模拟卷（三）（解析版）-2022年高考数学一轮复习验收综合模拟卷（新高考专版）

2022年高考数学一轮复习验收综合模拟卷（三）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.若复数z满足z+（2-4i）=3,贝!!Z的虚部是（）

A.-4iC.-4

【答案】D

【详解】

因为z+（2—4i）=3,故z=l+4i,故z的虚部4,

故选：D.

2.已知集合4=卜卜=2",xeR},8={尤}=怆（2-1）},则4口3=（）

A.（0,2]B.（-00,2]C.（ro,2）D.（0,2）

【答案】D

【详解】

因为集合A={y|y=2*,xe??|,所以A={.y|y>。},

因为B=k|y=lg（2-x）},所以令2—x>0得xv2,所以5={x|x<2}.

所以4口3=（0,2）.

故选:D

3.已知AABC为等腰直角三角形，ABVAC,其面积为1.以AB为轴，则将A4BC旋转一周形成的几何

体的体积为（）

兀

A.—B.4

2近兀

【答案】C

【详解】

解：因为AA3C为等腰直角三角形，AB1AC,其面积为1,

所以gAB-AC=l,RAB=AC,解得A8=AC=0，

以AB为轴，则将AA3C旋转一周形成的几何体为圆锥，此圆锥的底面半径为AC=&,高为AB=母,

所以圆锥的体积为g乃x（0『xj^=半乃，

故选：C

4.同时具有性质:①最小正同期是"；②图象关于直线x=?对称的函数是（）

A.y=sin（~+~）B.y=sin（2x+^）

C.y=cos（2x--）D.y=sin（2x--）

66

【答案】D

【详解】

丁2n2nA

函数产sin、+总的周期为：7=1=丁=4,故排除A；

对于A,T=九,.

2

27r1

对于B,丁=%，将x=3代入y=sin(2x+1)得,y=sin(?+B)=不符题意，故排除B；

36362

不符题意，

对于C,7=乃，将X=g代入y=cos(2x-£)得,y=cos（4-g）=o,故排除C；

3636

将X=g代入y=sin(2x-2)得:y=sin^2x1-1^i,此时y取得最大值，所以直线x=g

对于D,T=7Ty

是函数丫=呵2工-菅）一条对称轴.

故选：D.

5.已知点尸是抛物线C：V=4x上一点，点尸为抛物线C的焦点，点M（2,l）,则的周长的最小值

为（）

A.3B.1C.72+1D.&+3

【答案】D

【详解】

如下图所示，由题意可判断“（2,1）在抛物线内部，且易得点尸（1,0）,准线方程x=-l.

根据两点间距离公式得|MP|=应，根据抛物线性质得

\PM\+\PF\+\MF\=\PM\+\PN\+y/2>\MN\+^=3+y/2,当且仅当::点共线时等号成立，故△尸可尸

的周长的最小值为0+3.

6.已知。是第四象限角，为其终边上一点,且si“Y〃7，则喘怒的值（）

44

A.0B.-C.-D.5

53

【答案】D

【详解】

由条件可知r=Jl+“2,T?7<0,所以sin〃=V^==9"?,

解得：m=-2,

所以tan，=〃z=-2,

2sin6-cos，2tan^-l.

------------=---------=5.

sin8+cos。tan+1

故选：D

7.己知函数f(x)=x3+or+6,其中。，beR,则下列选项中的条件使得/(x)仅有一个零点的有()

A.a<b,/(x)为奇函数B.a=ln(/?2+1)

