材料力学习题与答案

./材料力学-学习指导及习题答案第一章绪论1-1图示圆截面杆,两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用.试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量,并确定其大小.解：从横截面m-m将杆切开,横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx,即扭矩,其大小等于M.1-2如图所示,在杆件的斜截面m-m上,任一点A处的应力p=120MPa,其方位角θ=20°,试求该点处的正应力σ与切应力τ.解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°,故σ＝pcosα=120×cos10°=118.2MPaτ＝psinα=120×sin10°=20.8MPa

1-3图示矩形截面杆,横截面上的正应力沿截面高度线性分布,截面顶边各点处的正应力均为σmax=100MPa,底边各点处的正应力均为零.试问杆件横截面上存在何种内力分量,并确定其大小.图中之C点为截面形心.解：将横截面上的正应力向截面形心C简化,得一合力和一合力偶,其力即为轴力FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103N=200kN其力偶即为弯矩Mz=200×<50-33.33>×10-3=3.33kN·m

1-4板件的变形如图中虚线所示.试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变.解：第二章

轴向拉压应力

2-1试计算图示各杆的轴力,并指出其最大值.解：<a>FNAB=F, FNBC=0, FN,max=F<b>FNAB=F, FNBC=－F, FN,max=F<c>FNAB=－2kN, FN2BC=1kN, FNCD=3kN, FN,max=3kN<d>FNAB=1kN, FNBC=－1kN, FN,max=1kN

2-2图示阶梯形截面杆AC,承受轴向载荷F1=200kN与F2=100kN,AB段的直径d1=40mm.如欲使BC与AB段的正应力相同,试求BC段的直径.解：因BC与AB段的正应力相同,故2-3图示轴向受拉等截面杆,横截面面积A=500mm2,载荷F=50kN.试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力,以及杆内的最大正应力与最大切应力.解：2－4〔2-11图示桁架,由圆截面杆1与杆2组成,并在节点A承受载荷F=80kN作用.杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm,两杆的材料相同,屈服极限σs=320MPa,安全因数ns=2.0.试校核桁架的强度.解：由A点的平衡方程可求得1、2两杆的轴力分别为由此可见,桁架满足强度条件.

2－5〔2-14图示桁架,承受载荷F作用.试计算该载荷的许用值[F].设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为[σ].解：由C点的平衡条件由B点的平衡条件1杆轴力为最大,由其强度条件2－6〔2-17图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用.设拉杆的直径为d,端部墩头的直径为D,高度为h,试从强度方面考虑,建立三者间的合理比值.已知许用应力[σ]=120MPa,许用切应力[τ]=90MPa,许用挤压应力[σbs]=240MPa.解：由正应力强度条件由切应力强度条件由挤压强度条件式<1>：式<3>得式<1>：式<2>得故D：h：d=1.225：0.333：1

2－7〔2-18图示摇臂,承受载荷F1与F2作用.试确定轴销B的直径d.已知载荷F1=50kN,F2=35.4kN,许用切应力[τ]=100MPa,许用挤压应力[σbs]=240MPa.解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力FB三力作用,根据三力平衡汇交定理知FB的方向如图〔b所示.由平衡条件由切应力强度条件由挤压强度条件故轴销B的直径第三章轴向拉压变形3-1图示硬铝试样,厚度δ=2mm,试验段板宽b=20mm,标距l=70mm.在轴向拉F=6kN的作用下,测得试验段伸长Δl=0.15mm,板宽缩短Δb=0.014mm.试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ.解：由胡克定律

3-2<3-5>图示桁架,在节点A处承受载荷F作用.从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4.试确定载荷F及其方位角θ之值.已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2,弹性模量E1=E2=200GPa.解：杆1与杆2的轴力〔拉力分别为由A点的平衡条件<1>2+<2>2并开根,便得式<1>：式<2>得3-3<3-6>图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用.试计算板的轴向变形.已知板的厚度为δ,长为l,左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E.解：

