专题04 周期性与对称性及应用12种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)含解析

专题04周期性与对称性及应用12种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)专题04周期性与对称性及应用12种常见考法归类考点一应用周期性求值考点二应用周期性求解析式考点三单个函数的周期性迭代考点四两个函数的周期性迭代考点五类周期函数考点六周期性与零点问题考点七判断或证明函数的对称性考点八由对称性求函数的解析式考点九由函数对称性求函数值或参数考点十由对称性研究单调性考点十一函数对称性的应用考点十二函数性质的综合一、函数的周期性函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；）(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。周期函数f(x)满足的条件周期f(x＋a)＝f(x－a)2af(x＋a)＝－f(x)2af(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2af(x＋a)＝eq\f(1,fx)2a关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|偶函数，关于直线x＝a对称2a关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|奇函数，关于对称关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|奇函数，关于直线x＝a对称4a4a3.周期性的应用（1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.（3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减).注：奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。二、函数的对称性1、函数自身的对称性(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。2、不同函数对称性(1)函数与的图像关于直线成轴对称。推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称(2)互为反函数的两个函数关于直线对称。三、内同表示周期性，内反表示对称性若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。考点一应用周期性求值1．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则．2．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若偶函数对任意都有，且当时，，则．3．（2023上·云南昆明·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则.4．（2023·山东日照·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．0 B． C． D．36．（2023上·广西梧州·高一校考期末）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（

）A． B． C． D．7．（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（

）A． B．2 C．0 D．20238．【多选】（2023上·湖北·高一湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且则（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．考点二应用周期性求解析式9．（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．

(1)求函数的最小正周期；(2)写出函数的解析式．10．（2023上·江苏·高一专题练习）设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝．11．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为．12．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．(1)证明：是周期函数．(2)若当时，，求当时，的解析式．13．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）若定义在上的奇函数满足，当时，．(1)求的值；(2)当时，求函数的表达式．14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．考点三单个函数的周期性迭代15．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．的图象关于点对称B．C．D．若，则16．（2023上·河北沧州·高一统考期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（

）A．0 B． C．3 D．417．（2023上·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）函的定义域为，且满足，若，则（

）A． B． C．2 D．118．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数的定义域为，且，，则.19．【多选】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知定义域为R的函数对任意实数x，y都有，且，，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是奇函数C．关于中心对称 D．考点四两个函数的周期性迭代20．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（

）A． B． C． D．21．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则．22．【多选】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（

）A．的周期为4 B．C． D．23．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则．考点五类周期函数24．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且，，则．25．（2024·全国·高三专题练习）定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是．考点六周期性与零点问题26．（2023下·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知对任意的，都有，当时，，而，则方程的实数解的个数为（

）A．10 B．9 C．8 D．727．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（

）A．10 B．15 C．20 D．2128．（2023上·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．29．（2023上·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为（

）A．16 B．32 C．36 D．4830．【多选】（2023上·四川达州·高一四川省宣汉中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，则下列结论正确的有（

）A．B．函数在区间上单调递增C．D．关于方程有8个实数解31．【多选】（2023上·四川凉山·高一校联考期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（

）A．的图象的一条对称轴是直线 B．的图象的一条对称轴是直线C．方程有3个解 D．32．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为考点七判断或证明函数的对称性33．【多选】（2023上·江西新余·高一校考期中）已知函数，则下列叙述正确的是（

）A．的值域为 B．在区间上单调递增C． D．若，则的最大值为34．（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数的定义域是B．函数是奇函数C．函数在区间上单调递减D．函数的图象关于直线对称35．【多选】（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知函数则下列结论正确的是(

)A．函数的值域为 B．函数为增函数C．函数的图象关于点对称 D．函数有且只有2个零点36．【多选】（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．时，C．D．函数有对称轴37．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）已知，且方程有两个相等的实根．(1)求函数图象的对称中心；(2)判断在区间上的单调性并证明．考点八由对称性求函数的解析式38．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（

）A． B． C． D．39．【多选】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．40．（2023上·安徽合肥·高一统考期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是．41．（2023下·江苏徐州·高二校考阶段练习）设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是.42．（2023下·四川自贡·高一统考期末）设，若函数与图像关于对称，则时，的最大值是（