C.a=-3,b2-4>0D.a=-l,b=-

3

【答案】B

【详解】

解：f'M=3x2+a,

对于A由/(x)是奇函数,知6=0,

因为。<0,取〃=-3

令ra)=o,得用=-1,%2=i,

当xe(Y0,—1)时，r(x)>0,/(X)单调递增，

当xe(-l,1)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

当xe(l,+8)时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

/(x)的极大值为/(-1)=2>0,极小值为/(1)=-2<0,

当Xf-8时，/(x)->T0,当Xf—8时，f(x)->+CO,

则/(X)有三个零点，故A错误；

对于B因为所以4..0,

所以f(x)单调递增，当Xf-8时，/(x)f-00,当Xf+oo时，/(X)->+00,

则fM仅有一个零点，故B正确；

对于C：若b=2,f\x)=3x2-3,

则〃x)的极大值为)(-1)=4,极小值为/(1)=0,

当x->-8时，/(X)->-00,当Xf+oo时，/(X)->+00,

此时"X)有两个零点，故C错误；

对于D：f（x）=x3—x+—,

r（x）=3x2-i,

令r（x）=o,得玉=-[,%=¥，

当*6（_8,一去）时，f'（X）＞0,/（x）单调递增，

当XW（一乌立）时，r（x）＜0,/（X）单调递减,

当XW吟,+8）时，f'（x）＞o,/（X）单调递增，

/（x）的极大值为f（_夸）=挈+；＞0,极小值为/（4）=-苧+g＜0,

当Xf-8时，/（x）f-OO,当Xf+oo时，/（x）f+CO,

所以f（x）有三个零点，故D错误.

故选：B.

8.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了

极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切

于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为

A（3-2夜）兀R兀「（3-272）7：n乃

2648

【答案】A

【详解】

山图像对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆的面积

设：OB=r,则OC=AB=r,OA=y/2r

;.AC=（应+l）r=>A£>=（2应+2）r

正方形面积S=gx（2&+2）rx（2a+2）r=（6+4©/

阴影部分面积5'=/。长=万产

(3-2

S1=/

所求概率「=

S(6+4码产2

本题正确选项：A

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.有一组样本数据占，X,，…，x”,由这组数据得到新样本数据%,%，…，y“，其中%=%+C（i=11,

2，…，n）,c为非零常数，则下列说法塔考的是（）

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本众数不同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】AB

【详解】

设样本数据占，匕，“的样本平均数为亍，样本众数为加，样本标准差为

x3,x6,

根据平均数和标准差的性质可知，样本数据%,X，%，…，%的样本平均数为T+c，样本标准差为s，

根据众数的概念可知，样本数据为，X%的样本众数为机+C，

根据极差的概念可知两组样本数据的样本极差相同.

所以两组样本数据的标准差和极差相同，平均数和众数不同.

故选：AB

10.如图，在平行四边形ABCQ中，对角线AC与8。交于点。，则以下说法正确的有（）

A.恒有AC2+BO2=2（AB2+A。：!）成立

B.恒有福.而=|的而『成立

C.若。0=3,AC=\0,则通庇=-16

D.若配=（4,0）,丽=（—1,—2）,则|阿=回

【答案】AD

【详解】

AC=AB+AD<BD=AD-AB>

AC2=AB2+AD2+2ABAD>'BD=~AD+AB-2AB-T^D'

:.AC+AB=2^AB+ADy.-.AjEC^；

|的『一|而『=（丽+亚）•（丽一荷）=而.丽H而•而，..B错误;

.00=08=3,AO=OC=5,

AB-BC=（0B+0C）-（OC-OB^=OC-OB=25-9=^，:C错炭;

.•反-而=友+反=/=（5,2）,..=..D正确.

故选：AD.

11.已知直线/：奴+y-2=0与C：（x-iy+（y_a）2=4相交于48两点，若AABC为钝角三角形，则满足

条件的实数a的值可能是（）

A.B.1C.2D.4

【答案】AC

【详解】

由题意，圆C的圆心为（l,a）,半径为r=2,

由于AABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则0°<NC45<45°,

设圆心C到直线/的距离为d,则〃=疆1,

yja~+\

则0<sinZCAB=-=此）<—,

r^/77i2

且直线不经过圆心，即。+。-2X0,

整理可得"+<，解得2-6<。<2+,且awl.

a^l

所以“€（2-6,1）7（1,2+6）.

故选：AC.