3-4<3-11>图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持.设钢丝绳的轴向刚度〔即产生单位轴向变形所需之力为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移.解：设钢丝绳的拉力为T,则由横梁AB的平衡条件钢丝绳伸长量由图〔b可以看出,C点铅垂位移为Δl/3,D点铅垂位移为2Δl/3,则B点铅垂位移为Δl,即3-5<3-12>试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移.设各杆各截面的拉压刚度均为EA.解：<a>各杆轴力及伸长〔缩短量分别为因为3杆不变形,故A点水平位移为零,铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量,即<b>各杆轴力及伸长分别为A点的水平与铅垂位移分别为<注意AC杆轴力虽然为零,但对A位移有约束>3-6<3-14>图a所示桁架,材料的应力-应变关系可用方程σn=Bε表示〔图b,其中n和B为由实验测定的已知常数.试求节点C的铅垂位移.设各杆的横截面面积均为A.<a><b>解：2根杆的轴力都为2根杆的伸长量都为则节点C的铅垂位移3-7<3-16>图示结构,梁BD为刚体,杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同.在梁的中点C承受集中载荷F作用.试计算该点的水平与铅垂位移.已知载荷F=20kN,各杆的横截面面积均为A=100mm2,弹性模量E=200GPa,梁长l=1000mm.解：各杆轴力及变形分别为梁BD作刚体平动,其上B、C、D三点位移相等3-8<3-17>图示桁架,在节点B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F.设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C.解：根据能量守恒定律,有3-9<3-21>由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆,杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2.复合杆承受轴向载荷F作用,试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形.解：设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2,则FN1+FN2=F<1>变形协调条件为杆、管伸长量相同,即联立求解方程<1>、<2>,得杆、管横截面上的正应力分别为杆的轴向变形3-10<3-23>图示结构,杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面积均为A,梁BC为刚体,载荷F=20kN,许用拉应力[σt]=160MPa,许用压应力[σc]=110MPa.试确定各杆的横截面面积.解：设杆1所受压力为FN1,杆2所受拉力为FN2,则由梁BC的平衡条件得变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量,即联立求解方程<1>、<2>得因为杆1、杆2的轴力相等,而许用压应力小于许用拉应力,故由杆1的压应力强度条件得3-11<3-25>图示桁架,杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分别为[σ1]=40MPa,[σ2]=60MPa,[σ3]=120MPa,弹性模量分别为E1=160GPa,E2=100GPa,E3=200GPa.若载荷F=160kN,A1=A2=2A3,试确定各杆的横截面面积.解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为FN1<压>、FN2<拉>、FN3<拉>,则由C点的平衡条件杆1、杆2的变形图如图<b>所示,变形协调条件为C点的垂直位移等于杆3的伸长,即联立求解式<1>、<2>、<3>得由三杆的强度条件注意到条件A1=A2=2A3,取A1=A2=2A3=2448mm2.3-12<3-30>图示组合杆,由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成,二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起.铆接后,温度升高40°,试计算铆钉剪切面上的切应力.钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为αls=12.5×10－６℃－１与αlc=16×10－６℃－１.解：钢杆受拉、铜管受压,其轴力相等,设为FN,变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等,即铆钉剪切面上的切应力3-13<3-32>图示桁架,三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同,并分别为A、E与[σ],试确定该桁架的许用载荷[F].为了提高许用载荷之值,现将杆3的设计长度l变为l+Δ.试问当Δ为何值时许用载荷最大,其值[Fmax]为何.解：静力平衡条件为变形协调条件为联立求解式<1>、<2>、<3>得杆3的轴力比杆1、杆2大,由杆3的强度条件若将杆3的设计长度l变为l+Δ,要使许用载荷最大,只有三杆的应力都达到[σ],此时变形协调条件为第四章

扭转

4-1<4-3>图示空心圆截面轴,外径D=40mm,内径d=20mm,扭矩T=1kN•m.试计算横截面上的最大、最小扭转切应力,以及A点处〔ρA=15mm的扭转切应力.解：因为τ与ρ成正比,所以4-2<4-10>实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接.已知轴的转速n=100r/min,传递功率P=10kW,许用切应力[τ]=80MPa,d1/d2=0.6.试确定实心轴的直径d,空心轴的内、外径d1和d2.解：扭矩由实心轴的切应力强度条件由空心轴的切应力强度条件4-3<4-12>某传动轴,转速n=300r/min,轮1为主动轮,输入功率P1=50kW,轮2、轮3与轮4为从动轮,输出功率分别为P2=10kW,P3=P4=20kW.<1>试求轴内的最大扭矩；<2>若将轮1与轮3的位置对调,试分析对轴的受力是否有利.解：<1>轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将轮1与轮3的位置对调,则最大扭矩变为最大扭矩变小,当然对轴的受力有利.4-4<4-21>图示两端固定的圆截面轴,承受扭力矩作用.试求支反力偶矩.设扭转刚度为已知常数.解：<a>由对称性可看出,MA=MB,再由平衡可看出MA=MB=M<b>显然MA=MB,变形协调条件为解得<c><d>由静力平衡方程得变形协调条件为联立求解式<1>、<2>得4-5<4-25>图示组合轴,由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起.设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m,套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa.试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力.解：设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2,则T1+T2=M=2kN·m<1>变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等,即联立求解式<1>、<2>,得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为4-6<4-28>将截面尺寸分别为φ100mm×90mm与φ90mm×80mm的两钢管相套合,并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后,将其两端与外管相焊接.试问在去掉扭力矩M0后,内、外管横截面上的最大扭转切应力.解：去掉扭力矩M0后,两钢管相互扭,其扭矩相等,设为T,设施加M0后内管扭转角为φ0.去掉M0后,内管带动外管回退扭转角φ1〔此即外管扭转角,剩下的扭转角<φ0-φ1>即为内管扭转角,变形协调条件为内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为