）A．1 B． C． D．43．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数满足，当时，.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求实数的取值范围．44．（2023上·河南新乡·高一新乡市第一中学校联考阶段练习）已知函数和的图象关于原点对称，且.(1)求函数的解析式；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围.45．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）已知函数．(1)判断在上单调性并证明；(2)当时，，且，，求的解析式．46．（2023上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期中）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.(1)已知函数，求该函数图象的对称轴方程；(2)若函数的图象关于直线对称，且当时，.①求的解析式；②求不等式的解集.考点九由函数对称性求函数值或参数47．（2023上·河南·高三校联考期中）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．48．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）若函数，，，则；的值为.49．（2023·全国·模拟预测）已知函数．若为偶函数，，，，则（

）A． B． C． D．50．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．存在实数使得D．51．（2023上·河北·高一河北师范大学附属中学校联考阶段练习）已知的图象的对称中心为.(1)求；(2)若在区间上，的值域为，求.考点十由对称性研究单调性52．（2023上·北京昌平·高一北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是53．【多选】（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（

）A． B．C．在区间上单调递减 D．54．【多选】（2023下·海南海口·高三统考期中）已知函数的定义域为R，是偶函数，函数在上单调递增，则（

）A． B．在上单调递增C．若，则 D．若，则55．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（

）A．在区间上是增函数，且有最小值为B．在区间上是减函数，且有最大值为C．在区间上是增函数，且有最大值为D．在区间上是减函数，且有最小值为56．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，若，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．考点十一函数对称性的应用57．（2023上·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（

）A．1 B．3 C．6 D．958．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则．59．（2023上·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则.60．（2023上·福建莆田·高一莆田第五中学校考阶段练习）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为20，记．(1)求a的值，并证明：；(2)求的值．考点十二函数性质的综合61．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数的最小正周期为2，且.当时，，那么在区间上，函数的图象与函数的图象的交点个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．562．【多选】（2023上·重庆·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（

）A． B．C． D．若，则63．【多选】（2023上·广东江门·高一台山市第一中学校考期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．64．【多选】（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（

）A．是函数的一个对称中心 B．C． D．65．【多选】（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．D．66．【多选】（2023上·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）定义在上的函数满足，且.若，则下列说法正确的是（

）A．为的一个周期B．C．若，则D．在上单调递增67．【多选】（2023上·江苏徐州·高一校联考阶段练习）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．专题04周期性与对称性及应用12种常见考法归类考点一应用周期性求值考点二应用周期性求解析式考点三单个函数的周期性迭代考点四两个函数的周期性迭代考点五类周期函数考点六周期性与零点问题考点七判断或证明函数的对称性考点八由对称性求函数的解析式考点九由函数对称性求函数值或参数考点十由对称性研究单调性考点十一函数对称性的应用考点十二函数性质的综合一、函数的周期性函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；）(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。周期函数f(x)满足的条件周期f(x＋a)＝f(x－a)2af(x＋a)＝－f(x)2af(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2af(x＋a)＝eq\f(1,fx)2a关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|偶函数，关于直线x＝a对称2a关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|奇函数，关于对称关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|奇函数，关于直线x＝a对称4a4a3.周期性的应用（1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.（3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减).注：奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。二、函数的对称性1、函数自身的对称性(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。2、不同函数对称性(1)函数与的图像关于直线成轴对称。推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称(2)互为反函数的两个函数关于直线对称。三、内同表示周期性，内反表示对称性若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。考点一应用周期性求值1．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则．【答案】【分析】先由条件推得，再依次转化得到，从而得解.【详解】因为，所以，又当时，，所以.故答案为：.2．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若偶函数对任意都有，且当时，，则．【答案】/0.125【分析】由题设可得偶函数的周期为6，利用周期性求函数值即可.【详解】由题设，即偶函数的周期为6，所以.故答案为：3．（2023上·云南昆明·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则.【答案】0【分析】先求出当时，，然后结合函数奇偶性变形，再利用时的解析式计算即可.【详解】当时，，又函数是定义在上的偶函数所以.故答案为：0.4．（2023·山东日照·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合函数的奇偶性求值即得.【详解】定义在上的奇函数，由，得，则函数是以4为周期的周期函数，又当时，，所以.故选：D5．（2023上·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．0 B． C． D．3【答案】A【分析】根据在上的奇函数，且，得到的周期为4求解.【详解】解：因为在上的奇函数，且，所以，即，所以，则的周期为，所以，故选：A6．（2023上·广西梧州·高一校考期末）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【详解】因为，所以，所以是周期为的周期函数，所以．又因为是上的奇函数，所以，因为，所以，所以．故选：A．7．（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（