12.如图，正方体ABCO-ABCR的棱长为2,尸为8C的中点，G为线段C。上的动点，Q为线段CG上

的动点，过点A,P,。的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是（）

A.对任意的点G,存在点。，使得AGLPQ

B.对任意的点G,存在点。，使得AG_L平面PG。

32

C.当CQ=1时，S与G。的交点R满足=；

D.当CQ=普时，AAPQ的外接圆的面积最小

【答案】ACD

【详解】

正方体4BCD-AMG。中，连接A28C，BG，如图，显然。CL平面BCC^,BCu平面BCC蜴，贝I]

DC1BQ,

由正方形得：而。平面。，于是得平面

5CGMB,C±BC1（CcgC=C,0cBeUA4CBG，A4CQ,

取CQ中点Q,而P是BC中点，则有PQ//BG，从而有PQJ■平面A4C。，当G是8上任意点时，AGu

平面Age。，必有AG，?Q,A正确；

当点G与点。重合时，连PD,显然4。与不垂直，否则，因AOLC。，必有平面46co，矛盾,

即AG/PG不垂直，无论。在线段CG上何处，此时AG与平面PG。都不垂直，B不正确；

当。。二]时，连接4P并延长交。C延长线于点E作直线EQ交GDi于R,则R在截面S内，如图，

1

2-12

CECP£^£2-=-

显然'而=1,则CE=AB=2,又=333-

~BPCE-CQ

2-

如图，令CQ=a,则有PQ=Jq2+l,AQ=JCQ2+Ac2=J/+8，而AP=6,

在A”Q中，由余弦定理得：cosZAPQ="：竽二^一二_广：,

2APAQB后不

则sin2ZAPQ=l-cos2ZAPQ=,设dPQ的外接圆为r,

5(。~+1)

A02_的_/+8(/+1)方+8)生

由正弦定理得：2'=嬴枭，即ZsinZPQ'.卫士―4(/+3=严2+7+3+半

5(/+1)5a+-

3636

>-[2(a2+-)—^-+—]=—,当且仅当。2+：=-^,即q=®时取

41575205fl2+45

Y55

因此，当且仅当时，AAP。的外接圆半径产取得最小值，AAP。的外接圆的面积万户也取最小值，

5

D正确.

故选：ACD

三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。)

22

13.已知双曲线C:二-乙=1(m>0)的渐近线方程为y=±@,写，&分别是C的左、右焦点，P为C右

4m

支上一点.若|尸耳|=〃1,则|尸闾=.

【答案】3

【详解】

由题意可得巫=应，解得加=8,且a=2

2

所以仍用=机一1=7,

又"，鸟分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点，

:.\PFt\-\PF2\=2a=4,

所以|P玛|=3.

故答案为：3

14.若函数〃x+3）是偶函数，且f（x）在（F,3］上单调递减,则满足〃2x+3）＜"x+6）的x的解集是

【答案】（-1,3）

【详解】

由〃x+3）是偶函数知f（x）关于x=3对称；

由〃x）在（F,3］上单调递减知：f（x）在［3,口）上单调递增.

由〃2x+3）＜〃x+6）知：|2x+3-3|＜|x+6-3|,

即4/＜（X+3）2,解得

故答案为：（-1,3）.

15.平面凸四边形ABCZ）中，ZA=60°,ZB=105°,A8="+应，AD=242,CD=t（f为常数），若满足

上述条件的平面凸四边形ABCD有且只有2个，则f的取值范围是.

【答案】（3,2港）

【详解】

解：如下图所示：

A

B

Br

在△A3。中：ZA=60°,AB=y/6+s/2.A£）=2&,由余弦定理得，

8。=荷+⑸+（2⑸-2x（Q®2后”6

Ar\RD2＞/22^3r—

由正弦定理得，即sinNA犷方,:.sinZABD=^t/.ZABD=45°,.\ZA£）B=75°,

smZABDsinZA—2

2

ZPBC=60°.

过点。作"_L8C,垂足为C,则DC=3.

作08关于。C的对称线段OBJ点9在BC上，则/3。？=60。，../42泗=135。＜180。.

二若满足条件的平面凸四边形ABC。有且只有2个，则f的取值范围是（3,26）.

故答案为：(3,2>/3).