4-7<4-29>图示二轴,用突缘与螺栓相连接,各螺栓的材料、直径相同,并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上,突缘的厚度为δ=10mm,轴所承受的扭力矩为M=5.0kN·m,螺栓的许用切应力[τ]=100MPa,许用挤压应力[σbs]=300MPa.试确定螺栓的直径d.解：设每个螺栓承受的剪力为FS,则由切应力强度条件由挤压强度条件故螺栓的直径第五章

弯曲应力1<5－1>、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示.试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的.解：B正确.平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q<x>的方向决定.截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的,我们在处理这类问题时都按正方向画出.但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关,这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同,参考下图.当Ox坐标取向相反,向右时,相应<b>,A是正确的.但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时,均为正,反之,为负.2<5－2>、对于承受均布载荷q的简支梁,其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的.解：A是错误的.梁截面上的弯矩的正负号,与梁的坐标系无关,该梁上的弯矩为正,因此A是错误的.弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同,和y轴的方向有关,弯矩二阶导数为正时,曲线开口向着y轴的正向.q<x>向下时,无论x轴的方向如何,弯矩二阶导数均为负,曲线开口向着y轴的负向,因此B、C、D都是正确的.3<5－3>、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图,并确定|FQ|max和|M|max.〔本题和下题内力图中,内力大小只标注相应的系数.解：4<5－4>、试作下列刚架的弯矩图,并确定|M|max.解：5<5－5>、静定梁承受平面载荷,但无集中力偶作用,其剪力图如图所示.若已知A端弯矩M<0>=0,试确定梁上的载荷<包括支座反力>及梁的弯矩图.解：6<5－6>、已知静定梁的剪力图和弯矩图,试确定梁上的载荷<包括支座反力>.解：7<5－7>、静定梁承受平面载荷,但无集中力偶作用,其剪力图如图所示.若已知E端弯矩为零.请：〔1在Ox坐标中写出弯矩的表达式；〔2试确定梁上的载荷及梁的弯矩图.解：8<5-10>在图示梁上,作用有集度为m=m<x>的分布力偶.试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系.解：用坐标分别为x与x+dx的横截面,从梁中切取一微段,如图<b>.平衡方程为9<5-11>对于图示杆件,试建立载荷集度〔轴向载荷集度q或扭力矩集度m与相应内力〔轴力或扭矩间的微分关系.解：<a>用坐标分别为x与x+dx的横截面,从杆中切取一微段,如图<c>.平衡方程为

<b>用坐标分别为x与x+dx的横截面,从杆中切取一微段,如图<d>.平衡方程为10<5-18>直径为d的金属丝,环绕在直径为D的轮缘上.试求金属丝内的最大正应变与最大正应力.已知材料的弹性模量为E.解：11<5-23>图示直径为d的圆木,现需从中切取一矩形截面梁.试问：<1>如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高,h和b应分别为何值；<2>如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高,h和b应分别为何值；解：<1>欲使梁的弯曲强度最高,只要抗弯截面系数取极大值,为此令<2>欲使梁的弯曲刚度最高,只要惯性矩取极大值,为此令12<5-24>图示简支梁,由№18工字钢制成,在外载荷作用下,测得横截面A底边的纵向正应变ε=3.0×10-4,试计算梁内的最大弯曲正应力.已知钢的弹性模量E=200GPa,a=1m.解：梁的剪力图及弯矩图如图所示,从弯矩图可见：13<5-32>图示槽形截面铸铁梁,F=10kN,Me=70kN·m,许用拉应力[σt]=35MPa,许用压应力[σc]=120MPa.试校核梁的强度.解：先求形心坐标,将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩弯矩图如图所示,C截面的左、右截面为危险截面.在C左截面,其最大拉、压应力分别为在C右截面,其最大拉、压应力分别为故14<5-35>图示简支梁,由四块尺寸相同的木板胶接而成,试校核其强度.已知载荷F=4kN,梁跨度l=400mm,截面宽度b=50mm,高度h=80mm,木板的许用应力[σ]=7MPa,胶缝的许用切应力[τ]=5MPa.解：从内力图可见木板的最大正应力由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力可见,该梁满足强度条件.15<5-41>图示简支梁,承受偏斜的集中载荷F作用,试计算梁内的最大弯曲正应力.已知F=10kN,l=1m,b=90mm,h=180mm.解：16<5-42>图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N,F2=1.6kN,l=1m,许用应力[σ]=160MPa.试分别按下列要求确定截面尺寸：<1>截面为矩形,h=2b；<2>截面为圆形.解：<1>危险截面位于固定端<2>

