专题05 抽象函数及应用9种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)含解析

专题05抽象函数及应用9种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)专题05抽象函数及应用9种常见考法归类考点一抽象函数的定义域问题考点二抽象函数的值域问题考点三“赋值法”求抽象函数的值考点四“赋值法”求抽象函数的解析式考点五抽象函数的奇偶性问题考点六抽象函数的单调性问题考点七解抽象不等式考点八抽象函数的周期性问题考点九抽象函数的对称性问题1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.常见函数模型抽象函数形式具体化函数或幂函数或对数函数或指数函数正比例函数一次函数余弦函数3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取.（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律.（1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，（2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y=-x，f（xy），可令y=-1等等。（3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。6.利用“配凑法”证明抽象函数的单调性配凑法就是通过恰当的拼与凑，使问题明了化、简单化，从而达到比较容易解决问题的目的。配凑法的实质是一种迂回的解题方法，体现了转化与化归思想。配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件，结合单调性的定义进行转化求解的。具体如下：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.=1\*GB3①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;=2\*GB3②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.注：证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：（1）构造“和”（2）构造“积”（3）利用构造（4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造示例如下：（一）特征式例1．已知函数对一切实数、都有，且当时，，又，求在上的最大值和最小值．（二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y)例2．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．(1)求f(0)的值；(2)证明：f(x)在R上是减函数．（三）特征式例3．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.判断并证明函数在上的单调性.（四）特征式例4．已知定义在区间上的函数f(x)满足，且当时，.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性.（五）特征式例5．定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数．7.“定义法”解抽象函数不等式解抽象函数不等式，可利用函数单调性的定义，如“已知函数是增函数，若则”，“脱去”函数符号后即可求解，当然，还要注意自变量范围的约束。8.抽象函数的周期性和对称性（1）由函数奇偶性得到函数图象对称性，再得到函数周期性.①若定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，且4|a|为其一个周期.②若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点A(a,0)(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，且4|a|为其一个周期.如：已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)，f(x+1)均为奇函数，则f(x)的一个周期为4.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)，f(x+1)均为偶函数，则f(x)的一个周期为4.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，则f(x)的一个周期为8.（2）由周期性和奇偶性，得到函数图象的对称性.①若f(x)是定义在R上的奇函数，且a(a≠0)为f(x)的一个周期，则函数f(x)有哪些性质？②若f(x)是定义在R上的偶函数，且a(a≠0)为f(x)的一个周期，则函数f(x)有哪些性质？如：若f(x)是定义在R上的奇函数，且2为f(x)的一个周期，则函数f(x)有对称中心(1,0).若f(x)是定义在R上的偶函数，且2为f(x)的一个周期，则函数f(x)有对称轴x=1.（3）由周期性和对称性，得到函数图象的奇偶性.①若a(a≠0)为f(x)(x∈R)的一个周期，且f(x)的图象关于点A,0对称，则函数f(x)有哪些性质？②若a(a≠0)为f(x)(x∈R)的一个周期，且f(x)的图象关于直线x=对称，则函数f(x)有哪些性质？考点一抽象函数的定义域问题1．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域.3．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．（2023上·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B． C． D．5．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．6．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为.考点二抽象函数的值域问题7．（2023上·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．8．（2023上·高一课时练习）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（

）A． B．C． D．9．（2023上·浙江温州·高一浙江省乐清中学校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（

）A． B．C． D．10．（2023下·青海玉树·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（

）A． B． C． D．11．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为RC．函数的定义域和值域都是RD．函数的定义域和值域都是R考点三“赋值法”求抽象函数的值12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则.13．（2017上·上海宝山·高一校考期中）已知函数对任意都有成立，且，则A． B． C． D．14．【多选】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知函数的定义域为，且，则（

）A．B．C．是奇函数D．是偶函数考点四“赋值法”求抽象函数的解析式15．（2023上·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）设函数满足，且对任意、都有，则（

）A． B． C． D．16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式.17．（2023·江苏·高一假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.18．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．19．（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为．20．（2023下·江苏徐州·高一校考竞赛）已知函数满足：，，且对任意的，都成立，试求.考点五抽象函数的奇偶性问题21．【多选】（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知函数对任意恒有，且，则（

）A． B．可能是偶函数C． D．可能是奇函数22．【多选】（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（