）A． B．2 C．0 D．2023【答案】C【分析】函数既关于原点对称又关于轴对称，则是周期为4的周期函数.将代入已知得到一个周期内的四个值，利用周期性求和.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以且.因为，所以所以所以是周期为4的周期函数.因为，所以在中令可得，在令可得，在令可得所以.故选：C8．【多选】（2023上·湖北·高一湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且则（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．【答案】ACD【分析】根据推得函数的周期性，再结合函数的奇偶性推得函数的图象关于点成中心对称，最后利用函数的相关性质求和即得.【详解】由可得：，所以，即，故选项A正确；又函数是定义在R上的奇函数，则，且，故,知函数的图象关于点成中心对称，则，故选项B错误；选项C正确；由上述分析，故，即选项D正确.故选：ACD.考点二应用周期性求解析式9．（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．

(1)求函数的最小正周期；(2)写出函数的解析式．【答案】(1)(2)，，.【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期；（2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式.【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为.（2）解：当时，设，则，即；当时，设，则，可得，即.故当时，，因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，，对任意的，当时，，则.因此，函数的解析式为，，.10．（2023上·江苏·高一专题练习）设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝．【答案】【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案.【详解】当时，，则，因为当时，，所以．因为是周期为2的奇函数，所以，故答案为：11．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为．【答案】/【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式.【详解】因为函数的周期为，当时，，且，当时，则，故当时，.故答案为：.12．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．(1)证明：是周期函数．(2)若当时，，求当时，的解析式．【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证；（2）当，则，且，即可得解.【详解】（1）由函数的图象关于直线对称，所以，即有，又函数是定义在上的偶函数，有，所以，即是周期为的周期函数；（2）当时，，又是周期为的周期函数，当，则，所以，所以，.13．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）若定义在上的奇函数满足，当时，．(1)求的值；(2)当时，求函数的表达式．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题可得，再结合条件可求；（2）由题可求当时，，再结合函数的周期性即求.【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足，∴，，∴，即函数是以为周期的周期函数，又时，∴，（2）∵当时，∴当时，，∴，∴当时，，∴.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.【详解】（1）证明：∵f(x)是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴（2）当时，由题意可设，由，得，∴，∴.（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，故当时，设，则，解得.故当时，.又在上是奇函数，故当时，.综上，则时，.因为时，.所以当时，，所以；当时，，所以，综上所述，.考点三单个函数的周期性迭代15．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．的图象关于点对称B．C．D．若，则【答案】ABD【分析】A选项，得到，得到函数的对称中心；B选项，由题意条件得到，故B正确；C选项，由B选项得到的周期为4，故，赋值法得到；D选项，赋值法得到，，，结合函数的周期得到答案.【详解】A选项，由题意知，，则，所以图象的对称中心为，A正确．B选项，，，两式相减得，所以，B正确．C选项，由B选项可得，的周期为4，又，故，令得，，得，所以C错误；D选项，因为，令得，，又，故，中，令得，，由，得，，又的周期为4，则，所以，D正确．故选：ABD【点睛】函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称，16．（2023上·河北沧州·高一统考期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（

