计算机概论期中作业

1十算檄概期中作渠

姓名:弓;i硕庭

班级:数一甲

W：49831113

目金泰

第1章整数系统典浮黑占数..............................................3

第1^整数系统..................................................3

If算2的碗.................................................7

特别的数字..................................................8

其他^算2的神的方法......................................10

第2^浮黠数...................................................12

第2章数擘式.......................................................14

第lil定羲典定理...............................................14

第2矩障^算.................................................15

特殊矩障.......................................................15

反矩障.........................................................15

第3ffl高中考题.................................................19

第三章^^家傅^...................................................22

第1章整数系统舆浮黑占数

第1^整数系统

1.非负整数

2迤位：a“x2"++/x21+,0<ai<\fi<i<n

8迤位：W7

10®1i：0<«,.<9

16迤位：04%415

至於16迤位桂的10至15表法如下:

IO［。<->A16

1110-B16

1210CC16

1310D16

14一品16

IS〕。一66

2.不同迤位换算

2谨位&10迤位

7542

例：101101102=2+2+2+2+2'=128+32+16+4+2=182

例：55=32+16+4+2+1=2、+24+2?+21+2°=110111

2迤位&8迤位

8753

例：1101010112=2+2+2+2+2'+2°=(4+2)8+(4+1)8+(2+1)8=6538

276542

但“：3648=(2+1)8+(4+2)8'+(4)8°=2+2+2+2+2=111101002

2谨位&16迤位

2921

例：A06l6=(8+2)16+(0)16'+(4+2)16°=2"+2+2+2=1010000001102

2

1101101101102=(8+4+1)16+(8+2+1)16'+(4+2)16°

10875421

*=2"+2+2+2+2+2+2+2=DB6i6

整数系统

CPU含ALU

IHLogicVnit"暹算器”

J

ArithmeticVnit"加法器"

16位元重月^能虑理16bits整算

32位元重月普能虑理32bits整号^!算

溢位：正+正燮负,:ft+翼燮正

2的襁数（2*scomplement）是一槿用二迤位表示有虢

数的方法，也是一槿符数字的正负虢燮虢的方式，常

在1±篡榭遵中使用。在中阈大陛地展通常耦作僦8。

一彳固数字的2的祷数就是揩淙亥敷字作位元反相算

（即二型），再招结果加1，即^^数字的2的襁

数。在2的未甫数系统中，一彳固负数就是用其螯寸鹰正数

的2的祷数来表示。

2的祷数系统的最大侵黑占是可以在加法或减法虑理

中，不需因焉数字的正负而使用不同的tf算方式。只

要一槿加法雷路就可以虑理各槿有虢数加法，而且减

法可以用一偃I数加上另一彳固数的2的木甫数来表示，因

此只要有加法重路及2的祷数甯路即可完成各槿有虢

数加法及减法，在重路1殳!十上相常方便。

另外，2的祷数系统的0只有一他表示方式，造黑占和

一本甫数系统不同（在一未甫数系统中，0有二槿表示方

式），因此在判断数字是否篇0日寺，只较比封一彳固不

同的修件即可。

以下用4位元的2的本甫敷数字来^明2的木甫数系统的

数字表示方式。

・在表示正数和零畤，2的神数数字和一般二迤位

一檬，唯一的不同是在2的神数系统中，正数的

最高位元恒卷0,因此4位元的2的祷数正数，

最大数字卷

0111(7)o

・2的祷敷数字的负数，最高位元恒卷1,4位元2

的祷数的数字中，最接近0的负数悬1111(-1),

以此^推，因此^封值最大的负数是1000(-8)o

在n位元的2的全甫数加¥咸法中，忽略第n+1彳固位元

的作法在各槿有虢数加法下都遹用(不遇在判断是否

溢位(overflow)日寺，仍然曾用到第n+1彳固位元)。因此

在2的木甫数的系统，加法雷路就可以虑理有负数的加

法，不需另外虞理减法的甯路。而且，只要有重路负

责数字的燮虢(例如符1燮换焉-1)，也可以用加

法雷路来虑理减法。而数字的燮虢就用tf算数字的2

的祷数来完成。

在一般n位元的二迤位数字中，最高有效位元(MSB)