）A． B．C． D．为奇函数23．（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（

）A． B． C．为奇函数 D．为偶函数24．（2023上·湖北·高一校联考期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则求出函数的图象的对称中心为；类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论是.25．（2023上·云南昆明·高一校考期中）定义在上的函数满足．(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明.26．（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）设函数是增函数，对于任意，都有.(1)证明是奇函数；(2)关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围.27．（2023上·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．28．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）定义在上的增函数对任意都有．(1)求证：为奇函数；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围考点六抽象函数的单调性问题29．【多选】（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．为上的减函数30．（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．(1)判定并证明函数在R上的单调性；(2)讨论函数的奇偶性；(3)若，求x的取值范围．31．（2023上·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）函数对任意实数恒有，且当时，.(1)判断的奇偶性；(2)求证：是上的减函数；(3)若，解关于的不等式.32．（2023上·广西·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.(1)判断并证明函数的单调性；(2)若，求解关于的不等式的解集.33．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立.(1)求证：函数在上为增函数.(2)若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.34．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.(1)判断并证明的单调性；(2)当时，求关于的不等式的解集.35．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）定义在区间上的函数，对任意，都有，且当时，.(1)求的值.(2)证明：为偶函数.(3)求解不等式.36．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：函数在上是减函数；(3)若，且恒成立，求实数的取值范围.37．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数对任意的x，，都有，且当时，，．(1)判断函数的奇偶性，并证明当时，；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；(3)设实数，求关于x的不等式的解集．考点七解抽象不等式38．（2023上·河南周口·高一校考阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．39．（2023上·贵州毕节·高一校考阶段练习）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．40．（2023上·广东佛山·高一统考期中）已知偶函数在上单调递减，.若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2023上·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．42．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（

）A．B． C．D．43．（2024上·吉林辽源·高一辽源市实验高级中学校校联考期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（

）A． B．C． D．44．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．45．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．考点八抽象函数的周期性问题46．（2023上·山东·高一校联考期中）设是定义域为的偶函数，且.若，则（

）A． B． C． D．47．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）函数满足，且，则.48．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知满足和，当时，，则.49．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数的定义域为，且，，则.50．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求的函数值；(2)证明：为周期函数．51．（2023下·高一课时练习）已知函数是R上的偶函数，是R上的奇函数，且，求证：是周期函数.52．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且．(1)求；(2)证明设是周期函数．53．（2023上·吉林白山·高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．(1)求证：是周期函数；(2)当时，求的解析式．54．（2023上·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知是定义在上的函数，满足.(1)若，求；(2)求证：的周期为4；(3)当时，，求在时的解析式.55．（2023上·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，求：(1)与的值；(2)的值.考点九抽象函数的对称性问题56．（2023上·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．0 B． C． D．357．（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（

）A． B．2 C．0 D．202358．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数满足,当时,,则（