16.已知函数/(x)=21nx,g(x)=ar2-x-^(a>0),若直线y=2x-b与函数y=〃x),y=g(x)的图象

均相切，则。的值为;若总存在直线与函数y=〃x),y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是

【答案】433

22

【详解】

22

zx=

Q/(x)=21nx.\/()一,设切点为(/，21nQ,则—=2/.x0=1.••切点为(l,0)/.0=2-&.\Z?=2,直线

xxo

11333

y=2x-Z?A(x)=ax2-x--(a>0)>^2x-2=ax2-x--,ax2-3x+-1=0/.A=9-4tzx^=0.\=

2i21

由上面可知切线方程为：>'-21nx0=_(x-x0)，代入g(x)=ax2_%_(〃>())得—x-2+21nx0=-x--,

%2再i乙

23

2

cix—(Id--)%+(—21nx0)=0

%2

2

A=(l+—)-4ax(1-21nxo)=O.­.a=.)'+.?~-,(%>0)

x022xj(3-41nxo)

令尸02年？、，(X。>°)，则y'=2yJ+.),=onX。=1

2x：(3-41nxo)x()(3-41nx())

当x0>l时y'>0,y单调递增，当0<%<1时y'<0,y单调递减，

(1+2)23

因此”

2xl2(3-41n1)2

所以23

2

33

故答案为：—，a-'7

22

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知数列｛q｝的前〃项和为5“，且4=1,。向=2S“+1,”eN*，在公差不为。的等差数列他,｝中a=4

且瓦,瓦,打成等比数列.

(1)求数列&｝,也｝的通项公式;

(2)记％=%,求匕｝的前〃项和，.

【答案】⑴a,=3"T,b„=2n.(2)7；=1-(1+3«)(1)".

【详解】

(1)由a.+i=2S“+l,可得:%=2S[+1=2%+1=3,

当〃N2,〃eN*时，由a,”尸2s.+1,可得a“=2S,i+l,两个等式相减，得：

“向-%=2%=〃用=3%,说明数列｛a,,｝从笫2起，是公比为3的等比数列，

因此有%=3-3"2=3"，q=l也适合，所以数列｛%｝的通项公式为：a“=3”",

设等差数列也｝的公差为d*0,

九成等比数列，

因为a,b2,4=4,

所以写=伪也=■82_s,_d)(2+2d)=>16=(4-d)(4+2d),

因为dwO,所以d=2,所以=8+5-2)-"=4+(〃-2>2=2〃，

即

a“=3"T,bn=2n.

(2)7；=2[1-(1)°+2.(?+3・6+・・・+〃•($""],

：♦4=2口•(gy+2《)2+3•+•••+〃•(?'],

两个等式相减得：=2[1+(?+(；y+(g)3+…,

=g[=]+(gy+(；)2+(；)'+n'(g)”

1----

3

=4=|一号+3喏)".

18.己知向量。=(sinx,cosx),h=(cosx,-cosx),设函数”》)=1(万+6).

(1)求/(x)的最小正周期，对称中心，对称轴；

(2)若函数g(x)=/(x)-Z,xe0,1,其中ZeR,试讨论函数g(x)的

零点个数.

【答案】(1)7=乃；对称中心：("+!，()］，AeZ；对称轴：》="+孚，keZ,(2)答案见详解.

【详解】

解：(1)函数/(X)/.(W+1)=(sinx，cosxMsinx+cosx,0)

•,1-cos2x1._V2._乃、1

=sin~x+sin^cosx=-----------+—sin2x=——sin(z2x-----)+—.

22242

/(X)的最小正周期：7=音=万，

1c冗1.__1,-rt/口k兀7C

由2x---=k7r,kjZ,解不于无=---1—

428

(k7T冗八

对称中心：I—+—I,keZ

।-7T.7C

由2x----k兀H—,keZ、

42

解得x=W+寿,

keZ,

28

k7U3冗,r

所以对称轴为x=—+—,keZ,

28

⑵丫=生叫4+3,但0申，所以2V小祥]

历.C乃、_L1rn五+1、

y=—Sin(2jc--)+-G[0,——],

函数g(x)=f(x)—2=^^sin(2x—?)+g—攵，X£[0,耳],其中G£R,

令g(%)=/(x)-k=sin(2x-?)+g一攵=0,「•sin(2x-?)+g=人

在同一坐标系中，作出>=也而(2%一马+工与丁=3如图,

242

当k<0或k>正以时，零点为0个；

2

当Ke[l,咛5时函数有两个零点，

当&=112巨或0,,左<1时，函数有一个零点.

2

19.电视传媒公司为了解某地区观众对"中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中

女性有55名.将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为"诗词迷"，已知"诗词迷"中有15名男性，"非

诗词迷”共有75名.

