2024届辽宁省沈阳市五校协作体数学高一第二学期期末监测试题含解析

2024届辽宁省沈阳市五校协作体数学高一第二学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列，若，则()A． B． C．4 D．2．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为（）A． B． C． D．3．直线与平行，则的值为()A． B．或 C．0 D．－2或04．直线x﹣y+2＝0与圆x2+（y﹣1）2＝4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定5．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（）A．① B．② C．③ D．④6．在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形7．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．8．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A． B． C． D．9．若，，那么在方向上的投影为（）A．2 B． C．1 D．10．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．把二进制数1111（2）化为十进制数是______．12．已知数列满足:其中,若,则的取值范围是______.13．若,则____________.14．函数f（x）＝2cos（x）﹣1的对称轴为_____，最小值为_____．15．给出下列四个命题：①在中，若，则；②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；④设方程的解是，方程的解是，则.其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）16．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设等差数列的前项和为，已知，，；（1）求公差的取值范围；（2）判断与0的大小关系，并说明理由；（3）指出、、、中哪个最大，并说明理由；18．在凸四边形中，．（1）若，，，求的大小．（2）若，且，求四边形的面积．19．如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线与圆交于不同的两点（不在y轴上)．（1）若直线的斜率为3，求的长度；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；（3）设的中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．20．已知向量，不是共线向量，，，（1）判断，是否共线；（2）若，求的值21．已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

利用等比数列的通项公式求得公比，进而求得的值.【题目详解】∵，∴.故选：D.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.2、A【解题分析】

连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，FG∥BD，且FG=BD，所以EH∥FG，且EH=FG．所以四边形EFGH为平行四边形．因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2故答案为a2，故选A.考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题．点评：解决该试题的关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．3、A【解题分析】

若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【题目详解】若直线与平行,

则,

解得或,

又时,直线与表示同一条直线,

故,

故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.4、A【解题分析】

求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案．【题目详解】由题意，可得圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5、D【解题分析】

取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．【题目详解】解：取的中点，连接，，连接，，正方形和所在平面互相垂直，、分别是和的中点，可得，，平面，可得，故①正确；由为的中位线，可得，且平面，可得平面，故②③正确，④错误．故选：D．【题目点拨】本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．6、C【解题分析】

结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【题目详解】利用正弦定理得，化简得，即，则或，解得或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C【题目点拨】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题7、B【解题分析】

直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【题目详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【题目点拨】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.8、A【解题分析】

由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.【题目详解】因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则，所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），因为在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.设的内切圆的半径为，所以所以.所以.所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A【题目点拨】本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9、C【解题分析】

根据定义可知，在方向上的投影为，代入即可求解．【题目详解】，，那么在方向上的投影为．故选：C．【题目点拨】本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础试题．10、B【解题分析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】

由二进制数的定义可将化为十进制数.【题目详解】由二进制数的定义可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题.12、【解题分析】

令，逐步计算，即可得到本题答案.【题目详解】1.当时，因为，所以；2.当时，因为，所以；3.当时，①若，即，有，1）当，即，，由题，有，得，综上，无解；2）当，即，，由题，有，得，综上，无解；②若，，，1）当，即，，由题，有，得，综上，得；2）当，即，，由题，有，得，综上，得.所以，.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查由数列递推公式确定参数取值范围的问题，分类讨论思想是解决本题的关键.13、【解题分析】故答案为.14、﹣3【解题分析】

利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，求得结论．【题目详解】解：对于函数，令，求得，根据余弦函数的值域可得函数的最小值为，故答案为：；．【题目点拨】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，属于基础题．15、①③【解题分析】

①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断；②根据余弦函数的有界性可进行判断；③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性进行判断；④根据互为反函数图象的对称性进行判断.【题目详解】①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；③函数的是周期函数，当时，，该函数的周期为.当时，，该函数的周期为.所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；④设方程的解是，方程的解是，由，可得，由，可得，则可视为函数与直线交点的横坐标，可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：联立，得，可得点，由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，所以，命题④错误.故答案为：①③.【题目点拨】本题考查三角函数的周期、正弦函数单调性的应用、互为反函数图象的对称性的应用以及余弦函数有界性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、0【解题分析】

将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案.【题目详解】如图所示：将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为或故答案为0【题目点拨】本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析；【解题分析】

（1）由，，，得到不等式且，即可求解公差的取值范围；（2）由，，结合等差数列的性质和前项和公式，得到且，即可求解；（3）有（2）知，可得，数列为递减数列，即可求解.【题目详解】（1）由题意，等差数列的前项和为，且，，，可得，，即且，解得，即公差的取值范围是.（2）由，，可得且，即且，所以，所以.（3）有（2）知，可得，数列为递减数列，当时，，当时，，所以、、、中最大.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的前项和公式，等差数列的性质，以及等差数列的单调性的应用，其中解答熟记等差数列的前项和公式，等差数列的性质，合理利用数列的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、(1)；(2)【解题分析】

（1）在中利用余弦定理可求得，从而可知，求得；在中利用正弦定理求得结果；（2）在中利用余弦定理和可表示出；在中利用余弦定理可得，从而构造出关于的方程，结合和为锐角可求得；根据化简求值可得到结果.【题目详解】（1）连接在中，，，由余弦定理得：，则在中，由正弦定理得：，解得：（2）连接在中，由余弦定理得：又在中，由余弦定理得：，即又为锐角，则四边形面积：【题目点拨】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用；关键是能够利用余弦定理构造出关于角的正余弦值的方程，结合同角三角函数的平方关系构造方程可求得三角函数值；易错点是忽略角的范围，造成求解错误.19、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

（1）求出圆心O到直线的距离，已知半径通过勾股定理即可算出弦长的一半，即可算出弦长。（2）设，直线的方程为，联立圆的方程通过韦达定理化简即可。（3）设点，根据，得，表示出，的关系，再联立直线和圆的方程得到，与k的关系，代入可解出k，最后再通过有两个交点判断即可求出k值。【题目详解】（1）由直线的斜率为3，可得直线的方程为所以圆心到直线的距离为所以（2）直线的方程为，代入圆可得方程设，则所以为定值，定值为0（3）设点，由，可得：，即，化得：由（*）及直线的方程可得：，代入上式可得：，可化为：求得：又由（*）解得：所以不符合题意，所以不存在符合条件的直线.【题目点拨】此题考查圆锥曲线，一般采用设而不求通过韦达定理表示，将需要求解的量用斜率k表示，起到消元的作用，计算相对复杂，属于较难题目。20、（1）与不共线.（2）【解题分析】

（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.【题目详解】解：（1）若与共线，由题知为非零向量，则有，即，∴得到且，∴不存在，即与不平行.（2）∵，则