决战2021年中考数学复习知识点过关梳理练习：几何变换综合题（二）

决战2021年中考数学复习知识点过关梳理练习:

几何变换综合题(二)

1.观察猜想

(1)如图①，在Rt△42。中，NA4C=90°,AB=AC=3,点D与点A重合，点E

在边上，连接。4将线段OE绕点。顺时针旋转90°得到线段。式，连接BF,

BE与BF的位置关系是,BE+BF=;

探究证明

(2)在(1)中，如果将点。沿/夕方向移动，使力。=1,其余条件不变，如图②，

判断成与加'的位置关系，并求与瓦+与尸的值，请写出你的理由或计算过程；

拓展延伸

(3)如图③，在△/BC中，AJB=AC,"AC=a,点。在边A4的延长线上，BD=

n,连接DE,将线段DE绕着点。顺时针旋转，旋转角ZEDF=Q,连接BF,则BE+BF

的值是多少？请用含有%a的式子直接写出结论.

2.在Rta/B。中，/力CB=90°,C4=CB,点。是直线上的一点，连接。。，将

线段8绕点。逆时针旋转90°,得到线段CE,连接EB.

(1)操作发现

如图1,当点。在线段44上时，请你直接写出力B与BE的位置关系为;线段

BD、AB、班的数量关系为;

(2)猜想论证

当点。在直线48上运动时，如图2,是点。在射线53上，如图3,是点。在射线

员4上，请你写出这两种情况下，线段由、AB、的数量关系，并对图2的结论进行

证明；

(3)拓展延伸

若为3=5,BD=7,请你直接写出△力。后的面积.

3.如图，在中，AB=AC,/84。=90°,点。是边上的动点，连接

点。关于直线AD的对称点为点E,射线BE与射线AD交于点F.

(1)在图中，依题意补全图形；

(2)记NZMC=a(a<45°)，求//斯的大小；(用含a的式子表示)

(3)若△4CE是等边三角形，猜想E尸和的数量关系，并证明.

督■用图C

4.如图，两个等腰直角△AS。和△8七中，£ACB="CE=9G°.

(1)观察猜想如图1,点反在上，线段力£与由的数量关系是,位置关

系是.

(2)探究证明把△COE绕直角顶点。旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？

说明理由；

(3)拓展延伸：把△CDE绕点。在平面内自由旋转，若/C=BC=13,DE=1G,当

4E、。三点在直线上时，请直接写出的长.

5.在中，CA=CB,NACB=a.点尸是平面内不与点力,。重合的任意一点，连

接AP,将线段力尸绕点尸逆时针旋转a得到线段。尸，连接/1。，BD,CP.

(1)猜想观察：如图1,当a=60°时，器的值是,直线3。与直线CP相交

所成的较小角的度数是.

(2)类比探究：如图2,当a=90°时，请写出片的值及直线与直线”相交所

成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题：如图3,当a=90°时，若点E,P分别是C4,C步的中点，点P在

四的延长线上，P,D,C三点在同一直线上，/C与3。相交于点〃，DM=2-血,

求4P的长.

图2图3

6.［问题背景］如图1所示，在△/B。中，AB=BC,/力2。=9。°,点。为直线B。上

的一个动点（不与B、。重合），连结AD,将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90°,

使点/旋转到点回连结反C

［问题初探］如果点。在线段2。上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：

过点E作协'13。交直线于尸，如图2所示，通过证明,可推

证△CEW是三角形，从而求得/。。后=°.

［继续探究1如果点。在线段的延长线上运动，如图3所示，求出/。。后的度数.

［拓展延伸］连接迎，当点。在直线上运动时，若48=依，请直接写出诊的最小

值.

7.某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究:在△力BC

中，NA4c=90°,AB=AC,点。为直线上一动点（点。不与3,。重合），

以/。为腰作等腰直角三角形ZMR使NZMP=90°,连接。足

（1）观察猜想

如图1,当点。在线段上时，

①。尸与2。的位置关系为;

②CF,DC,4。之间的数量关系为（直接写出结论）；

（2）数学思考

如图2,当点。在线段。夕的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成

立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段8C的延长线上时，将尸沿线段。厂翻折，使点A与点E

重合，连接。后，若已知4。=笈。，AC=2®请求出线段。后的长.

8.在等腰和等腰△3EC中，£ADC="EC=9G°,BC<CD,将△BEC绕点

。逆时针旋转，连接力9，点。为线段的中点，连接。。，EO.