）A．0 B． C．3 D．4【答案】B【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值.【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称，故又，，则，由，则，所以，故，所以，即，则，综上，是周期为16的奇函数，所以，而，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：根据题设得到是周期为16的奇函数为关键.17．（2023上·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）函的定义域为，且满足，若，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】根据，可得,，然后推出是周期为4的周期函数，且，进而求解结果.【详解】由，可知，，易得，所以，即，又，易得，又，则，所以是周期为4的周期函数，且，综上，,，所以.故选：A【点睛】本题根据函数的关系式推出函数的周期，求出一个周期的函数值，进而可以求解结果.18．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数的定义域为，且，，则.【答案】【分析】利用赋值法，结合周期性求得正确答案.【详解】依题意，，，令得，所以，则，，所以，所以是周期为的周期函数.令，则，，，，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性，利用函数的周期性求值.19．【多选】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知定义域为R的函数对任意实数x，y都有，且，，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是奇函数C．关于中心对称 D．【答案】AC【分析】令可得，即可判断选项A；根据奇函数的定义可判断选项B；利用对称性的定义，令，则有，即可判断选项C；利用函数的周期性即可判断选项D.【详解】对A，令可得，，因为，所以，A正确；对B，因为，所以不是奇函数，B错误；对C，令，则有，所以，所以关于中心对称，C正确；对D，令可得，，即，所以函数是偶函数，由关于中心对称，可得，，结合函数为偶函数，可得，，所以函数的周期为2，令，可得，，所以，所以，所以，所以，D错误；故选:AC.考点四两个函数的周期性迭代20．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，根据函数奇偶性可得的图象关于点中心对称、的图象关于点中心对称，进而可知是以4为周期的周期函数．求出，，，，结合周期即可求解.【详解】因为为奇函数，所以为奇函数，所以，的图象关于点中心对称，．因为为偶函数，所以，的图象关于直线对称．由，得，则，所以，所以的图象关于点中心对称．因为的图象关于轴对称，所以，，所以，即是以4为周期的周期函数．因为，，所以，，，，所以．故选：D．21．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则．【答案】0【分析】根据为奇函数，为偶函数可得函数为周期为4的周期函数，进而可得，利用周期性即可求解.【详解】为奇函数，为偶函数，，即，即为周期函数，且周期为4，，，，，，．故答案为：022．【多选】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（

）A．的周期为4 B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称；所以所以①，而②，将两式相加得：，则③，所以，所以是的一个周期，故A正确；对B、C、D：由A项知令，由③得，由①，得，由②得，则，所以，所以，故D正确；由①令，得，，由，，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，故B正确；由④令，得，所以，所以，故C错误；故选：ABD.【点睛】关键点睛：分别求出，的奇偶性及周期，从而求解.23．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则．【答案】2600【分析】对可得，，由题意分析可知的一个周期为4，关于点对称，关于直线对称，进而结合函数性质分析求解.【详解】因为，令，可得，令，可得，因为，所以，．因为，可知的图象关于点对称，又因为当时，，则在上单调递增，且，所以在上单调递增，且．因为，则的图象关于直线对称，所以在上单调递减，且，故在上的最大值为4，最小值为0．由得，则，所以，得，故的一个周期为4，且在处取得最小值0，在处取得最大值4，所以．故答案为：2600.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．考点五类周期函数24．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且，，则．【答案】512．【分析】根据得，由可依次递推得到.【详解】，，，，，，，，，．故答案为：512．25．（2024·全国·高三专题练习）定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是．【答案】【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.【详解】由题设知，当时，，故，同理：在上，，∴当时，.函数的图象，如下图示：在上，，解得或.由图象知：当时，.故答案为：.考点六周期性与零点问题26．（2023下·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知对任意的，都有，当时，，而，则方程的实数解的个数为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】确定函数的周期为2，在同一坐标系中，作出的图象，再画出的图象，观察得出交点个数，即为方程解的个数．【详解】对任意的，都有，所以函数的周期为2，又当时，，在同一坐标系中作出的图象，再画出的图象，观察可得交点个数为9，即方程的实数解的个数为9.故选：B.27．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（

）A．10 B．15 C．20 D．21【答案】D【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果.【详解】因为，令，得到，所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以函数的周期为，令，则，又当时，，所以，得到，故，又，所以在上的图像如图，又当时，由，得到，当，由，得到，即，又，所以，，，又由，得到，即，所以，再结合图像知，在上的零点个数为21个，故选：D.28．（2023上·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意分析函数的性质，将零点问题转化为两个函数交点的问题，数形结合，列式运算即可.【详解】因为，则函数关于直线对称，又因为函数是定义在上的奇函数，则，即，则，故函数是以为周期的周期函数，又因为和，即，故函数关于点对称，令，即求方程的解，原题等价于两个函数有3个交点，且的定义域为，如图所示，则可得，解得.故选：A.29．（2023上·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为（