）A． B． C． D．59．【多选】（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（

）A． B．函数有对称中心C．函数为奇函数 D．函数为减函数60．（2024·全国·高三专题练习）定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是．专题05抽象函数及应用9种常见考法归类考点一抽象函数的定义域问题考点二抽象函数的值域问题考点三“赋值法”求抽象函数的值考点四“赋值法”求抽象函数的解析式考点五抽象函数的奇偶性问题考点六抽象函数的单调性问题考点七解抽象不等式考点八抽象函数的周期性问题考点九抽象函数的对称性问题1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.常见函数模型抽象函数形式具体化函数或幂函数或对数函数或指数函数正比例函数一次函数余弦函数3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取.（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律.（1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，（2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y=-x，f（xy），可令y=-1等等。（3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。6.利用“配凑法”证明抽象函数的单调性配凑法就是通过恰当的拼与凑，使问题明了化、简单化，从而达到比较容易解决问题的目的。配凑法的实质是一种迂回的解题方法，体现了转化与化归思想。配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件，结合单调性的定义进行转化求解的。具体如下：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.=1\*GB3①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;=2\*GB3②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.注：证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：（1）构造“和”（2）构造“积”（3）利用构造（4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造示例如下：（一）特征式例1．已知函数对一切实数、都有，且当时，，又，求在上的最大值和最小值．【解析】函数的定义域为，关于原点对称，设，则，得，令，得，则，得，所以，函数为奇函数，任取，则，，另一方面，，函数为上的减函数，，，因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.（二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y)例2．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．(1)求f(0)的值；(2)证明：f(x)在R上是减函数．【解析】(1)∵，当时，，令，则．∵，∴.(2)证明：若，∴，∴，故.任取，则．∵，∴，∴．故在上是减函数．（三）特征式例3．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.判断并证明函数在上的单调性.【解析】在上为增函数.设，则即，，故，即，故在上为增函数；（四）特征式例4．已知定义在区间上的函数f(x)满足，且当时，.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性.【解析】(1)令，所以，所以；(2)令，所以，又因为，所以，所以，所以在上单调递减；（五）特征式例5．定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数．【解析】由题意得，（1）因为，所以，因为，所以，又，所以．（Ⅱ）证明：在上任取，则，∵，∴，∴，∴．要证明在上为单调递增函数，只须证．当时，有成立；当时，成立；当时，有，∵，∴，∴，故此时仍有成立．综上知：在上恒成立，从而函数在上为单调递增函数．7.“定义法”解抽象函数不等式解抽象函数不等式，可利用函数单调性的定义，如“已知函数是增函数，若则”，“脱去”函数符号后即可求解，当然，还要注意自变量范围的约束。8.抽象函数的周期性和对称性（1）由函数奇偶性得到函数图象对称性，再得到函数周期性.①若定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，且4|a|为其一个周期.证明：由已知条件得f(−x)=−f(x)，f(x+2a)=f(−x)，则f(x+2a)=−f(x)，所以f(x+4a)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且4|a|为其一个周期.②若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点A(a,0)(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，且4|a|为其一个周期.证明：由已知条件得f(−x)=f(x)，f(x+2a)=−f(−x)=−f(x)，则f(x+4a)=−f(x+2a)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且4|a|为其一个周期.如：已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)，f(x+1)均为奇函数，则f(x)的一个周期为4.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)，f(x+1)均为偶函数，则f(x)的一个周期为4.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，则f(x)的一个周期为8.（2）由周期性和奇偶性，得到函数图象的对称性.①若f(x)是定义在R上的奇函数，且a(a≠0)为f(x)的一个周期，则函数f(x)有哪些性质？证明：由题意得f(−x)=−f(x)，f(x)=f(ka+x)，则f(ka+x)=−f(−x)，函数f(x)有对称中心a,0(k∈Z)，函数的对称中心不唯一，有无数个.②若f(x)是定义在R上的偶函数，且a(a≠0)为f(x)的一个周期，则函数f(x)有哪些性质？证明：由题意得f(−x)=f(x)，f(x)=f(ka+x)，则f(ka+x)=f(−x)，函数f(x)有对称轴x=a(k∈Z)，函数的对称轴不唯一，有无数条.如：若f(x)是定义在R上的奇函数，且2为f(x)的一个周期，则函数f(x)有对称中心(1,0).若f(x)是定义在R上的偶函数，且2为f(x)的一个周期，则函数f(x)有对称轴x=1.（3）由周期性和对称性，得到函数图象的奇偶性.①若a(a≠0)为f(x)(x∈R)的一个周期，且f(x)的图象关于点A,0对称，则函数f(x)有哪些性质？证明：由已知条件，得f(x)=f(a+x)，f(−x+b)=−f(x)，则f(a+x)=−f(−x+b)，即f(a+b+x)=−f(−x)，故f(x)的图象关于点,0对称，所以fx+是奇函数.②若a(a≠0)为f(x)(x∈R)的一个周期，且f(x)的图象关于直线x=对称，则函数f(x)有哪些性质？证明：由已知条件得f(x)=f(a+x)，f(−x+b)=f(x)，则f(−x+b)=f(a+x)，故f(x)的图象关于直线x=对称，所以函数fx+是偶函数.考点一抽象函数的定义域问题1．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论.【详解】因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是．故选：A.2．（2023上·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域.【答案】【分析】根据抽象函数的定义域求解即可.【详解】因为函数的定义域为，即，则，故的定义域为．故答案为：.3．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.【详解】因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，由，得，所以函数的定义域为.故选：B.4．（2023上·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抽象函数定义域求法可得的定义域为，结合根式和分母要求即可求得结果.【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，即的定义域为，所以需满足，解得，即的定义域为.故选：D5．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.【详解】依题意，函数的定义域为，所以，即函数的定义域为，所以在函数中有，解得，所以的定义域为，故选：A.6．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【分析】根据题意列出满足的不等式，即可求得答案.【详解】由题意知函数的定义域为，则需满足，解得，即的定义域为，故答案为：考点二抽象函数的值域问题7．（2023上·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围.【详解】因为函数的值域为，即，所以，所以，即函数的值域为.故选：A8．（2023上·高一课时练习）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知可推得的定义域与值域，然后即可得出，根据交集的运算得出答案.【详解】由已知的定义域为，值域为，可得的定义域为，值域为，所以，所以，所以，.所以，.故选:C.9．（2023上·浙江温州·高一浙江省乐清中学校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.【详解】对于A，由可得，，故A错误；对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.10．（2023下·青海玉树·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；对于③，因为，则，③满足条件；对于④，因为，，则，④满足条件.故选：B.11．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为RC．函数的定义域和值域都是RD．函数的定义域和值域都是R【答案】B【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.故选：B考点三“赋值法”求抽象函数的值12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则.【答案】－1【分析】赋值得到，然后代入求解即可.【详解】令，得，所以，解得，，解得，故答案为：.13．（2017上·上海宝山·高一校考期中）已知函数对任意都有成立，且，则A． B． C． D．【答案】A【分析】分别令，，，即可得解.【详解】解：令，则有，即，得；令，则有，即；令，则有；∴.故选A.【点睛】本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法．14．【多选】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知函数的定义域为，且，则（