(1)如图1,当点3旋转到8边上时，请直接写出线段。。与EO的位置关系和数

量关系；

(2)如图2,当点B旋转到4。边上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证

明过程，若不成立，请说明理由；

(3)若4。=4,CD=2瓜在△BE。绕点。逆时针旋转的过程中，当N/CB=60°

时，请直接写出线段。。的长.

9.如图①，在△43。中，AE\_BC=^E,AE=BE,。是月后上的一点，且DE=CE,

连接80,CD.

(1)试判断8。与力。的位置关系和数量关系；(不用证明)

(2)如图②，若将△〃四绕点H旋转一定的角度后，试判断由与力。的位置关系和

数量关系是否发生变化，并说明理由；

(3)如图③，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变.

①试猜想助与工。的数量关系，并说明理由；

②你能求出助与“。所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如

果不能，请说明理由.

10.△力为等边三角形，/8=8,月。1BC于点。，石为线段力。上一点，/E=2近.以

为边在直线4?右侧构造等边三角形/所，连接N为CE的中点.

(1)如图1,EF与AC交于点G,连接NG,求线段"G的长；

(2)如图2,将△力班绕点力逆时针旋转，旋转角为a,“为线段£尸的中点，连接

DN,MN.当30°<a<120°时，猜想N。7VM的大小是否为定值，并证明你的结论；

(3)连接B7V,在△/防绕点/逆时针旋转过程中，当线段87V最大时，请直接写出

图1图2备用图

参考答案

1.解：(1)如图①中,

图①

ZEAF=ZBAC=9U°,

/.zBAF=zCAE,

•：AF=AE9AB=AC9

「•△期国△CL4H,

：,AABF=/_CyBF=CE,

\'AB=AC9Z.BAC=90°,

：.AABC=AC=45°,

/.ZFBE=ZABF+ZABC=90°,BC=BE+EC=BE+BF,

故答案为：BF]_BE,BC.

(2)如图②中，作DHIIAC交BC于H.

■：DH\\AC,

；.NBDH=2A=90°,△。即/是等腰直角三角形,

由（1）可知，BFA.BE,BF+BE=BH>

AB=AC=3,AD=1,

：.BD=DH=2,

；.BH=2血,

：.BF+BE=BH=2-s/2；

(3)如图③中，作。交6。的延长线于“，作ZW1BC于〃.

图③

\'ACHDH,

：・2ACB=/H,2BDH=£BAC=a,

•：AJ3=AC9

Z.ABC=Z.ACB

・•.ZDBH=ZH,

•・.DB=DH,

♦:乙EDF=/_BDH=a,

••・/BDF=ZHDE,

•:DF=DE,DB=DH,

：,4BD&AHDE,

:,BF=EH,

・•.BF+BE=EH+BE=BH,

，：DB=DH,DM1BH,

：.BM=MH,ZBDM=ZHDM,

a

・•.BM=MH=BD-sin—.

2

a

BF+BE=BH=2n*sin--.

2

2.解：（1）如图1中，

•：AACB=/_DCE=90°,

：./_ACD=/_BCE,

'：CA=CB,CD=CE,

:.XACI泾XBCE<SAS),

：.AD=BE,2CBE=ZA,

•••CA=CB,/y4cB=90°,

AA=ACBA=45°,

：.Z_CBE=A=45°,

.\Z.ABE=90°,

：.AB_LBE9

,；AB=A8BD,AD=BE,

,\AJB=BaBE,

故答案为/5_LgE,AB=BEh-BE.

(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD.

理由：/_ACB=ADCE=90°,

:‘乙ACD=/_BCE,

*/CA=CB,CD=CE,

：.l\ACD^l\BCE(SAS),

.\AD=BE,

\AD=AB+BD,AD=BE,

BE=AB+BD.

②如图3中，结论：BD=AB+BE.

理由：•・•ZACB="CE=90°,

:•乙ACD=/_BCE,

•：CA=CB,CD=CE,

:.XACD^XBCE(SAS)

:.AD=BE,

•：BD=AB+AD,AD=BE,

：.BD=AB+BE.

