矩与力对轴的矩三.力对点的矩和力对轴的矩之间的关系比较力对点的矩和力对于轴的矩的关系式得§4.3力对点的矩与力对轴的矩四、空间力系的合力矩定理§4.3力对点的矩与力对轴的矩●空间力系的合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和，即：

●空间力系的合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和，即：

手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为α。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x，y和z三轴的矩。例题4-3§4.3力对点的矩与力对轴的矩F直接应用力对轴的矩的定义求解。力F在垂直于三个坐标轴的平面内的投影分别为：则有解：方法1例题4-3§4.3力对点的矩与力对轴的矩F应用力对轴的矩之解析表达式求解。因为力在坐标轴上的投影分别为：力作用点D的坐标为：则方法2例题4-3§4.3力对点的矩与力对轴的矩F思考：该题能否用合力矩定理求解？若能，如何求？一.力的平移定理作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原力对于指定点的力矩矢。§4.4空间任意力系的简化二.空间任意力系向空间内任一点简化空间任意力系向一点简化可得一力和一力偶，这个力等于各力的矢量和，作用在简化中心O点，即为主矢。这个力偶的矩矢等于各力对于O点的矩矢的矢量和。即为主矩。力偶矩矢应画在简化中心O点处。主矢主矩亦即主矢在各坐标轴上的投影等于各分力矢在同一轴上投影的代数和。且主矢可表示为亦即主矩矢在各坐标轴上的投影等于各分力对各轴的矩的代数和。且主矩可表示为三.主矢与主矩的解析表达式四.空间任意力系简化结果的讨论主矢和主矩均等于零

此时力系处于平衡状态主矢等于零而主矩不等于零

此时力系等效于一个合力偶的作用主矢不等于零而主矩等于零

此时力系等效于一个合力的作用主矢不等于零,主矩也不等于零

此时力系可以进一步简化此时力系可以进一步简化这种情况原力系既不能合成一个合力又不能合成一个力偶，这样的特殊力系称为力螺旋。一、空间任意力系的平衡方程空间任意力系处于平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即写成空间任意力系的平衡方程§4.5空间任意力系的平衡方程例题4-4

在图中胶带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知胶带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，胶带1和胶带2与铅垂线间夹角分别为α和β，α=30o

，β=60o

，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。§4.5空间任意力系的平衡方程以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。解：§4.5空间任意力系的平衡方程以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。解：§4.5空间任意力系的平衡方程又有

F2=2F1解方程得§4.5空间任意力系的平衡方程均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。ACDxyzEB4m2m2m例题4-5ACDxyzEB4m2m2m解：1.以板为对象画出受力图，ACDxyzEB4m2m2mP2.列出板的平衡方程解法一空间任意力系，6个独立方程。ACDxyzEB4m2m2mP

(拉力)ACDxyzEB4m2m2mP

ACDxyzEB4m2m2mP

解法二分别取AC，BC，AB，l1，l2，z为矩轴：l1l2(拉力)ACDxyzEB4m2m2mP

l1l2一、同向平行力系的中心

平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。设在刚体上，两点作用两个平行力，，如图。将其合成，得合力矢为由合力矩定理可确定合力作用点若将原有各力绕其作用点转过同一角度，使它们保持相互平行，则合力仍与各力平行也绕点转过相同角度，且合力的作用点不变。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。§4.6同向平行力系的中心和重心取各力作用点矢径如图由合力矩定理得设力作用线方向的单位矢量为，则上式变为从而得将上式投影到直角坐标轴上，得二、重心地球半径很大，地表物体的重力可以看作是平行力系，此平行力系的中心即物体的重心，重心有确定的位置，与物体在空间的位置无关。若有若干个力组成的平行力系，合力的作用点为如果物体时均质的，则式中为物体的体积，均质物体的重心就是几何中心，即形心。设物体由若干部分组成，其第部分重为，重心为，则物体的重心为主要内容§5-2有关摩擦的一些问题§5-3滚动摩阻§5-1滑动摩擦§5-1滑动摩擦1、滑动摩擦力两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。摩擦力特点：a.作用于相互接触处。b.方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反。c.大小根据主动力作用的不同，分为三种情况：静滑动摩擦力、最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。§5-1滑动摩擦