）A．16 B．32 C．36 D．48【答案】B【分析】根据函数为奇函数及推理可得出函数的周期、对称中心，根据零点定义转化为方程解的关系，结合图象以及对称性即可求解.【详解】依题意函数为定义在上的奇函数，所以，又，所以函数关于轴对称，且，所以，即，所以，所以函数是周期为4的周期函数，且函数的图象关于中心对称；令，得，由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称，又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象，如图所示，由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称，所以函数在区间上所有零点之和为.故选：B30．【多选】（2023上·四川达州·高一四川省宣汉中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，则下列结论正确的有（

）A．B．函数在区间上单调递增C．D．关于方程有8个实数解【答案】ACD【分析】由已知易得奇函数的周期为2，结合已知区间解析式画出部分图象，判断A、B；应用周期性求判断C；令，将问题化为在上有4个解，数形结合判断函数交点个数判断D.【详解】由，即奇函数的周期为2，A对；且，，又，故，则的部分图象如下，

由图知：在区间上不单调，B错；，C对；对于D，令，则，故，问题化为在上有4个解，由，趋向1时，且，在上递减，在上递增，在上图象如上图，在上有4个交点，D对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D项，应用换元法，将问题化为在上有4个解，数形结合判断函数交点个数为关键.31．【多选】（2023上·四川凉山·高一校联考期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（

）A．的图象的一条对称轴是直线 B．的图象的一条对称轴是直线C．方程有3个解 D．【答案】AC【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确.由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误.则，所以，即有，所以是周期为的周期函数.当时，，画出、的大致图象如下图所示，由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点，则有3个解，C选项正确.，，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC

【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，由关于点对称，可以考虑函数具有周期性.32．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为【答案】【分析】由题意可知是周期为2的周期函数，作出函数图象，数形结合求解即可.【详解】因为，所以，即是周期为2的周期函数，又因为当时，，所以作出和的图象如下图所示，

由图象可知与在区间内共有个交点，所以函数在区间内共有个零点，故答案为：考点七判断或证明函数的对称性33．【多选】（2023上·江西新余·高一校考期中）已知函数，则下列叙述正确的是（

）A．的值域为 B．在区间上单调递增C． D．若，则的最大值为【答案】ACD【分析】由的图像可以得出的性质，即可判断选项.【详解】因为的图像如下图所示，由图像可知，的值域为，故A正确；在区间上单调递减，在区间上单调递减，故B错误；所以当时，，故D正确；由图像可知，的图像关于点对称，所以，故C正确.故选：ACD.34．（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数的定义域是B．函数是奇函数C．函数在区间上单调递减D．函数的图象关于直线对称【答案】D【分析】对于A：直接求定义域即可；对于B：通过举反例来判断；对于C：利用复合函数的单调性规则来判断；对于D：通过计算可得.【详解】对于A：由已知得，解得，即函数的定义域是，A错误；对于B：，其定义域为，又，则，故函数不是奇函数，B错误；对于C：，对于函数，其在上单调递减，则由复合函数的单调性规则可得在上单调递增，C错误；对于D：，即，故函数的图象关于直线对称，D正确.故选：D.35．【多选】（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知函数则下列结论正确的是(