(3)如图2中，••・/6=5,BD=7,

：.BE=AD=5+7=12,

■：BEAD,

,S△小得・/j3=品12X12=72・

如图3中，5,BD=1,

：,BE=AD=BD-AB=7-5=2,

'：BEVAD,

，S△血x2X2=2•

3.解：(1)如图1所示；

(2)如图2,

连接力£,由题意可知，AEAD=Z.CAD=a,AC=AE,

：.ABAE=90°-2a,

-：AB=AC,

：.AB=AE,

：.ZABE=ZAEB,

••.ZABF=180°-ZBAE=45O+a；

(3)EF=yBC,

证明：如备用图，连接/旦CF,

由(2)可知，£AEB=£ABF=45°+a,

\'AB=ACy

AABC=45°,

ZCBF=a,

,•,点。关于直线的对称点为点E,

：./_ACF=/_AEF=\^0-a,

户=90°-a,

■：Z.CBF+BCF=9Q0,

•・・△4。尸是直角三角形.

•.・△/CE是等边三角形，

.1.a=30°.

ZC^F=30°

.•.EF=CF=yBC.

B_

F

A备用图

\'AC=CB,/_ACE=/_BCD,CE=CD,

:AACE^XBCD,

•,.AE=BD,ZEAC=ZCBD,

9：AEAC+/_AEC=9Q°,/_AEC=^BEH,

.\Z_BEH+AEBH=90°,

："EHB=9U°,BPAE\_BD,

故答紧为AE=BD,AELBD.

(2)结论：AE=BD,AEVBD.

理由：如图2中，延长AE交BD于H,交BC于O.

•・•NACB=ZECD=90°,

：./_ACE=/_BCD,

•.AC=CB,/_ACE=/_BCD,CE=CD,

:.△ACE^XBCD,

：.AE=BD,£EAC=Z.CBD,

•••/瓦4。+//。。=90°,2Aoe=£BOH,

：.ZBOH+/.OBH=90°,

；.£OHB=9G°,g[JAEVBD.

(3)①当射线在直线4。的上方时，作。用_40用

B

图3

•1•CE=CD,£ECD=9G°,CH工DE,

：.EH=DH,CH=--DE=5,

在RtZ\/C7/中，-：AC=13,CH=5,

-'-AH=\I132-52=12>

：.AD=AH+DH=12+5=17.

②当射线在直线的下方时时，作用H.

同法可得：AH=12,故AD=AH-DH=\2-S=7,

综上所述，满足条件的的值为17或7.

5.解：(1)如图1中，延长CP交助的延长线于E,设AB交EC于点O.

4

'B

E；-D

图1

•：APAD=ACAB=60Q,

・・.ZCAP=ZBAD,

\'CA=BA9PA=DAy

:.XCA3XBAD(SAS),

：.PC=BD,/_ACP=/_ABD,

♦：/_AOC=/_BOE,

,\Z.BEO=ACAO=60°,

.•P•D黑=1,线m与直线c尸相交所成的较小角的度数是60。，

ii-/

故答案为：1,60。.

(2)当a=90°时，瞿=如，直线与直线CP相交所成的较小角的度数为45°;

理由如下：

如图2,假设BD与相交于点M,与尸。交于点N,

图2

・•・线段/尸绕点尸逆时针旋转90°得到线段DP,

:.XPAD是等腰直角三角形，

：.AAPD=90°,NR4Z?=/an4=45°,

—cosZPAD=cos45°=-^-.

AD2

\-CA=CB9Z.ACB=90°,

：,^CAB=Z.PAD=45°,

—=cosZCL4B=cos45°=返，ZPAEh-ZCAD=ZCAB+ZCAD,

AB2

若=祭"AC="AB,

:.XPACSXDAB、

•PC=PA—/pcA=/DBA

"BDAD2*ZZ'

••・BDk匹r-

vzBMC=zBNC+Z.PCA=ZABD^/_BAC,2PCA=乙DBA,

・・・/团忆=/A4C=45°,即直线由与直线。尸相交所成的较小角的度数为45°.

(3)如图3,

•・,点E,尸分别是CA,8的中点，

：.EFIIAB,AE=EC,

；.NPEA=/BAC=45°.

■.P,D,。三点在同一直线上，N400=90°,

：.AAPC=9Q°,PE=AE=EC,

：.ZEPC=ZECP

■：ZEPC+ZECP=Z7^4=45°,ZDAC+ZECP=ZPDA=^°,

ZEPC=ZECP=ZDAC,

：.AD=DC.设AP=x,5liJPD=x,

在Rtaa4。中，由勾股定理得，/IP=VPA2+PD2=V2^

:.PC=PACD=(V2+1)x.

由(2)知黑=M，

1kz

；,BD=®PC=(2+V2)x.

,:/_ECP=(DAC,/_PCA=/_DBA.

：./_DAC=/_DBA,

又•・,2ADM=々BDA,

：.t\ADMs〉BDA,

即/加=。”•班，

BDAD

（北方2=（2-V2）（2+V2）X.