在粗糙的水平面上放置重的物体，该物体在重力和法向反力的作用下处于静止状态，如下图。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力，当拉力由零逐渐增加但不很大时，物体仅有相对滑动趋势，但仍保持静止。2、静滑动摩擦力

可见支承面对物体除法向约束力外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以表示，方向如图，大小由平衡条件确定。

静摩擦力的大小随主动力的增大而增大。§5-1滑动摩擦3、最大静滑动摩擦力

此后，如果主动力再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。

静摩擦力与一般约束力不同，它并不随主动力的增大而无限地增大。当主动力的大小达到一定数值时，物体处于平衡的临界状态。这时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以表示。静摩擦定律（库仑摩擦定律）：

式中是比例常数，称为静摩擦系数。静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况（如粗糙度、温度和湿度等）有关，而与接触面积的大小无关。§5-1滑动摩擦4、动滑动摩擦力

当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以表示。实验表明：式中是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。§5-1滑动摩擦2、摩擦角1、全约束力

当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束力包含法向约束力和静摩擦力。这两个分力的几何和称为支承面的全约束力。全约束力的作用线与接触面的公法线成一偏角，如图。

当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大静摩擦力，偏角也达到最大值，如图。全约束力与法线间的夹角的最大值称为摩擦角。§5-2有关摩擦的一些问题由图可得：即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。

当物体的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，的作用线将画出一个以接触点为顶点的锥面，如图，称为摩擦锥。

设物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为的圆锥。3、自锁现象物体平衡时，，所以

由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束力必在摩擦角之内。a.若作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必静止。这种现象称为自锁现象。在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角，因此，

和必能满足二力平衡条件，且，如图b.若全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。

和不能满足二力平衡条件，如图。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角，而

利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法，测定静摩擦系数。

把要测定的两种材料分别做成斜面和物块，把物块放在斜面上，并逐渐从零起增大斜面的倾角，直到物块刚开始下滑为止。这时角就是要测定的摩擦角。

考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下几个特点：a.分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力，通常增加了未知量的数目；b.为确定这些新增加的未知量，需列出补充方程，即补充方程的数目与摩擦力的数目相同;c.由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。

工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于最大值，补充方程只取等号。

物块重G，放于倾角为α的斜面上，它与斜面间的静摩擦系数为fs，如图所示。当物块处于平衡时，试求水平力F1的大小。例题5-1αF1αG法线解：

由图a可见，物块在有向上滑动趋势的临界状态时，可将法向约束力和最大静摩擦力用全约束力FR来代替，这时物块在G，FR

，F1max三个力作用下平衡，受力如图。GF1maxFRα+φ(b)

根据汇交力系平衡的几何条件，可画得如图b所示的封闭的力三角形。求得水平推力的最大值为αGφα法线FRF1max(a)例题5-1α法线αφFRF1minG

同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图c。(c)GFRF1minα-φ(d)作封闭的力三角形如图d所示。得水平推力的最小值为

例题5-1

综合上述两个结果，可得力F1的平衡范围，即代入上式，得

将≤≤≤≤≤≤例题5-1

长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为G的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角α。αlaABG例题5-2yαlABx

以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下列条件：（a）（b）（c）aFFNAGFNB（d）由式（b）和（c）得由式（a）和（d）得（a）（b）（c）（d）即由以上两式，有

因

0≤a≤l，当a=l

时，上式左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时而梯子不下滑，只需以a=l

代入上式，得式中φf

为梯子与地板间的摩擦角。或αlaABG设在水平面上有一滚子，重量为，半径为，在其中心上作用有一水平力。滚子与平面实际上并不是刚体，它们在力的作用下都会发生变形，有一个接触面，如图a,在接触面上受分布力的作用。(a)