）A．B．C．是奇函数D．是偶函数【答案】ABD【分析】根据已知的抽象函数性质，赋值（式）法求解即可.【详解】令，则，即.A正确.令，则.令，则，则.故.B正确.是非奇非偶函数.C不正确.是偶函数.D正确.故选：ABD.考点四“赋值法”求抽象函数的解析式15．（2023上·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）设函数满足，且对任意、都有，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令得出，再令可得出，即可求出的值.【详解】对任意、都有，且，令，得，令，可得，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用赋值法求抽象函数值，解题的关键就是利用赋值法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.16．（2023·全国·高一专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式.【答案】.【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解.【详解】由已知等式，令，，得．又，所以．再令，可得，即．因此，函数的表达式为．17．（2023·江苏·高一假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.【答案】【分析】利用赋值法可求的解析式.【详解】由已知条件得，又，设，则，∴.18．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用赋值法求及，然后利用单调性解不等式即可.【详解】令，得.令，得，解得，则不等式转化为，因为是增函数，且，所以不等式的解集为.故选：A19．（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为．【答案】【分析】利用赋值法先求出解析式，再求解不等式可得答案.【详解】令，得．令，则，即，解得，则不等式的解集为．故答案为：20．（2023下·江苏徐州·高一校考竞赛）已知函数满足：，，且对任意的，都成立，试求.【答案】【分析】首先令代入，再令代入，最后令再代入，联立三个式子即可求得最后结果.【详解】在已知条件中令可得令可得令可得解方程可得易检验满足已知条件.考点五抽象函数的奇偶性问题21．【多选】（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知函数对任意恒有，且，则（

）A． B．可能是偶函数C． D．可能是奇函数【答案】AB【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；令，得，则，对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；对于选项C，令，得，所以选项C错误；故选：AB.22．【多选】（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（

）A． B．C． D．为奇函数【答案】ABD【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得，再令，得到，可判定D正确.【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，对于A中，令，得，所以A正确；对于B中，令，得，则，所以B正确；对于C中，令，得，再令，得，可得，所以C错误.对于D中，令，得，则，再令，得，则为奇函数，所以D正确.故选：ABD.23．（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（

