初二数学第18讲：分式方程(教师版)-张洪铭

第第十八讲分式方程1.分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法（1）去分母方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3）验根将整式方程的解代入到最简公分母，如果值为零，则为增根.若值不为零，则是原分式方程的解.1.掌握分式方程的解法2.掌握验根的步骤例1．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程=0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+=1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：分式方程的定义；分式方程的解；解分式方程；分式方程的增根．分析：根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．解答：解：①解分式方程不一定会产生增根；②方程=0的根为2，分母为0，所以是增根；③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．故选：A．点评：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．例2．关于x的方程=的根为x=2，则a应取值（）A．1B．3C．﹣2D．﹣3考点：分式方程的解．分析：根据关于x的方程=的根为x=2，把x=2代入方程，求出a的值，即可解答．解答：解：把x=2代入方程=得：，在方程两边同乘4（a﹣2）得：4（4a+3）=5（a﹣2），解得：a=﹣2，检验：当a=﹣2时，a﹣x≠0，故选：C．点评：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程．例3．解方程时，如果设y=x2﹣x，那么原方程可变形为关于y的整式方程是（）A．y2﹣2y﹣1=0B．y2﹣2y+1=0C．y2+2y+1=0D．y2+2y﹣1=0考点：换元法解分式方程．分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．可根据方程特点设y=x2﹣x，则原方程可化为y+2=，然后去分母、移项即可．解答：解：原方程可化为：y+2=，去分母得：y2+2y=1，移项得：y2+2y﹣1=0，故选D．点评：本题考查了用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．例4．分式方程=的解是（）A．x=1B．x=﹣1C．x=7D．x=﹣7考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x+4=3x﹣3，解得：x=7，经检验x=7是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．例5．将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（）A．x﹣2=2xB．x2﹣2x=2xC．x﹣2=xD．x=2x﹣4考点：解分式方程．专题：常规题型．分析：分式方程两边乘以最简公分母x（x﹣2）即可得到结果．解答：解：去分母得：x﹣2=2x，故选：A．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．例6．解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2考点：分式方程的增根．专题：计算题．分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得x﹣3=﹣m，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故选D．点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．A档1．分母中含有的方程，叫做分式方程．考点：分式方程的定义．分析：分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．解答：解：分母中含有字母的方程叫做分式方程．故答案是：未知数．点评：本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．2．（填“是”或“不是”）分式方程．考点：分式方程的定义．专题：探究型．分析：根据分式方程的定义进行解答即可．解答：解：∵方程=1中分母不含有未知数，∴此方程不是分式方程．故答案为：不是．点评：本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．3．下列方程：（1）=2；（2）=；（3）+=1（a，b为已知数）；（4）+=4．其中是分式方程的是．考点：分式方程的定义．分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．解答：解：（1）=2是分式方程；（2）=是整式方程；（3）+=1（a，b为已知数）是整式方程；（4）+=4是分式方程，故答案为：（1），（4）．点评：本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．4．在关于x的方程：①=+，②﹣=0，③ax2=+1，④=，⑤=，⑥+=中，是整式方程，是分式方程．考点：分式方程的定义．分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．解答：解：①=+，⑤=的分母中含未知数，是分式方程；②﹣=0，③ax2=+1，④=的分母中不含未知数，是整式方程；故答案是：①⑤；②③④．点评：本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．5．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有．考点：分式方程的定义．分析：根据分式方程的概念，直接得出结果即可．解答：解：分式方程有：③④⑤，故答案为3．点评：本题考查了分式方程的概念，分母中含有未知数的方程叫分式方程．B档6．当m时，方程=无解．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：按照一般步骤解方程，用含有m的式子表示x，因为无解，所以x是能使最简公分母为0的值，从而求出m．解答：解：原方程化为整式方程得，x﹣1=m因为无解即有增根，∴x﹣3=0，∴x=3，当x=3时，m=3﹣1=2．故答案为：=2点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．若分式方程的解为x=0，则a的值为．考点：分式方程的解．专题：压轴题．分析：根据方程的解的定义，把x=0代入方程即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．解答：解：把x=0代入方程得：=1，解得：a=5，故答案是：5．点评：解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后解答．8．关于x的方程无解，则a的值是．考点：分式方程的解．分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：解：方程去分母得：2a=（a﹣1）（x﹣1），整理得：（a﹣1）x=3a﹣1，当a﹣1=0，即a=1时，方程无解，当x﹣1=0时，即x=1，方程也无解，∴2a=（a﹣1）（1﹣1）解得：a=0故答案为：1或0．点评：本题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．9．方程的解是．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：观察方程可得最简公分母是：2（x+1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．