解得a=1,芍=0（不合题意，舍去），

：.AP=\.

6.解：［问题初探］

如图2,过点后作砂'18C交直线3。于",

；."FE=9G°=ZABD,

：.Z.EDF+Z.DEF=90°,

由旋转知，AD=DE,AADE=90°,

：.£ADB+£EDF=9G°,

ZADB=ZDEF,

：.IxABD^XDFE<AAS）,

：.BD=EF,DF=AB,

-：AB=BC,

:.BC=DF,

：.BD=CF,

:.EF=CF,

.•.△CE斤是等腰直角三角形，

：.£ECF=45°,

NZ?CH=135°,

故答案为：ADB,等腰直角，135;

［继续探究］

如图3,

过点E作EFLBCTF,

：ZDFE=90°=ZABD,

:.LEDF+£DEF=9G°,

由旋转知，AD=DE,/月。£=90°,

；.£ADB"EDF=9G°,

：.AADB=ADEF,

：./\ABD^/\DFE(A4S),

：.BD=EF,DF=AB,

•：AB=BC,

：.BC=DF,

：.BD=CF,

EF=CF,

AC反尸是等腰直角三角形，

.•./EC斤=45°,

:."CE=45°;

［拓展延伸］

如图4,

在△力^。中，/力30=90°,AB=BC=G

.•./力。6=45°

当点。在射线上时，

由［问题初探］知，N8CM=135°,

：./_ACM=ABCM-/_ACB=9D0,

当点。在线段CB的延长线上时，

由［继续探究］知，"CE=45。，

：.ZACN=ZACB+ZBCM=90a,

•••点E是过点。垂直于/C的直线上的点，

当BE］_MTV时，BE最小，

•:NBCE=45°,

：.ACBE=45°=ZBCE,

BE=CE,

BE最小=*BC=

即：BE的最小值为正.

等腰直角△40歹中，AD=AF,

•；“AC=ZDAF=9G°,

ZBAD=ZCAF,

在△DAB与4c中，

，AD=AF

<ZBAD=ZCAF,

AB=AC

:.△DAB^XFAC(&4S),

：.AB=/_ACF,

：.AACB+/_ACF=90a,BPBCLCF-,

②XDAB^XFAC,

：.CF=BD,

■：BC=BD^CD,

BC=CF+CD;

故答案为：垂直，BC=CF+CD,・

(2)C尸IB。成立；BC=CZ>CF不成立，结论：CD=CF+BC.理由如下:

•・.等腰直角尸中，AD=AF9

•・・NEAC=NDAF=90°,

・•.ZBAD=ZCAF,

在△ZMB与△耳4c中，

'AD二AF

,ZBAD=ZCAF,

AB=AC

:.XDAB^XFAC<SAS),

：./_ABD=/_ACF,

•・,NBAC=90°,AE=AC,

：,/_ACB=/_ABC=45°,

.・.//m=180°-45°=135°,

/.ZBCF=ZACF-ZACB=135°-45°=90°,

：.CFLBC.

•:CD=DB+BC,DB=CF,

CD=CF+BC.

(3)解：过力作月H1BC于H,过E作EM1BD于M,EN]_。尸于E,如图3所示:

•：ZBAC=90°,AB=AC=2五,

:.BC=®AB=4,AH=BH=CH=BC=2,

：.CD=—BC=\,

4

：.DH=CH+CD=3,

•.•四边形力。反尸是正方形，

：.AD=DE,ZADE=90°,

•••SCICF,EM]_BD,EN]_CF,

四边形是矩形，

：.NE=CM,EM=CN,

■：ZAHD=ZADE=ZEMD=90°,

ZADH+ZEDM=/_EDM+ZDEM=90°,

ZADH=ZDEM,

在〃与△OEM中，

，ZADH=ZDEM

,ZAHD=ZDME,

AD=DE

：.4ADH94DEMqAAS),

；.EM=DH=3,DM=AH=2,

：.CM=EM=3,

CE=2KM2=3V2.