）A． B． C．为奇函数 D．为偶函数【答案】D【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可.【详解】令，则，，，选项A错误；令，，则，即，则，选项B错误；，不是奇函数，选项C错误；令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；故选：D．24．（2023上·湖北·高一校联考期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则求出函数的图象的对称中心为；类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论是.【答案】的图像关于对称的充要条件是为偶函数【分析】根据函数为奇函数，即可求解，根据偶函数的定义，并且类别推广，即可求解推广结论.【详解】为奇函数，所以且所以，，所以函数的图象的对称中心为；若函数关于对称，则为偶函数，因为若为偶函数，则，即函数关于对称，反过来若函数关于对称，则，即为偶函数，综上可知，命题的推广结论为“的图像关于对称的充要条件是为偶函数”.故答案为：；的图像关于对称的充要条件是为偶函数25．（2023上·云南昆明·高一校考期中）定义在上的函数满足．(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明.【答案】(1)；(2)是偶函数；证明见解析.【分析】（1）分别令和，即可得结果；（2）令结合偶函数的定义即可得结果.【详解】（1）令，则．再令，可得，∴．（2）是偶函数；证明：令可得，∴是偶函数．26．（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）设函数是增函数，对于任意，都有.(1)证明是奇函数；(2)关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据奇函数的定义，结合赋值法，即可证明；（2）首先化简不等式，并根据函数的单调性化简不等式为，根据不等式的解集，以及条件，即可求解实数的取值范围.【详解】（1）对于任意都有，令，则；再令，则，所以函数是奇函数.（2）不等式可化为，即，又函数在上是增函数，即，即，若，则，解集中没有3个正整数，若，不等式的解集为空集，也不成立，若，则，该不等式的解集中恰有3个正整数，.27．（2023上·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．【答案】(1)；(2)奇函数；理由见详解(3)单调递减，理由见详解【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性.【详解】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）为奇函数，理由如下：，而，得故在上是奇函数（3）当时，，所以当，则，得，又在上是奇函数，所以当，则，设，则，所以，，故，在上单调递减.【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性．28．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）定义在上的增函数对任意都有．(1)求证：为奇函数；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）令，得，再令证得结果；（2）根据函数奇偶性以及单调性解不等式，结合不等式恒成立，参变分离，利用基本不等式求解最值得出结果.【详解】（1）令，得，即．令，得，又，对任意都成立．为奇函数．（2）为奇函数，．为上的增函数，，.,.考点六抽象函数的单调性问题29．【多选】（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．为上的减函数【答案】ACD【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；对于B，由题可知，，故B错误；对于C，，故，为奇函数，故C正确；对于D，当时，，，是上的减函数，故D正确.故选：ACD30．（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．(1)判定并证明函数在R上的单调性；(2)讨论函数的奇偶性；(3)若，求x的取值范围．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)奇函数，理由见解析(3)或【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性；（2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案；（3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案.【详解】（1）在R上单调递减，理由如下：任取，且，因为，所以，令，则，因为当时，恒成立，又，所以，所以，，所以在R上单调递减；（2）令，则，解得，令，因为，故，所以，所以是奇函数；（3）因为，所以，因为是奇函数，所以，因为是R上的减函数，所以，解得或，所以不等式的解集为或.31．（2023上·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）函数对任意实数恒有，且当时，.(1)判断的奇偶性；(2)求证：是上的减函数；(3)若，解关于的不等式.【答案】(1)奇函数(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，令得，解得：.取，则由得，∴，即，∴函数是奇函数.（2）证明：任取，且，则，∵当时，，∴，由得，∴，∴，∴是上的减函数.（3）解：由得，由得，则，∴不等式可化为，∵是上的减函数，∴，即………①.（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；（ii）当时，不等式①式化为，即，若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；若，则，原不等式解集为；若，则，原不等式解集为；（iii）当时，不等式①式化为，即，∵此时，∴原不等式解集为；综上，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.【点睛】方法点睛：1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.32．（2023上·广西·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.(1)判断并证明函数的单调性；(2)若，求解关于的不等式的解集.【答案】(1)在上单调递减，证明见解析(2)【分析】（1）赋值法求出，，且，则，根据单调性的定义结合已知即可证明；（2）赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化为.求解结合函数的单调性，即可得出答案.【详解】（1）在上单调递减，证明如下：令，由已知可得，，则.由已知可得，.，且，则，则，即，所以，在上单调递减.（2）令，由已知可得.又，不等式化为.由（1）知，在上单调递减，所以，.又，，所以，所以有，整理可得，，解得，所以，.所以，不等式的解集为.33．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立.(1)求证：函数在上为增函数.(2)若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明；（2）利用已知条件和函数单调性，转化为恒成立问题即可求解.【详解】（1）任取，且，因为，所以，故，因为，所以，又因为当时，，所以，所以，所以，即，所以在上为增函数.（2）当时，，解得，关于的不等式恒成立，等价于恒成立，因为，，所以，即恒成立.因为在上为增函数，所以，又因为在上单调递减，由题意可得，恒成立，即恒成立，令，因为，则，所以恒成立，等价于恒成立，令，则，因为函数对称轴为，所以函数在上单调递增，故，解得，所以实数的取值范围为.34．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.(1)判断并证明的单调性；(2)当时，求关于的不等式的解集.【答案】(1)减函数，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可.【详解】（1）令，解得，又当时，可判断为减函数，证明如下：，不妨设，依题意，即，因为，所以，所以，因此，即，所以为减函数.（2）原不等可化为即：因单调递减，故成立.即：当时，有，解为，当时，，解为，当时，，解为，综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.35．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）定义在区间上的函数，对任意，都有，且当时，.(1)求的值.(2)证明：为偶函数.(3)求解不等式.【答案】(1)(2)证明见解析(3)或.【分析】（1）赋值即可求解，（2）根据奇偶性的定义即可求解，（3）根据函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，可得，令，则.（2）由于定义域为，关于原点对称，令，可得为偶函数.（3）令，设，则且，由于，所以，在上单调递减，又为偶函数，则在上单调递增，由可得或或，故不等式的解集为或.36．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：函数在上是减函数；(3)若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明；（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明；（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【详解】（1）令，则有，令，则有，，是奇函数.（2）设则所以，因为，所以，即，则，又，所以，所以，所以，即，所以在上是减函数.（3）由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数，所以当时，函数的最小值为，所以恒成立，等价于：恒成立，即恒成立，设，是关于的一次函数，所以，即，则，则.37．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数对任意的x，，都有，且当时，，．(1)判断函数的奇偶性，并证明当时，；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；(3)设实数，求关于x的不等式的解集．【答案】(1)为奇函数，证明见解析；(2)函数在区间上为单调递增函数，证明见解析(3)【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式，即可求解.【详解】（1）为奇函数.证明如下：因为函数对任意的x，，都有，所以令，可得，代入，可得，所以为奇函数；所以，由奇函数的性质可知奇函数在定义域内是单调的，且当时，，所以当时，（2）函数在区间上为单调递增函数.证明如下：设，则，因为，且当时，，所以，所以当时，，所以函数在区间上为单调递增函数.（3）因为，设，所以因为，且函数在区间上为单调递增函数，所以不等式等价于，等价于，方程的根为，即，所以不等式的解集为.考点七解抽象不等式38．（2023上·河南周口·高一校考阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集.【详解】由题意，在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数，∴，函数在单调递减，∵，∴当和时，，故选：B.39．（2023上·贵州毕节·高一校考阶段练习）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，得到，结合函数的单调性，把不等式转化为，即可求解.【详解】因为为奇函数且在上单调递减，且，可得，则不等式，等价于，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.40．（2023上·广东佛山·高一统考期中）已知偶函数在上单调递减，.若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知：在上单调递增，且，结合偶函数性质分析求解.【详解】因为偶函数在上单调递减，则在上单调递增，对于不等式，且，即，可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.41．（2023上·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案.【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，，当时，.所以由可得：或或,解得或或，即或.所以满足的的取值范围是.故选：D.42．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（

