北师大版数学八年级下册《直角三角形》教学课件

1.2直角三角形第1课时1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法．2.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．3.结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．4.在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲．学习目标重点难点准备好了吗？一起去探索吧！直角三角形复习回顾

直角三角形的性质：1.直角三角形的两个锐角互余；2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

a2+b2=c2B

C

A

bca30°

∠A+∠B=90°

直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？在直角三角形中，两个锐角的和等于90°探究，即这两个锐角互余.由三角形内角和定理，易得：两锐角的和=180°–90°=90°.如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？是直角三角形请你试着证明一下吧！已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.探究证明：在△ABC中，根据三角形内角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，又有∠A+∠B=90°，∴∠C=180°–90°=90°.∴△ABC是直角三角形.证明：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.B

C

A

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

勾股定理的各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则：a²b²

c²b²

c²-a²a²

c²-b²探究求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5思考

：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？探究

探究方法一：拼图计算方法二：割补法方法三：赵爽的弦图方法四：总统证法方法五：青朱出入图方法六：达·芬奇证明法

在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明这个结论吗？勾股定理证明的方法：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.探究△ABC≌△A′B′C′

？∠A是直角△ABC是直角三角形A

B

C

已知：如图，在△ABC中，满足AB2+AC2=BC2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为AB，AC的Rt△A′B′C′探究证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，则

A′B′2+

A′C′2=

B′C′2(勾股定理)∵

AB2+

AC2=

BC2，A′B′=AB，A′C′=AC，∴BC2=B′C′2.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等)

因此，△ABC是直角三角形.A

B

C

探究定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.ACBabca2+b2=c2

直角三角形作用：判断三角形是否为直角三角形.注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式.核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三

角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.议一议定理1

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.定理2如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，

那么这个三角形是直角三角形.前面我们学习了两个定理，分别为：ACBabca2+b2=c2议一议命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2条件结论问题1：两个命题的条件和结论分别是什么？问题2：两个命题的条件和结论有何联系？它们是条件和结论正好相反的两个命题.议一议再观察下面三组命题:如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.议一议命题与逆命题：等腰三角形有两个角相等.有两个角相等的三角形是等腰三角形.互逆命题想一想

你能写出命题“如果两个有理数相等，

那么它们的平方相等”的逆命题吗?想一想:一个命题是真命题，它的逆命题是真命题还是假命题?它们都是真命题吗?如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等.假命题一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如：勾股定理及其逆定理；

两直线平行，内错角相等；

内错角相等，两直线平行.你还能举出一些例子吗?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.想一想典型例题

例

若△ABC的三边a，b，c

满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC是否是直角三角形？解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a

+b2－8b+c2－10c+50=0a2－6a

+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0∴a=3，b=4，

c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.【分析】把所给的等式进行因式分解，分解后的每项因式整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.随堂练习1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠B=∠C-∠AB.a2=(b+c)(b-c)C.∠A：∠B：∠C=5：4：3D.a:b:c=5

:4:3C2.下列定理中，有逆定理的定理个数是（

）①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应角相等；④若a=b，则a2=b2.A.1个B.2个 C.3个 D.4个B随堂练习3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab=0，那么a=0，b=0.解：(1)四边形是多边形为真命题，逆命题：多边形是四边形，此逆命题为假命题；(2)两直线平行，同旁内角互补为真命题，逆命题：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；

(3)如果ab=0，那么a=0，b=0为假命题；逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0，此逆命题为真命题.随堂练习4.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长.【分析】由等腰三角形的判定可得AC=BC=3，由三角形的内角和定理可求得∠C=90°，再利用勾股定理计算可求解.CAB3解:∵∠A=∠B=45°，∴AC=BC=3，∠C=180°-45°-45°=90°，∴AB=随堂练习5.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的任意一点.

求证：BD2+AC2=CD2+AB2.证明:∵∠ACB=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2，∴BC2=AB2-AC2；又∵在Rt△BCD中.BC2=BD2-CD2，∴AB2-AC2=BD2-CD2.即

BD2+AC2=CD2+AB2.ACBD勾股定理的逆定理：直角三角形定理与逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.命题与逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.教科书

习题1.5第1、2题再见1.2直角三角形第2课时配套北师大版1.能够证明直角三角形全等的“HL”定理，能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形；2.利用“HL”定理解决实际问题；3.通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；4.进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力.学习目标重点难点准备好了吗？一起去探索吧！直角三角形复习回顾

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理：

勾股定理的逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.B

C

A

a2+b2=c2abc问题2：在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，欲证△ABC

≌△DEF，还需条件

或

或

.复习回顾问题1：三角形全等的公理及推论有哪些？判定公理:SSS，SAS,ASA；推论：AAS.∠B=∠E∠C=∠FAC=DFABCDEF探究不一定全等.已知两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢?做一做已知:线段a、c(a﹤c)，

直角α.求作：Rt△ABC,使∠C=∠α

，BC=a，AB=c.已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.caα你能画出这个三角形吗？

做一做作法：1.作∠MCN=∠α=90°；2.在射线CM上截取线段CB=a；3.以点B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线CN于点A；

4.连接AB，得到Rt△ABC.BAMCN已知:线段a、c(a﹤c)，

直角α.求作：Rt△ABC，

使∠C=∠α

，BC=a，AB=c.已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.

交流(1)你作的

△ABC是唯一的吗？(2)拿着你刚画好的直角三角形，和同桌的及小组内比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？

交流探索探究定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.前提条件1条件2你能证明它的正确性吗？探究证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2(勾股定理)

同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′∴△ABC

≌△A′B′C′(SSS).已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

AB=A′B′，AC=A′C′.求证：△ABC

≌△A′B′C′ACBA′C′B′【分析】根据勾股定理求出BC及B′C′，再根据SSS定理进行判定.

探究在Rt△ABC

与Rt△

DEF中

AC=DF

AB=DE

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEF“HL”仅适用直角三角形.几何语言：

探究判定两个直角三角形全等的方法：“边、边、边”或“SSS”“边、角、边”或“SAS”“角、边、角”或“ASA”“角、角、边”或“AAS”“斜边、直角边”或“HL”想一想：你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？直角三角形特殊判定方法典型例题

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系.

例

【分析】由图可得△BAC与△EDF均是直角三角形，由已知可根据HL定理判断两三角形全等.∠B的对应角是∠DEF，∠DEF是∠F的余角.典型例题

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜∠B和∠F的大小有什么关系.

例

解：根据题意，可知：∠BAC=

∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)，∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等)，∵∠DEF+∠F=90º，∴∠B+∠F=90°.随堂练习

1.判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角分别相等的两直角三角形全等；(2)斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.假命题真命题真命题真命题随堂练习2.如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是()A．HLB．ASAC．AASD．SASA3.如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝

．第2题第3题8随堂练习4.已知：如图，D是△ABC