8.解：(1)DOLEO,DO=EO-,

理由：当点B旋转到边上时，点后必在边力。上,

:，乙AEB=LCEB=9b°,

在RtZ\4BE中，点。是的中点，

：.OE=OA=^AB,

：.Z.BOE=2/_BAE,

在RtZ\4BO中，点。是的中点，

OD=OA=—AB,

2

：.ADOE=2ABAD,

OD=OE,

•・,等腰△4OG且/40。=90°,

/.ZZ?XC=45°,

:DOE=乙BOE+乙DOE=27_BAE+2(BAD=2(£BAE"DAE)=2/ZMC=

90°,

OD\_OE,・

(2)仍然成立，

理由：如图2,延长E。到点跖使得连接力跖DM,DE,

:。是的中点，

OA—OBy

•；Z_AOM=2BOE,

・・・4AOM4丛BOE(SAS),

：./_MAO=AEBO,MA=EB,

•••△4。。和4。6后是等腰三角形，/_ADC=Z.CEB=9G,

/.ZCAD=ZACD=ZEBC=ZBCE=45°,

•「NOB后=180°-EBC=135°,

：.AMAO=135°,

/.ZMAD=ZMAO-ZDAC=90°,

•/ZDCE=ZDCA+/_BCE=9GQ,

・•.ZMAD=ZDCE,

•:MA=EB,EB=EC,

.\MA=EC9

•：AD=DC,

:、XMAD^XECD,

：,MD=ED,乙ADM=/_CDE,

^CDE+Z.ADE=90°,

：.^ADM+AADE=90a,

：,^MDE=90°,

,：MO=EO,MD=DE,

AOD=yME,OD1ME,

vOE-^ME,

：.OD=OE,ODLOE\

(3)①当点夕在/C左侧时，如图3,

延长石。到点M,使得OM=OE,连接AM,DM,DE,

同(2)的方法得，△08匹△Q4”(S4S),

/.ZOBE=ZOAM9OM=OE,BE=AM,

•；BE=CE,

・・.AM=CE,

在四边形ASE8中，ZADC+ZDCE+ZJ3EC+ZOBE+ZBAD=540°,

••2ADC=2BEC=9。。,

：.^DCE=540°-90°-90°-ZOBE-£BAD=3600-ZOBE=360°-Z

OAM-ZBAD,

ZDAM^/_OAM+ABAD=360°,

/.ZZZ4M=360°-"AM-2BAD,

・・.ZDAM=ZDCE,

•:AD=CD,

；.4DAM”丛DCE(SAS),

:.DM=DE,/_ADM=/_CDE,

:"EDM=ZADM+ZADE=ZCDE+£ADE=ZADC=90°,

•・•OM=OE,

OD=OE=^ME,乙DOE=9G。,

在RtZ\3CE中，CE=^BC=2七

过点E作EHLDC交。。的延长线于H,

在RtZkCT/fi1中，NEC"=180°-/_ACD-/_ACB-/_BCE=\?>^a-45°-60°

-45°=30°,

：.EH=^CE=y/2,

根据勾股定理得，CH=MEH=41，

：.DH=CEH-CH=3加，

在Rt△。/如中，根据勾股定理得，DE=7EH2+DH2=2Vl4»

：.OD=^DE=25

②当点6在/。右侧时，如图4,

同①的方法得，OD=OE,"OE=90°,

连接。E,过点E作EH工CD于H,

在RtZ\E〃C中，NECH=3G°

：.EH=^CE=^

根据勾股定理得，CH=E，

:.DH=CD-CH=A

在Rt△。/拓:中，根据勾股定理得，DE=2版,

：.OD=返。E=2,

2

即：线段的长为2或2折.

图4C

图3

M

＜、

9.解：（1）结论：BD=AC,BDLAC.

理由：延长BD交AC于尸.

：.ZAEC=ZBED=9G°.

在△4EC和△BE。中，

'AE=BE

，ZAEC=ZBED,

EC=ED

：.^AEC^^BED,

：.AC=BD,ZCAE=ZEBD,

■：AAEC=90°,

NC+/G4E=90°,

；.£CBF+£C=9G°,

；.NBFC=9G°,

：.ACLBD.

(2)如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点,O,BD与AC交于■点F.

理由是：；NB£>1=NOEC=90°,ZBEA+ZAED=ZDEC+ZAED,：.ZBED

=LAEC,

在△BET?和△/EC中，

"BE=AE

>ZBED=ZAEC,

DE=EC

.•.△3£7格△4E'。，

：.BD=AC,^BDE=/.ACE,

•；NDEC=9G°,

:.±ACE+£EOC=9G°,

•••ZEOC=ZDOF,

：.ZBDE+ZDOF=90°,

.,.ZZ?FO=180°-90°=90°,

.-.BDLAC-,

(3)①如图3中，结论：BD=AC,

A

D

理由是：和△DEC是等边三角形，

：.AE=BE,DE=EC,/_EDC=/_DCE=^O°,