）A．B． C．D．【答案】A【分析】首先根据题意可得或的解集，再分和两种情况求不等式的解集.【详解】由题意可知，当时，，当时，，当或时，，当时，，则，由已知可得，解得，又，所以；当时，，则，由已知可得或，解得或，又，所以.综上，可得不等式的解集为.故选：A43．（2024上·吉林辽源·高一辽源市实验高级中学校校联考期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先研究函数的单调性与对称性，结合函数零点作出图象，借助函数图象由符号法则解不等式.【详解】由题意，不妨设，则由可得，，，即当时，恒有成立，故在单调递减；的图象关于点对称，则是奇函数，所以在单调递减；由函数的定义域为，则，又，则，作出函数大致图象，不等式等价于或，①由方程，得，或或或，解得或或或.②由不等式可化为，或，即，或，解得，或，综上可知，，或.故选：C.44．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再结合函数是偶函数，化简不等式，，恒成立，再求参数的取值范围.【详解】由题意可知，当时，有，则函数在单调递增，因为函数是定义在上的偶函数，且若对任意实数，都有恒成立，则，即，化简为，整理为，恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围是.故选：C45．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意构造函数，可以证明它是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，由即可得解.【详解】因为是定义在R上的奇函数，令，则是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，由题意不妨设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，，，解得：，即关于的不等式的解集为.故选：B.考点八抽象函数的周期性问题46．（2023上·山东·高一校联考期中）设是定义域为的偶函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题干可知，函数为周期函数，则根据周期即可求出对应的函数值.【详解】解：因为是偶函数，且，所以所以所以又因为，且是偶函数，所以，故选：C.47．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）函数满足，且，则.【答案】/【分析】根据求出，函数的一个周期为4，进而得到，求出答案.【详解】，故，两式相除得，故的一个周期为4，故，中令得，，因为，所以，故.故答案为：.48．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知满足和，当时，，则.【答案】【分析】由周期性和奇偶性可求得函数值．【详解】由知函数是周期函数，且周期为4，所以，又，所以，当时，，得，故，故答案为：49．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已