这些力向点简化，得到一个力和一个力偶，力偶的矩为，如图b(b)§5-3滚动摩阻

力可分解为摩擦力和法向约束力，这个矩为的力偶称为滚动摩阻力偶，它与力偶平衡，它的转向与滚动的趋向相反，如图c(c)与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩随着主动力的增加而增大，当力增加到某个值时，滚子处于将滚未滚的临界平衡状态；这时，滚动摩阻力偶矩达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，用表示

若力再增大一点，轮子就会滚动。在滚动过程中，滚动摩阻力偶矩近似等于滚动摩阻定律：最大滚动摩阻力偶矩与滚子半径无关，而与支承面的正压力的大小成正比，即其中是比例常数，称为滚动摩阻系数，简称滚阻系数，它具有长度的量纲，单位一般用滚阻系数的物理意义：滚子在即将滚动的临界平衡状态时，受力如图a(a)根据力的平移定理，可将法向约束力和最大滚动摩阻力偶合成一个力，且。力的作用线距中心线的距离为，如图b(b)比较滚动摩阻定律

半径为R的滑轮上作用有力偶MB

，用细绳拉住半径为R，重量为G的圆柱，如图所示。斜面倾角为α，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为δ。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最小值。αRBAMBROG例题5-3解：1.取圆柱为研究对象，当绳拉力最小时，圆柱有向下滚动的趋势。最小拉力为补充方程列平衡方程xyAαOGFNFfMf,max2.取圆柱为研究对象，当绳拉力最大时，圆柱有向上滚动的趋势。所以最大拉力为xyAαOGFNFfMf,max§6-1材料力学的任务构件1．强度构件在正常工作情况下不发生破坏。这就需要构件具有足够的强度——抵抗破坏的能力。构件的承载能力主要由三个方面衡量：

——工程结构或机械的各组成部分。

构件在正常工作情况下，变形不超过一定限度。这就需要构件具有足够的刚度——构件抵抗变形的能力。2．刚度承力柱桥面拉杆缆索

3．稳定性

构件在正常工作情况下，要求保持原有的平衡状态。这就需要构件具有足够的稳定性——构件维持其原有的平衡状态的能力。材料力学的任务：1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全性与经济性 之间的矛盾提供力学方面的依据。§6-2工程构件的简化模型杆件板件（板）块件（或块体）板件（壳）一、构件的基本形式材料力学主要研究杆件。

二、变形固体及其基本假设受力后其形状和尺寸发生变化的物体称为变形固体（简称变形体）。1.连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。灰口铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织普通钢材的显微组织优质钢材的显微组织2.均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同、均匀分布。3.各向同性假设：认为物体在各个不同方向上的力学性能相同。●

小变形假设：

PLPA假设物体产生的变形与整个物体的原始尺寸相比是极其微小的。§6–3内力、截面法和应力内力、内力F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力

由于变形引起的物体内部的附加力。二、截面法NQM步骤：（1）切开（2）代力（3）平衡截面上一点分布内力的集度称为该点的应力。kpm称为

A面积上的平均应力。p

称为截面上k点的全应力。三、应力

kp

单位为：Pa——正应力

——剪应力§6–4位移、变形与应变、位移线位移

——AA1角位移

——θ线位移还可分解为轴向位移u与横向位移v取一微小正六面体两种基本变形：

单元体线段间夹角的变化

角变形DsDs+Duxyog二、变形线段长度的改变

线变形三、应变平均线应变线应变剪应变(或角应变)与均无量纲。

§6-5杆件变形的基本形式一、轴向拉伸或压缩FF拉伸FF压缩

二、剪切FF174§7-1概述目录175目录176目录177目录178特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。杆的受力简图为FF拉伸FF压缩目录179§7-2拉(压)时的内力FFmmFN假想沿m-m横截面将杆切开FN目录轴力

正负号规定：拉为正、压为负轴力图：因外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。故称为轴力。轴力沿杆件轴线变化的图形180例题7-2-1已知F1=10kN，F2=20kN，F3=35kN，F4=25kN，试画出图示杆件的轴力图。11N1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233N3F4N2F1F2CD段2、绘制轴力图。目录181

例题7-2-2

长为l，重为W的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉力P作用，画该杆的轴力图。lPxPN⊕轴力图PP+W目录解：