)A．函数的值域为 B．函数为增函数C．函数的图象关于点对称 D．函数有且只有2个零点【答案】ACD【分析】通过解析式求出函数的值域判断A；定义法求函数单调性判断B；由判断C；数形结合示函数零点个数判断D．【详解】由，得，则，所以，故A正确；函数定义域为R，当时，，则，即，所以函数为减函数，故B错误；，所以函数的图象关于点对称，故C正确；函数为减函数，值域为且，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象有且只有2个交点，所以函数有且只有2个零点，故D正确；故选：ACD36．【多选】（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．时，C．D．函数有对称轴【答案】ACD【分析】根据函数的性质推导可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C、D.【详解】因为，所以，则，所以，故A正确；又当时，，则当时，，，故B不正确；由，可得函数的周期为6，可得，又函数是上的奇函数，则，所以，即，所以，故C正确；由A选项知，，又，则，所以函数有对称轴，故D正确.故选：ACD.37．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）已知，且方程有两个相等的实根．(1)求函数图象的对称中心；(2)判断在区间上的单调性并证明．【答案】(1)对称中心为(2)在区间上单调递增，证明见解析【分析】（1）利用方程有两个相等的实根求出可得，再由可得答案；（2）在区间上单调递增，利用单调性定义证明即可．【详解】（1）得有两个相等的实根，所以，解得，此时，，符合题意，所以，，所以函数图象的对称中心为；（2）在区间上单调递增，证明如下，由（1），设，，因为，所以，，所以，所以在区间上单调递增.考点八由对称性求函数的解析式38．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据关于原点对称的性质进行求解即可.【详解】函数的图象关于原点对称的是，故选：D39．【多选】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可.【详解】若的图象的对称轴方程为，则；对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，，即不恒成立，C错误；对于D，，D正确.故选：BD.40．（2023上·安徽合肥·高一统考期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是．【答案】【分析】依题意得到，再代入化简，进而即可得到的解析式．【详解】由是定义在R上的函数的对称轴，则，又当时，，则当时，即，则，所以的解析式是．故答案为：．41．（2023下·江苏徐州·高二校考阶段练习）设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是.【答案】【分析】设为上任意一点，然后求出点关于点的对称点，再将对称点的坐标代入化简可得答案.【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为点在的图象上，所以，解得，所以，故答案为：42．（2023下·四川自贡·高一统考期末）设，若函数与图像关于对称，则时，的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】先根据对称性求出的解析式，然后直接求解即可.【详解】因为函数与图像关于对称，所以，当时，，所以当，即时，取得最大值.故选：B.43．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数满足，当时，.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，所以，应用对称性求解析式；（2）结合对称性及单调性转化为即可求解.【详解】（1）因为函数满足，所以函数关于对称，当时，，所以，所以，所以．（2）由(1)可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增，不等式可化为，解得，所以实数的取值范围为44．（2023上·河南新乡·高一新乡市第一中学校联考阶段练习）已知函数和的图象关于原点对称，且.(1)求函数的解析式；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，即可求解；（2），分为，与三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可.【详解】（1）设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，所以，即，所以．（2），①当时，在上单调递减，满足题意；②当时，要使在上单调递减，由二次函数的性质可得，解得，所以；③当时，要使在上单调递减，由二次函数的性质可得，解得，所以．综上，实数的取值范围是．45．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）已知函数．(1)判断在上单调性并证明；(2)当时，，且，，求的解析式．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据单调性的定义证明，设，且，；（2）由转化为，设时，则，代入解析式，即可求解.【详解】（1）设，且，，，，则，即，所以在上单调递增.（2）当时，，由，，即，当时，则，则，则当时，，故函数的解析式为.46．（2023上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期中）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.(1)已知函数，求该函数图象的对称轴方程；(2)若函数的图象关于直线对称，且当时，.①求的解析式；②求不等式的解集.【答案】(1)(2)①；②.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义推导出函数为偶函数，即可得出结果；（2）①当时，可得出，即可得出函数的解析式；②分析函数在上的单调性，由，可得出，不等式两边平方，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）解：因为，因为，令，则该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，因此，函数图象的对称轴方程为.（2）解：①因为函数的图象关于直线对称，且当时，当时，，则，所以，.②当时，，因为函数、在上为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，则，不等式两边平方可得，即，解得，因此，不等式的解集为.考点九由函数对称性求函数值或参数47．（2023上·河南·高三校联考期中）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由函数定义域的对称性解得，再由特值法得的方程求解验证即可.【详解】由题意知，且，因为函数的图象关于直线对称，则是方程的根，故，解得，则.又由得，,解得.故，即，验证：函数的定义域为，且，且，故函数的图象关于直线对称，满足题意.则.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由题意得，从而利用对称轴得到，进而得到是方程的根，由此得解.48．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）若函数，，，则；的值为.【答案】2或20【分析】根据函数解析式可得，结合已知可得，再根据解得或2，列对数方程求参即可.【详解】因为，在定义域上任取x，则，所以，所以；由，即，解得或2，所以或，可得或100，所以n的值为2或20．故答案为：；2或2049．（2023·全国·模拟预测）已知函数．若为偶函数，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数对称轴可得，进而可知在上为增函数，令，利用导数可得，以及，进而分析得解.【详解】因为为偶函数，则，可知的对称轴为，又因为均只有一条对称轴，可知只有一条对称轴，则，可得，所以，当时，，因为在上为增函数，则在上为增函数，令，则，当时，，则在上单调递增，可得，即，则；由，可得，则；即，可得，所以．故选：A．【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数，对应的不等式为，以及变形的．此类不等式常用的有，，，，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．50．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．存在实数使得D．【答案】AC【分析】根据题意得，，从而结合各选项的要求和函数的性质逐项判断即可.【详解】函数图象上任意一点关于对称点为，所以，又可知.对于A：，即，故A正确；对于B：，即，故B错误；对于C：当时，，即，故C正确；对于D：由知，即，解得，故D错误.故选：AC.51．（2023上·河北·高一河北师范大学附属中学校联考阶段练习）已知的图象的对称中心为.(1)求；(2)若在区间上，的值域为，求.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）结合函数对称的性质计算即可得；（2）结合函数的单调性及定义域与值域的关系即可得.【详解】（1）由可知，定义域为，其图象对称中心为，故有，即，有，解得，，即，其图象对称中心为，检验计算得，故成立，即，；（2）当时，由、都随的增大而减小，故在上单调递减，又在区间上，值域也为，故有，即，且，解得，.考点十由对称性研究单调性52．（2023上·北京昌平·高一北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【分析】根据函数的单调性和奇偶性分别判断即可．【详解】解：，定义域是R，故是奇函数，而时，，对称轴是，故在上单调递减，在单调上递增，根据函数的对称性，得在上单调递增，在上单调递减．故选：C．53．【多选】（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（