解答：解：方程两边同乘以2（x+1），得2x=x+1，解得x=1．经检验：x=1是原方程的解．故答案为：x=1．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．10．方程：=1﹣的根是．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3﹣x=x﹣4+1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故答案为：x=3点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．C档11．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是．考点：换元法解分式方程．分析：方程各项具备倒数关系，设y=x2+2x，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程，然后去分母即可求解．解答：解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，去分母，得y2﹣3y+2=0．故答案是：y2﹣3y+2=0．点评：本题考查了换元法解分式方程．这是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．12．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是．考点：换元法解分式方程．分析：把t=代入方程，得出t+=3，整理成一般形式即可．解答：解：∵+=3，t=，∴t+=3，整理得：t2﹣3t+2=0，故答案为：t2﹣3t+2=0．点评：本题考查了用换元法解分式方程的应用，解此题的关键是能正确换元，题目是一道比较典型的题目，难度不是很大．13．若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为．考点：分式方程的增根．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解答：解：方程两边都乘x﹣3，得x﹣2（x﹣3）=m∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，m=3故m的值是3．故答案为：3．点评：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．若方程有增根，则k的值为．考点：分式方程的增根．分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣2），得k﹣3x=0，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）=0，解得x=2，∴k=6．故答案为6．点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15．若关于未知数x的分式方程+3=有增根，则a的值为．考点：分式方程的增根．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．解答：解：分式方程去分母得：a+3x﹣6=﹣x﹣1，解得：x=，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，∴=2，解得：a=﹣3，故答案为：﹣3．点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．1．方程叫做分式方程．考点：分式方程的定义．分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，即可得出答案．解答：解：分母中含有未知数方程叫做分式方程；故答案为：分母中含有未知数．点评：此题考查了分式方程的定义，分母里含有字母的方程叫做分式方程．2．若方程的解是最小的正整数，则a的值为．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：根据已知方程的解为最小的正整数1，将x=1代入方程即可求出a的值．解答：解：根据题意将x=1代入方程得：=﹣1，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．3．分式方程的解为．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x﹣1），得2=x﹣1，解得x=3．检验：把x=3代入（x﹣1）=2≠0．∴原方程的解为：x=3．故答案为：x=3．点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．4．用换元法解方程2x2+6x﹣=13，若设x2+3x=y，则原方程可化为关于y的整式方程为．考点：换元法解分式方程．专题：换元法．分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，关键是明确方程各部分与所设y的关系，把分式方程转化为整式方程即可．解答：解：∵2x2+6x=2（x2+3x），∴分式方程可变为2（x2+3x）﹣=13．用y代替x2+3x，得2y﹣=13，两边都乘以y并移项，得2y2﹣13y﹣20=0．点评：用换元法解分式方程，能够使方程简单，因此应根据方程特点选择合适的方法．5．若关于x的方程=0有增根，则a的值是．考点：分式方程的增根．分析：分式方程去分母转化为整式方程，解得x=8，根据分式方程有增根得到x﹣a2=0，求出x=a2，即a2=8求出a的值．解答：解：分式方程去分母得：x﹣8=0，x=8由分式方程有增根得到x﹣a2=0，即a2=8，a=，故答案为：．点评：此题考查了分式方程的增根，注意在任何时候都要考虑分母不为0．1．若分式方程：2+=无解，则k=．考点：分式方程的解．分析：分为两种情况①当x=2时，代入方程2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1得出1﹣2k=﹣1，求出即可；②当x≠2时，得出2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，化成（2﹣k）x=2，得出2﹣k=0时，方程无解，求出即可．解答：解：去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，分为两种情况：①当x=2时，代入方程2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，1﹣2k=﹣1，解得：k=1；②当x≠2时，2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，2x﹣4+1﹣kx=﹣1，（2﹣k）x=2，当2﹣k=0时，方程无解，即k=2；故答案为：1或2．点评：本题考查了分式方程的解得应用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．2．当m=时，方程=2的根为．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：根据方程的根的定义，把x=代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有m的新方程，解此新方程可以求得m的值．解答：解：把x=代入原方程，得，解得m=3．点评：解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．由已知解代入原方程列出新的方程，然后解答．3．方程=的根x=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4．方程﹣=0的解为x=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1=0，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．用换元法解方程时，如果设，那么