182§7-3拉(压)杆的应力目录为了得到正应力分布规律，先研究杆件变形。Fabd'Fa'b'c'cd变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面,而且仍垂直于轴线。(1)仍为直线;(2)仍互相平行且垂直于轴线;●

平面假设：183目录F

NFabd'Fa'b'c'cd由平面假设各纵向纤维变形相同各纵向纤维受力相同正应力在横截面上均匀分布正负号规定：拉为正、压为负184目录几点说明非轴向拉压时该公式不成立。圣维南原理：静力等效力系作用下杆的应力分布仅对力作用区附近范围(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。185目录

对变截面杆，当截面变化缓慢时，近似有lxA(x)P186目录18745°例题7-3-1

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN，斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：12FBF45°目录1、计算各杆件的轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点B为研究对象1882、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°目录189§7-4拉（压）时的弹性变形目录

FFbb1试验表明：

引入比例常数

，则有1、轴向变形虎克定律190同时，有所以：———虎克定律若将代入上式，得

虎克定律另一形式

E

弹性模量（量纲和单位与应力相同）EA

抗拉(或抗压)刚度注意：上式只在应力不超过比例极限时成立。目录191横向变形量

横向应变2、横向变形泊松比

试验证明，上式也可写成：

泊松比或横向变形系数（无量纲）当应力不超过比例极限时，有：目录

FFbb1192目录193表7-1几种常用材料的E和µ值材料名称E（GPa）µ

碳钢合金钢灰铸铁铜及其合金混凝土橡胶196-216186-20678.5-15772.6-12814-350.00780.24-0.280.25-0.300.23-0.270.31-0.420.16-0.180.47目录194●有时要分段●或积分补充：目录195例题7-4-1一构件如图所示，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，E=200GPa。试求：(1)各段杆横截面上的内力和应力；(2)杆的总长度改变。目录196解（1）内力和应力计算

目录197（2）杆的总长度改变即杆缩短了0.015mm。D点向左移动了0.015mm。目录198目录199目录200l

OA例题7-4-2试求自由悬挂的直杆由于自重引起的最大正应力和总伸长。设杆长l，截面积A，容重

，弹性模量E均为已知。目录201解：(1)计算杆内的最大正应力mmlx

Axmm

AN(x)xO目录202mmlx

AxOON+

Ax

Alx目录203(2)计算杆伸长所以整个杆件的伸长为：dxN(x)+dN(x)N(x)目录dx微段的伸长可写为204§2-5材料拉（压）时的力学性能力学性能常温、静载目录试件和实验条件——

在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性205目录206目录一、低碳钢拉伸时的力学性能207●四个阶段1、弹性阶段（ob段）2、屈服阶段（bc段）目录——比例极限——弹性极限——屈服极限2083、强化阶段（ce段）4、颈缩阶段（ef段）目录——强度极限209延伸率截面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的目录●两个塑性指标210●卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载

材料在卸载过程中应力和应变按直线规律变化，这就是卸载定律。

材料的比例极限增高，塑性降低，此现象称之为冷作硬化。目录思考：of′

=δ

?211目录二、其它塑性材料拉伸时的力学性能

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限来表示。212目录三、铸铁拉伸时的力学性能

是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。213试件和实验条件常温、静载§2-5目录四、低碳钢压缩时的力学性能214目录与拉伸类同215目录

抗压强度极限比抗拉强度极限高4~5倍。

破坏断面与轴线大约成45

~55

的倾角。五、铸铁压缩时的力学性能216表7-2

几种常用材料的主要力学性能材料名称牌号普通碳素钢A2186-216333-41231A3216-235373-46125-27优质碳素结构钢15226373274033356919普通低合金机构钢12Mn274-294432-44119-2116Mn274-343471-51019-21合金结构钢20Cr5398341040Cr7859819球墨铸铁QT40-1029439210QT45-53244415灰口铸铁HT15-3398.1-274(拉)673（压）HT30-54255-294（拉）1088（压）目录217目录218破坏（失效）———

断裂或出现塑性变形§2-6拉压时的强度计算极限应力塑性材料脆性材料——

许用应力n

——安全系数目录219强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：目录220解：1、研究节点A的平衡，计算轴力例题7-6-1