）A． B．C．在区间上单调递减 D．【答案】AB【分析】由奇函数及，取，即可判断A，结合奇函数即可判断B，结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD.【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且，又图象关于对称，则，令，则，A正确；由，得，则，B正确为奇函数，时，单调递减，则其在单调递减，又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，即在区间上单调递增，C错误；则，则，则周期为4，则在的单调性与在的单调性相同，即在的单调递减，则，，则，D错误.故选：AB54．【多选】（2023下·海南海口·高三统考期中）已知函数的定义域为R，是偶函数，函数在上单调递增，则（

）A． B．在上单调递增C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】根据函数的奇偶性性质可判断A；判断为奇函数，可得的图像关于点对称，即可判断的单调性，判断B；由题意无法判断的单调性，可判断C；由前面分析推出，结合的单调性，可判断D.【详解】对于A，是偶函数，故，而对应的是，即为偶函数，A错误；对于B，是偶函数，等价于是偶函数，即，函数，则，即为奇函数，故的图像关于点对称，又函数在上单调递增，则在上也单调递增，B正确；对于C，由以上分析可知的图象关于直线对称，但无法判断的单调性，故由无法判断的大小关系，则也无法判断的大小关系，而的图像关于点对称，从而无法判断的大小关系，C错误；对于D，由于，故，且由以上分析可知在R上单调递增，故由可得，即，所以，即，D正确，故选：BD55．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（

）A．在区间上是增函数，且有最小值为B．在区间上是减函数，且有最大值为C．在区间上是增函数，且有最大值为D．在区间上是减函数，且有最小值为【答案】A【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可.【详解】因为为偶函数，所以①，且函数关于轴对称，又为奇函数，所以②，且函数关于中心对称，所以有，即的一个周期为，令代入②得，即，令代入①得，所以，解之得，所以，

如图所示，根据函数的对称性与周期性可知：关于轴对称，关于中心对称，可得在区间的图象，易知在区间上是增函数，且有最小值为，故A正确，B错误；在区间上是减函数，且有最大值为，最小值为，故C，D都不正确．故选：A56．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，若，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的中心对称性与单调性进行配凑化简即可.【详解】由题意定义域为，且满足，所以函数关于点中心对称，令，则.函数在区间上单调递增，由对称性知，函数在上递增.所以时，时若，当，则，此时.当，则，此时.所以A，B都错误；由，因为所以则所以故选：C考点十一函数对称性的应用57．（2023上·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】求出的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则关于点中心对称，从而求出答案.【详解】，且，由于，故的图象关于中心对称，又关于中心对称，且，不妨设，与的交点关于点中心对称，即，故.故选：B58．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则．【答案】48【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值.【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称，函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称，与的图象的8个交点，也两两关于点对称，则.故答案为：4859．（2023上·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则