(1)根据已知条件完成下面的2x2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为"诗词迷”与性别

有关?

非诗词迷诗词迷合计

男

女

合计

（2）采用分层抽样的方式从“诗词迷"中任意选取5人进行问卷调查，若再从这5人中任意选取2人奖励诗

词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设4=k-乂，求J的分布列及

期望.

附：K"£；：c）（L）e+d），其中〃=-6+c+（

尸伴乂）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

4

【答案】（1）表格见解析，没有；（2）分布列见解析，=：

（2）根据题中数据及相关定义，计算分布列及期望即可.

【详解】

（1）在抽取的100人中，"非诗词迷”共有75名，则“诗词迷”有25名，又女性有55名，从而完成2x2列联

表如下所示.

非诗词迷诗词迷合计

男301545

女451055

合计7525100

将2x2列联表中的数据代入公式计算，得小吗黑黑”喈川3y

所以没有95%的把握认为是否为“诗词述”与性别有关：

（2）由题意采用分层抽样的方式从“诗词迷"中任意选取5人，则男性3名，女性2名，再抽取2人,

当x=2时，＞=0,当x=l,y=l,当x=0,y=2.

所以g的所有取值为o,2,

所以士=0)=警=|,pq=2)=c；Gy,

所求分布列为

02

32

P

5

3?4

所以E(/=0x1+2x；咚

20.如图所示，已知几何体EFG-A8CD,其中四边形A8CD,CDGF,ADGE均为正方形，且边长为1,点M

在边DG上.

(1)求证：BM_LEF；

(2)是否存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角为45。？若存在，确定点M的位置；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)证明见解析：(2)存在，点M位于。G上，且

【详解】

⑴证明因为四边形A8CD,CDGF,ADGE均为正方形，

所以GDJLDA,GD±DC,ADJLCD,

又DAcDC=D,所以GD_L平面A8CD.

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

贝IJ8(1,1,0),E(l,0,l)，F(0,l,l).

因为点M在边DG上，故可设M(0,0,仇0如1).

可得丽=(1,1，~t),EF=(-1,1,0),

所以耐•丽=1x(—1)+1x1+(—t)xO=O,

所以BMLEF.

⑵解：假设存在点使得直线M8与平面8EF所成的角为45。.

设平面8EF的法向量为”=(x,y,z),

因为而=(0,一1,1)，BF=(-1,O,1),

n-BE=0

所以

n•丽=0

_y+z=0,

所以

—x+z=0,

令z=l,得x=y=l,所以5=(1,1,1)为平面8EF的一个法向量,

所以cos(n,MB\=竺।=厂2丁,

因为直线MB与平面8EF所成的角为45°,

所以sin45。=cos,

所以7^^=*,解得t=-4±30.

X0<t<l,所以t=3忘一4.

所以存在点M(0,0,3播一4).

当点M位于DG上，且DM=3&-4时，直线M8与平面8EF所成的角为45。.

22

21.已知椭圆C：土+匕=1.

43

(1)求椭圆C的离心率和长轴长.

(2)已知直线丁="-2与椭圆C有两个不同的交点A,B,P为x轴上一点.是否存在实数&,使得△PAB

是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出％的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)e=g,长轴长为4;(2)4=1时，产停,0)；%=-1时，P,

【详解】

(1)由题意：a2=4.b2=3,所以a=2.

因为/=6+。2,所以02=1,c=l.

所以3=；•

所以椭圆C离心率为长轴长为方=4；

y=kx-2

（2）联立2消y整理得：（4&2+3）/-16履+4=0.

——+—=1

143

由A=256公-4（4公+3）*4>0,解得公>」.

4

设义占,乂）,8（孙%），则<+w=.J6-4

4Z+3x）%2=4H+3

设中点G（x°，X））,

8A-6

1y°=5-2=

则不二44k2+3奴2+3

故G（8A-6A

4k2+3,4k2+3）

假设存在人和点尸（，加0），使得△PAB是以尸为直角顶点的等腰直角三角形,

则PGJ_M,故怎。•原3=-1，

一6

所以寻解得碎蒜，故「（舄可

——=-------m

4r+3

TT

又因为/AP8=,所以⑸.方=