第n位元代表的数字篇。不遇，在n位元的2

的祷数系统中，最高有效位元(MSB)第n位元表示

符虢位元，若符虢位元焉0，数字焉正数或0，若符

虢位元篇1，数字舄翼数。

性正数最大是2，-1=127，:fc数的I6IB-1,……-128

算2的祷数

在^算二迤制数字的2的襁数畤，曹符数字迤行位元

反相建算,再聘结果加1,不考溢位位元(一般情

形，溢位位元曾悬0),就可以得到^数字的2的祷

数。

以下考感用有虢数8位元二迤位表示的数字5：

00000101(5)

其最高位元卷0,因卷此数字卷正数。若要用2的襁

数系统表示-5,首先要揩5的二暹位迤行反相建算

11燮悬0,01］：

11111010

目前的数字是数字5的，甫数,因此需要再加1,才

是2的襁数：

11111011(-5)

以上就是在2的襁数系统中-5的表示方式。其其最

高位元卷1,因卷此数字负数。

彳固负数的2的祷数就是其封jfi的正数。以-5卷例,

先求数字的一衲数：

00000100

再加一就是-5的2的衲数，也就是5o

00000101(5)

数字a(正负数皆可)的2的未甫数即卷-ao

若要言十算n位数2的衲数二暹位堂打8的十迤位，需要

知道每位数SLB的数字，除了最高位元外，其他位元

的堂打6数字均和一般二迤位相同，即第1位数表示数

字2^o但最高位元若卷1畤，其表示数字卷-2门，

因此若用此方式言十算00000101表示的数字，其余吉果

：

11111011(-5)=-128+64+32+16+8+0+2+1

二(一2人7+2A6+...)=-5

特别的数字

有二偃I数字的2的祷数等於本身：一低I是0,另一低I

^^位元可表示最大^望寸值负数（即1000...000）。

0的2的神数言十算方式（以8位元卷例）如下:先言十算

它的一祷数：

11111111

再揩一未甫数加一：

00000000,溢位位元二1

忽略溢位，其结果卷0（0是唯一言十算2的衲数谩程

中畲出现溢位的数字。）。因此0的2的木甫敷卷0o

而0x-1二0,因此其2的衲数仍满足「数字a的2

的衲数卷-aJ的原期J。

若言十算10000000（-128、8位元可表示最大余包封■值

的2的祷数：先言十算它的一主甫敷：

01111111

再加一就是它的2的衲数。

10000000

10000000(-128)的2的碘劝侑10000000(-128)。但

-128x-l=128,因此其2的祷数是以上规划的例外。

其例外原因卷因卷8位元的2的祷数数字靶圉卷

-128~127。128辗法以8位元的2的祷数数字表示。

在吉十算其他位数的最大^封值负数(即1000...000)畤,

也曾有类期以情形。

其他算2的衲数的方法

另一槿正式言十算一数字(此例中以N卷例)的2的衲数

N*的公式如下：

N*二2〃一N

其中N*是N的祷矍攵，而n是数字N用二暹位表

示日寺需要的位数。

以4位数二暹位的5卷例:

N（十暹位）二5,N（二迤位）二0101

〃二4

5的2的祷数言十算方式如下：

N*二2〃-N=[24]（ted0）-0101=10000（^2）-

0101=1011

以另一槿较曾军的方式，可以找出二暹位数字的2的

・先由最低位元始找。

・若^位元卷o,符2的祷数封鹰位元填o,

找下一位元（较高的位元）。

・若找到第一他卷1的位元卷0,揩2的祷数封鹰

位元填lo

.符其绘未醇换的位元暹行位元反相，揩结果填入

SLB的2的衲数。

第2fp浮黑占数

浮黠（浮黠数）是腐於有理数中某特定子集的数的数

字表示，在t十算械中用以近似表示任意某^。具

fg的^，道彳固数由一彳固整敷或定黑占数（即尾数）乘

以某彳固基数（tf算檄中通常是2）的整数次幕得到，

道槿表示方法似於基数篇10的科擘善己数法。

浮疆磔指浮黑占数参舆的^算，道槿^算通常伴随

著因篇辗法精碓表示而迤行的近似或舍入。

一彳固浮黑占数a由雨彳固数力和e来表示,•a二mx加。在

任意一彳固道檬的系统中，我彳邙1撵一彳固基数b

系统的基）和精度p（即使用多少位来存信者）。切（即

尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一彳固介

於0到b-1之^的整数，包括0和b-1）。如果m的第

一位是非0整数，力耦作正规化的。有一些描述使用

一彳固罩褐的符虢位（S代表+或者一）来表示正负，a

檬"必须是正的。e是指数。

道槿常殳言十可以在某彳固固定畏度的存储空^内表示定黑占

数瓢法表示的更大SEIS的数。

例如，一彳固指数靶摩I焉±4的4位十迤位浮黑占数可以用

来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足多句的精

度来表示432.123和43212.3（必须近似焉432.1和

43210）。富然，^除使用的位数通常速大於4。

此外，浮黑占数表示法通常遢包括一些特别的数值：+

s和-8（正负瓢鳄大）以及NaN（'NotaNumber'）。

辗鳄大用於数太大而瓢法表示的日寺候，NaN即指示非

法操作或者辗法定羲的结果。

10迤位含小数化成2谨位

Ex:符10.1251。化成2近位

1010=10102

0.12510如何化成0,用也…

0.125="x（l）'+%x（；）2+砥x（；）3+……

0.25=仇+%x（i）1+砥x（I）2+……

=4=0

浮黠数正规化

3

10.125]0=1010.0012n1.010001x2

指数是3

偏差指数是3+127=130

第2章数擘式

第1^定羲舆定理

三角函数和角公式

sin(4±8)=sinAcosB±sinBcosA

cos(A±B)=cosAcosB干sinAsinB

tanA±tan5

tan(A±B)=

1+tantanB

正弦定理

prATAR

3=冬=等=2R(R是外接［H半彳空)

sinAsinBsinC

绘弦定理

a2=b~+c2-2bccosA

b~=a1+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

AB=c,BC=a,AC=b

第2宜有矩障^算

1.雨matrices若同宽且同高理」可相加减-封18位置的元7

素相加减，羟生一他I舆原matrices相同大小的新

matrix.

2.Matrix典罩触的一伍I数字（耦卷scalar忽勘可以相乘，效果是每佃I元素一起放

大（或一起缩小），羟生一值I典原matrix相同大小的新matrix.

3.曾罩的matrix乘法：若列向量A=[xl,x2,...,xn]的寞度典行向量B=[yl;y2;...;yn]

的高度一-昆Rijpfimatrices可相乘:A*B=xl*x2+x2*y2+…+xn*yn.注意：用吉果

是一他1^^的数字!（一他1触量）（看圈比敕好言已）

4,一般的matrix乘法:A寞必须同B高才可算C=A*B,且东吉果C舆A同高，

典B同寞:.C的第i列第j行元素，卷A的第i列向量典B的第j行向量之

乘横C[i;j]=A[i;]*B[;j].

5.Sigma和Pi都是for退圈.不要害怕数阜符虢，它只是用来落忙做殿格荀E明的工

具；初孥者鹰多注意直竟解释.

6.符大小卷m*n的矩B电A沿著左上到右下的45度^翻傅谩来，所成的n*m矩附:

transposeofA（A的穗置矩阵）,言己卷人丁（但是•^了文字潮J霓器方便，本^

羲用rlab的言己法:A',sorry!）

特殊矩障

1.zeromatrix（0矩陲）：所有元素均卷0.0.通常把它的大小嘉成下檄，因卷

指定大小的0矩睡就只有那麽一倜.

2.diago"a/"3rix（封角方弹）：封角^之外的所有元素均0的方B电

3.identitymatrix（罩位方障）：封角^上所有元素均卷1的封角方K§2^I.通常把

它的大小嘉成下注襟，因卷指定大小的罩位方睡就只有那麽胭.在矩附:的世界中，

革位矩障扮演"1"造低I数字的角色.想想看，不^矩睡A的内容如何，A*I是多少?

