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7.6空间曲面与空间曲线简介1、空间曲面及其方程求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.球心在M0

(x0,y0,z0)，半径为R

的球面方程例2.

研究方程解:配方得此方程表示:说明:一般的球面方程可表示为(A≠0)的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为

定曲线C

称为柱面的准线.2.柱面动直线L沿给定曲线C

平行移动形成的曲面，称为柱面，动直线L

称为柱面的母线，CLxyzO柱面图形：圆柱面由于方程f(x,y)=0不含z，

所以点M(x,y,z)也满足方程f(x,y)=0.设M(x,y,z)为柱面上的任一点，

过M作平行于z

轴的直线交xoy

坐标面于点

由柱面定义可知必在准线C上.

所以的坐标满足曲线C

的方程

f(x,y)=0.

而不在柱面上的点作平行于z

轴的直线

与xoy

坐标面的交点必不在曲线C

上，也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程

f(x,y)=0.

xyzOMLC

现在来建立以xoy

坐标面上的曲线C:f(x,y)=0为准线，平行于z

轴的直线L

为母线

的柱面方程.

f(x,y)=0在空间表示以xoy

坐标面上的曲线C为准线，

平行于z轴的直线为母线的柱面.类似地，不含变量x

的方程f(

y,z)=0

平行于x轴的直线为母线的柱面.在空间表示以yoz坐标面上的曲线为准线,

而不含变量y的方程f(x,z)=0在空间表示以xoz坐标面上的曲线为准线,

平行于y轴的直线为母线的柱面.所以，不含变量z

的方程f(

y,z)=0f(x,z)=0

例如方程表示圆柱面xyzO母线平行于z轴;准线为xoy

面上的圆

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线

方程表示椭圆柱面.xyzO2母线平行于y轴;准线为xoz

面上的椭圆

双曲柱面yxz

方程表示双曲柱面.母线平行于z轴;准线为xoy

面上的双曲线

定义2.一条平面曲线

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.3、旋转曲面建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:得旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到将代入例

2

将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程:(1)yoz

坐标面上的直线z=ay(a

0)，绕z

轴.(2)yoz

坐标面上的抛物线z=ay2(a

>0)，绕z

轴.(3)xoy坐标面上的椭圆分别绕x、y

轴.解(1)yoz

坐标面上的直线z=ay(a

0)绕z轴旋转，故z保持不变，将y换成则得

即所求旋转曲面方程为

点O称为圆锥面的顶点.表示的曲面称为圆锥面，(2)yoz

坐标面上的抛物线z=ay2

(a>0)绕z轴旋转所得的曲面方程为

该曲面称为旋转抛物面.其特征是:

当a<0时，旋转抛物面的开口向下.xyzO(3)xoy坐标面上的椭圆绕x

轴旋转，故x

保持不变，而将y

换成

得旋转曲面的方程为该曲面称为旋转椭球面.类似地，该椭圆绕y

轴旋转而得的旋转椭球面的方程为xyzO4.空间曲线及其方程空间曲线的一般方程例

3下列方程组表示什么曲线?

z=3是平行于xoy

坐标面的平面，

因而它们的交线是在平面z=3上的圆.(1)因为x2+y2+z2=25是球心在原点，半径为5的球面，解xyzO

因而它们的交线是在xoy

坐标面上的圆z=0是

xoy

坐标面，(2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同，若把(2)写成同解方程组

它表示母线平行于z轴的圆柱面与xoy坐标面的交线.这样更清楚地看出它是

xoy坐标面上的圆xyzOt为参数.空间曲线的参数方程空间曲线

上动点M

的坐标x，y，z

也可以用另一个变量t的函数来表示，即形如上的方程组称为曲线

的参数方程，例4.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为设

为已知空间曲线，则以

为准线，

平行于z

轴的直线为母线的柱面，

称为空间曲线

关于xoy

坐标面的投影柱面.

而投影柱面与xoy

坐标面的交线C称为曲线

在xy

坐标面的投影曲线.类似地，

可以定义曲线

关于yoz

坐标面、xoz坐标面的投影柱面及投影曲线.设空间曲线

的方程为消去z，得G(x,y)=0.5、空间曲线在坐标面上的投影

C

就可得到

关于

yoz

坐标面

或者zox坐标面的投影柱面方程，

可知满足曲线

的方程一定满足方程G(x,y)=0，而G(x,y)=0是母线平行于z轴的柱面方程，因此柱面G(x,y)=0

就是曲线

关于xoy

坐标面的投影柱面.而就是曲面

在xoy

坐标面上的投影曲线的方程.同理，从曲线

的方程中消去

x或者y，从而也可得到相应的投影曲线的方程.得x2+y2

3x5y=0，

在xoy坐标面上的投影曲线的方程.例

5求曲线解从曲线

的方程中消去

z，

即它是曲线

关于xy坐标面的投影柱面－

圆柱面的方程，

在xy坐标面上