图示结构A、B、C为铰接，已知F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=20°，[σ]=120MPa。试校核斜杆的强度。2、强度校核故斜杆强度足够目录FFF221例题7-6-2油缸结构如图，D=350mm，p=1MPa，螺栓[σ]=40MPa，试设计螺栓直径。每个螺栓承受轴力解：油缸盖受到的力由即故螺栓直径取为24mm。目录222例题7-6-3图示结构AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，[σ]=120MPa，α=30º。求许可载荷F。解：1、计算各杆轴力2、考虑斜杆，求许可载荷AFα查表得截面积为A1=2×4.803cm2目录2233、考虑水平杆，求许可载荷查表得截面积为A2=2×12.74cm24、许可载荷目录224§2-7应力集中的概念（自学）目录应力集中——

由于构件截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现象。——理论应力集中系数这里，

m为截面上的平均应力。当宽度远大于圆孔直径时，§8-1

剪切的概念mn

剪切面Q

剪力剪切的工程实例螺栓连接销连接

键连接铆钉连接FF§8-2

剪切和挤压的实用计算一、 剪切的实用计算简化假设：剪应力在剪切面上均匀分布。

强度条件τ

名义剪应力取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。例8-2-1已知：插销的[t]=30MPa，d=20mm,t

=8mm,P

=15kN。求：校核插销的剪切强度。解：插销受力如图。具有两个剪切面：双剪问题。剪切面的面积结论：满足剪切强度要求。例8-2-2已知：钢板厚t

=10mm,其剪切极限应力t°=300

MPa。求：要冲出直径d

=25mm的孔，需多大冲剪力P？解：剪切面的面积dt二、挤压的实用计算实际挤压面计算挤压面其中，Ajy等于实际挤压面面积在垂直于总挤压力作用线的平面上的投影。

以Pjy表示挤压面上传递的力，Ajy表示计算挤压面面积，σjy表示名义挤压应力，则对圆截面杆：dt对平键：

强度条件键飞轮m轴m三、连接件的强度计算破坏有三种可能情况：1、沿剪切面被剪断2、挤压面发生塑性变形3、连接板被拉断一般要综合考虑上述三方面的强度计算。例8-2-3一铆接头如图所示，钢板和铆钉材料相同，[

]=160MPa，[

]=130MPa，[

jy]=320MPa。试校核铆接头的强度。解：（1）铆钉受力分析（2）校核剪切强度（3）校核挤压强度（4）校核钢板的拉伸强度综上，接头安全。钢板的2--2和3—3截面为危险截面例8-2-4已知：d=70mm,键的尺寸为b

h

l=20

12

100mm，力偶m=2kNm,键的[t]=60MPa,[sjy]=100MPa。

求：校核键的强度。解：1)校核键的剪切强度

剪切面上的剪力取键的下半部分和轴，受力如图FoyFox

剪切面的面积

剪应力2)校核键的挤压强度

挤压力取键的上半部分，受力如图

有效挤压面

挤压应力故键满足剪切、挤压强度要求。例8-2-5已知：[t]=30MPa，直径d

=20mm,t

=8mm,1.5t

=12mm,P

=解：插销受力如图。中段较危险，应校核该段的强度。15kN。[

jy]=100MPa。求：校核插销的挤压强度。

计算挤压面积

§9–1

扭转的概念传动轴以扭转变形为主的杆——轴受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。变形特点：任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。材料力学以研究圆轴为主。O扭转角

mmO

外力偶矩可通过传递功率和转速来换算。

若传递的功率为N(kW)，转速为n（r/min），则每分钟功率作功：力偶作功：§9–2

外力偶矩

扭矩与扭矩图一、外力偶矩的计算若功率的单位为马力时，则公式为其中：N——功率，千瓦（kW）

n——转速，转/分（r/min）二、扭矩扭矩图MnMe

Me

xMe

11MnMn

扭矩1111Me

扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)扭矩图扭矩沿杆轴线的变化情况图例9-2-1

画图示杆的扭矩图3kN.m5kN.m2kN.m解：11223kN.mMn1ABCAC段：BC段：2kN.mMn2扭矩图3kN.m2kN.m⊕○-例9-2-2

传动轴如图所示，主动轮A输入功率NA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15kW，ND=20kW，轴的转速n=300r/min。试绘制扭矩图。MAMBMCBCADMD解：（1）计算外力偶矩221133MA