I*A又是多少？（假^A的大小典I正好可相乘）

4.symmetricmatrix（封耦方障）：沿著左上到右下的45度^封耦的方弹.亦即满足A

=A'的方障.

反矩睡

1.注意:A*B典B*A通常不相等自己聚例!）；但偶豳相等，例如雨者皆卷

diagonalmatrices喻又例如A=[1,2;I,1];B=[-2,4;2,-2].

2.若A舆B皆卷n*n方睡且A*B=B*A=I,同廉ARB互inverse反矩

侬注意道(@定羲焉上带来雨f0冏题:(a)每偃I方阵都有反矩睡喝？(existence)(b)

一(|5|方障A可不可能典好黑flsr方障Bl,B2,B3,...同畤互卷反矩障？(uniqueness)

3.Q:反矩睡的角色像是数字世界的什麽？

4.告:(a)加非每倜方睡都有反矩睡.如果A具有反矩障，我^^A是

invertible或non-singular;若否,邱撤A是non-invertible或singular,(b)如果

A具有反矩障，即反矩障只有一佃I.所以我优可以放心大瞻地用"A的反矩睡”

it棣的言可麋，不用搪心曾有好矮郦蔺足定羲的B1,B2,B3,...同畤答"有”!(敷擘

家封於用罚是非常^慎的，通常在定羲之彳交焉上就剖•^一(0相^的同可不可以用.)

A的反矩弹言已卷A。(但是卷了文字濯]霓器方便，本^羲嘉成inv(A)sorry!)

5.卷什麽要定羲造些奇怪(但她不困英阶的束西？它^我AT可以把很哪嗦(但加不

困辘)的方程^用很曾瀑的符虢表逢出央.

6.矩障相加减：

其中-；•=£6如=(。.,如，…4>幽・九.….如)

1-1

上式中最彳麦结果表雨向量的黑占稹，其中&I篇A的第i列，

而色^%篇B的第j行'也就是'A-B的第(i,j)一元篇A

之第i列舆B之第j行的内稹。又4B常曾嘉篇上三。

例:若七;]，一[工]

fllJ…=产1+3<-1)2.2+301J-141

[(-2)1+1(-0(-2)2+10J[-3-4]

”=[32352」曾-25]

[(-02+0(-2)(-03+01J[-2-3]

ii：ABA

8.傅置矩障：

已知一矩睡A，我凭常常需要用到另一他I符A中之行舆列^^的矩

弹。道他I矩睡片被耦卷A的傅换矩睡（不是反矩睡）.聚例来言兑，若

312

A=r1

L854J

38

A='5]

L24」

而A1之樽换矩睡很明^的又是A了。

若矩障C是雨矩弹A和B之乘稹，刖C的樽换矩障畲等於A和B之穗换矩

It调换』反序彳笈之乘稹。也就是言兑，若

C=AB

JW

C=B'A'

x8W^reversalivle°

9.反矩障：1殳A篇一n睹方障

1.若B焉一矩睡使得（故B亦;gn隋方障）I（JB^A之反矩睡或

逆矩障。

2.若A有反矩睡，即A稠焉可逆（invertible）。

3.若一方障A是可逆，即其反矩睡;B唯一。

<pf>假C均之反矩际，RiJ

AB=BA=L……..(I)

AC=CA=I„……..(2)

故C=CL=C(AB)……..(1)

=(CA)B.……(结合律)

=InB

=B……..(2)

l±：A之反矩睡常以A」表之。

Ex：

0\-11

(a)A=，B=,R1]AB=BA=L。

10

故A、B互卷反矩障。

0O-

(b)A=是不可逆的

I3

若A可逆，即JA必有反矩网:，其反矩F电卷

B我3….咻狄加::]

但il不可解，因卷左谖AB的第（1,1）一元卷0,不等於L之第（I,1）一元。

故A是不可逆的。

gi：其^一佃I二醋方障很容易判断其是否可逆：

fab11d-b~\

若人=且ad-bcWO,知JA卷可逆，且A!-------

cdad-bc-ca\

言登明:

d

AA'=卜_卜-矶=」_小叶-矶=h

\cd人orf-Ac-ca\jedj-ca\)

第3fp高中考题

1.已知求a整数部份.

