2024届北京市顺义区第九中学数学高一下期末经典模拟试题含解析

2024届北京市顺义区第九中学数学高一下期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，已知，则等于()A． B．C．或 D．或2．已知实数满足，则的最大值为（）A．8 B．2 C．4 D．63．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为A． B． C．32 D．4．不等式的解集是（）A． B．C． D．5．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是A． B． C． D．6．已知数列满足，则（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，令，若，则实数a的取值范围是A． B．C． D．8．已知函数，则A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）为偶函数C．f（x）的图象关于对称 D．为奇函数9．已知圆，过点作圆的最长弦和最短弦，则直线，的斜率之和为A． B． C．1 D．10．为了得到函数，(x∈R)的图象，只需将(x∈R)的图象上所有的点（）.A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．12．如果，，则的值为________（用分数形式表示）13．若直线的倾斜角为，则______.14．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______15．已知向量，，若，则实数__________.16．如图，在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，若，，为△外一点，，，则平面四边形面积的最大值为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知正项等比数列中，，，等差数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．已知向量，，其中为坐标原点.（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.19．已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．王某2017年12月31日向银行贷款元，银行贷款年利率为，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第年末还款后此人在银行的欠款额为元.（1）设每年的还款额为元，请用表示出；（2）求每年的还款额（精确到元）.21．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】在中，已知，由余弦定理，即，解得或，又，或，故选C.2、D【解题分析】

设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.【题目详解】设，，均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，点在圆上，设到直线的距离分别为，，，.【题目点拨】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.3、A【解题分析】

设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．【题目详解】如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，设球半径为，则由得，解得，∴球体积为．故选A．【题目点拨】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．4、D【解题分析】

把不等式，化简为不等式，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，不等式，可化为，即，解得或，所以不等式的解集为.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、D【解题分析】试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.考点：指数函数的性质.6、B【解题分析】

分别令，求得不等式，由此证得成立.【题目详解】当时，，当时，，当时，，所以，所以，故选B.【题目点拨】本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.7、D【解题分析】该程序的功能是计算并输出分段函数.当时，，解得；当时，，解得；当时，，无解.综上，，则实数a的取值范围是.故选D.8、C【解题分析】对于函数，它的最小正周期为=4π，故A选项错误；函数f（x）不满足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函数，故B选项错误；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的图象关于对称，C正确；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）为偶函数，故D选项错误，故选C．9、D【解题分析】

根据圆的几何性质可得最长弦是直径，最短弦和直径垂直，故可计算斜率，并求和.【题目详解】由题意得，直线经过点和圆的圆心弦长最长，则直线的斜率为，由题意可得直线与直线互相垂直时弦长最短，则直线的斜率为，故直线，的斜率之和为．【题目点拨】本题考查了两直线垂直的斜率关系，以及圆内部的几何性质，属于简单题型.10、D【解题分析】

根据函数的平移原则，即可得出结果.【题目详解】因为，，所以为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点向左平移个单位.故选D【题目点拨】本题主要考查三角函数的平移，熟记左加右减的原则即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、50【解题分析】由题意可得，=，填50.12、【解题分析】

先求出，可得，再代值计算即可.【题目详解】.故答案为：【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题.13、【解题分析】

首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.【题目详解】由题知直线方程为，所以直线的斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.14、【解题分析】由题意可得，解得．

∴等差数列的前三项为-1，1，1．

则1．

故答案为．15、【解题分析】

根据平面向量时，列方程求出的值．【题目详解】解：向量，，若，则，即，解得．故答案为：．【题目点拨】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．16、【解题分析】

根据题意和正弦定理，化简得，进而得到，在中，由余弦定理，求得，进而得到，，得出四边形的面积为，再结合三角函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，在中，因为，所以，可得,即，所以，所以，又因为，可得，所以，即,因为，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，又因为，所以四边形的面积为，当时，四边形的面积有最大值，最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）设正项等比数列的公比为q(q>0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由，求解等差数列的公差，则数列的前n项和可求．【题目详解】(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，由,得，则q=3.；(2)设等差数列的公差为d，由，得，∴d=3.∴数列的前n项和【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等比数列的通项公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18、（1）或；（2）或.【解题分析】

（1）按向量数量积的定义先求夹角余弦，再求得夹角；（2）不等式化为恒成立，令取1和－1代入解不等式组即可得．【题目详解】（1）由题意，，记向量与的夹角为，又，则，当时，，，当时，，．（2），由得，∵，∴，∴，解得或．【题目点拨】本题考查向量模与夹角，考查不等式恒成立问题，不等式中把作为一个整体，它是关于的一次不等式，因此要使它恒成立，只要取1和－1时均成立即可．19、（1）（2）【解题分析】

试题分析：（1）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式；（2）由题意推导出bn＝22n+1+1，由此利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和．详解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.①因为成等比数列，所以.②由①，②可得：.所以.（Ⅱ）由题意，设数列的前项和为，,，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列所以点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.20、(1)(2)12950元【解题分析】

（1）计算100000元到第二年年末的本利和，减去第一次还的元到第二年年末的本利和，再减去第二年年末还的元，可得；（2）根据100000元到第10年年末的本利和与每年还款元到第10年年末的本利和相等，得到关于的方程组，进而求得的值.【题目详解】(1)由题意得：.(2)因为所以，解得：.【题目点拨】本题以生活中的贷款问题为背景，考查利用等比数列知识解决问题，考查数学建模能力和运算求解能力，求解时要先读懂题意，并理解复利算法，是成功解决问题的关键.21、(1)男、女同学的人数分别为3人，1人；(2)；(3)第二位同学的实验更稳定，理由见解析【解题分析】

（1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概