MB

MC

MD

Mn111xMBMn2MB

MC

22xMn333MD

x（2）计算各段的扭矩MAMB

MC

MD477954637Mn图(kN·m)（3）作扭矩图§9–3薄壁圆筒的扭转一、应力与应变轴线和周向线长度不变横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有剪应力。

试验观察

剪应力

剪应变二、纯剪切状态

两相对的面上，剪应力大小相等，方向相反。剪应力互等定理三、剪切虎克定律当剪应力不超过剪切比例极限时:G——剪切弹性模量剪切虎克定律钢材的G约为80GPa。对各向同性材料，有剪切变形比能u四、剪切变形能U表示剪切变形能§9-4圆轴扭转时的应力和变形一、应力

变形几何关系从三方面考虑：物理关系

静力关系1.变形几何关系

观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化;(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度。刚性平面假设：

圆轴扭转时，横截面保持为平面,并且只在原地绕轴线发生“刚性”转动。dxa

aMeMenmmndxRoe

e

e

eo

dx(a)(b)2.物理关系（b）式代入得(c)3.静力关系记则(d)(e)——极惯性矩由(c)、(e)，有在给定的横截面上，最外缘剪应力最大——抗扭截面模量记d

实心圆轴Do

Ip

、

Wn

的计算

空心圆轴Do

dd

其中:二、变形扭转角

两个横截面绕轴线的相对转角。由(e)式当Mn、GIP为常量时GIp

抗扭刚度当Mn、GIP分段变化时§9-5圆轴扭转时的强度和刚度计算

强度条件

刚度条件

单位长度扭转角(rad/m)(rad/m)(º/m)

若[

]

的单位为

º/m，则d1d2例9-5-1图示圆轴，已知MA=1.4kN·m，MB=0.6kN·m，MC=0.8kN·m；d1

=40mm，d2

=70mm；l1

=0.2m，l2

=0.4m；[

]=60MPa，[]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。ABCMAMB

MCl1l20.6kN·m0.8kN·m⊕○解：（1）强度校核满足强度条件。（2）刚度核该d1d2ABCMAMB

MCl1l20.6kN·m0.8kN·m⊕○此轴不满足刚度条件。（3）计算两端面的相对扭转角d1d2ABCMAMB

MCl1l20.6kN·m0.8kN·m⊕○例题9-5-2图示材料相同的实心轴与空心轴通过牙嵌离合器联结，传递外力偶矩Me=700N·m。设空心轴的内外径之比α=0.5，[τ]=20MPa。试设计实心轴的直径d1和空心轴外直径D2，并比较两轴的横截面面积。实心轴空心轴解：取§10-1静矩和形心CzydAyzO2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）(10-2)

1.静矩(10-1)

常用单位：m3或mm33.静矩与形心坐标的关系(10-3)

(4-1)代入(4-2)，得

推论：若截面对某轴的静距为零，则该轴必过形心；反之，若某轴过形心，则截面对该轴的静矩为零。4.组合截面的静矩与形心(10-4)

(10-5)

§10-2惯性矩·

惯性积·

惯性半径2.极惯性矩1.惯性矩OyzzyrdA

分别称为截面对z轴和y轴的惯性矩。称为截面对o点极惯性矩。3.惯性积以上各量常用单位:m4或mm4即OyzzyrdA称为截面对z轴和y轴的惯性积。4.惯性半径单位：m

或mmiy

，iz

分别称为截面对y

、z轴的惯性半径。结论：①截面的极惯性矩、惯性矩、惯性积与坐标轴的位置有关。②

截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原

点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。③惯性矩和极惯性矩恒为正值，而惯性积可正、

可负，也可能为零，但量纲均为[长度]4

。④截面