解

a=b"=>log10a="log10V7=”哨。7

已知V7=2.64,log1013=1.1139,log10ll=1.0414

log107=0.8451,log,05=0.6990,log103=0.4771,log102=0.3010

M[Jloga=；・2.64・0.8451=1.115n10g)14>loga>地常处以求得抽“〃

l0H101.1461)

那的整数部分向3.

2得殳—二1的五根篇1皿,g,g,明

求(3—a)x)(3—co2)(3—g)(3—co4)焉何

解：

言殳Rx)=X5-1=(X-1)(x-例)(x-g)(x-g)(X-g)

x

x=3带入,f(3)=243-1=242=2(x-co{)(x-g)(-X)(x.叫)

/、/、/、/、242

=>(x-例)(x-(o2)(x-g)(x-①J=~Y~=121

3.

黠0卷在正三角形PQR内部之一黠，区泉段OL、0M、

ON分别垂直於遏PQ、RQ、RP,L在PQ上，M在RQ

上，N在RP上。己知OL：OM：ON=1：2：3且LONP

面稹/PQR面稹=a/b,其中a、b卷互^的正整数,言青冏a、

b分别是多少？

解:假常殳遏晨篇12,高篇6百，面稹篇36省

故得至［J0L=43,0M=26,而=36

ilO重瓦〃砺交而於D,交而於E

AOLD=3，而=2,A0NE=迪，赤=6

22

瓦=2+6=8nAPDE=82x—=1673

4

LONP面稹=APDE-AOLD-AONEniB

LONP面稹/PQR面稹二呼

a=l1>b=36=>a+b=47

第三章数擘家傅善己

於J翰•卡豳・弗里德里希・高斯

高斯是一些寸普通夫嫦的兄子。他的母貌是一低I贫鳄石匠的女完，雎然

十分聪明，但谷用冬有接受遇教育，近似於文盲。在她成篇高斯父貌的

第二他I妻子之前，她徙事女彳庸工作。他的父貌曾做谩81丁，工，商

人的助手和一他小保陂公司的押估白币。富高斯三蕨畤便能多句制!正他父

貌的借债幔目的事情，已^成焉一他戳事流傅至今。他曾，他能多句

在月辍袋中迤行H雄的言十算，全拜上帝所赐。

高斯有一偃I很出名的故事:用很短的畤算出了小擘老白币布置的任

璐:整寸自然数优1至也00的求和。他所使用的方法是:封50封情造

成和101的数列求和(1+100,2+99，3+98……)，同日寺得到结果:

5050。造一年，高斯9蕨。

小畤候高斯家桂很鳄，且他父貌不等忍焉擘冏有何用，但高斯依蕾喜歉

看善，言舌^在小畤候，冬天吃完版接他父貌就曾要他上床睡受，以^

省燃油，但常他上床睡受日寺，他曾揩燕菁的内部挖空，桂面塞入棉布

卷，常成燎来使用，以畿乐鬣^^。

富高斯12蕨日寺，已始慎疑元素黑何^中的基磁^明。富他16威

日寺，^在欧氏黑何之外必然曾崖生一咒完全不同的黑何擘，即非欧

黑里德黑何擘。他醇出了二项式定理的一般形式，揩其成功的^用在

，她樊展了数擘分析的理^。

高斯的老白币Bruettner典他助手MartinBartels很早就言襦散到了高斯在

数擘上巽乎尊常的天赋，同日寺HerzogCarlWilhelmFerdinandvon

Braunschweig也封道彳固天才完童留下了深刻印象。於是他俨优高斯14

蕨起便资助其擘雪1舆生活。道也使高斯能多包在公元1792-1795年在

Carolinum擘院(今天Braunschweig阜院的前身)擘雪。18蕨日寺，高

斯傅入哥廷根大擘擘曾。在他19蕨日寺，第一他成功的用尺规横造出

了规划的17遏形。

高斯於公元1805年10月5日舆来自Braunschweig的JohannaElisabeth

Rosina05出(册小姐(