17<5-45>一铸铁梁,其截面如图所示,已知许用压应力为许用拉应力的4倍,即[σc]=4[σt].试从强度方面考虑,宽度b为何值最佳.解：又因y1+y2=400mm,故y1=80mm,y2=320mm.将截面对形心轴z取静矩,得18<5-54>图示直径为d的圆截面铸铁杆,承受偏心距为e的载荷F作用.试证明：当e≤d/8时,横截面上不存在拉应力,即截面核心为R=d/8的圆形区域.解：19<5-55>图示杆件,同时承受横向力与偏心压力作用,试确定F的许用值.已知许用拉应力[σt]=30MPa,许用压应力[σc]=90MPa.解：故F的许用值为4.85kN.第七章应力、应变状态分析7-1<7-1b>已知应力状态如图所示〔应力单位为,试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力.解：与截面的应力分别为：；；；MPa7-2<7-2b>已知应力状态如图所示〔应力单位为,试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力.解：与截面的应力分别为：；；；7-3<7-2d>已知应力状态如图所示〔应力单位为,试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力.解：如图,得：指定截面的正应力切应力7-4<7-7>已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示〔应力单位为,试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位.解：由图,根据比例尺,可以得到：,,7-5<7-10c>已知应力状态如图所示,试画三向应力圆,并求主应力、最大正应力与最大切应力.解：对于图示应力状态,是主应力状态,其它两个主应力由、、确定.在平面内,由坐标<,>与<,>分别确定和点,以为直径画圆与轴相交于和.再以及为直径作圆,即得三向应力圆.由上面的作图可知,主应力为,,,7-6<7-12>已知应力状态如图所示〔应力单位为,试求主应力的大小.解：与截面的应力分别为：；；；在截面上没有切应力,所以是主应力之一.；；；7-7<7-13>已知构件表面某点处的正应变,,切应变,试求该表面处方位的正应变与最大应变及其所在方位.解：得：7-8<7-20>图示矩形截面杆,承受轴向载荷F作用,试计算线段AB的正应变.设截面尺寸b和h与材料的弹性常数E和μ均为已知.解：,,,AB的正应变为7-9<7-21>在构件表面某点O处,沿,与方位,粘贴三个应变片,测得该三方位的正应变分别为,与,该表面处于平面应力状态,试求该点处的应力,与.已知材料的弹性模量,泊松比解：显然,,并令,于是得切应变：7-10<7-6>图示受力板件,试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零.证明：若在尖点A处沿自由边界取三角形单元体如图所示,设单元体、面上的应力分量为、和、,自由边界上的应力分量为,则有由于、,因此,必有、、.这时,代表A点应力状态的应力圆缩为坐标的原点,所以A点为零应力状态.7-11<7-15>构件表面某点处,沿,,与方位粘贴四个应变片,并测得相应正应变依次为,,与,试判断上述测试结果是否可靠.解：很明显,,得：又得：根据实验数据计算得到的两个结果不一致,所以,上述测量结果不可靠.第八章应力状态与强度理论1、

<8-4>试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力,弹性常数E和μ均为已知.〔a棱柱体轴向受压；〔b棱柱体在刚性方模中轴向受压.解：对于图〔a中的情况,应力状态如图〔c对于图〔b中的情况,应力状态如图〔d所以,,2、

<8-6>图示钢质拐轴,承受集中载荷F作用.试根据第三强度理论确定轴AB的直径.已知载荷F=1kN,许用应力[σ]=160Mpa.解：扭矩弯矩由得：所以,3、

<8-10>图示齿轮传动轴,用钢制成.在齿轮Ⅰ上,作用有径向力、切向力；在齿轮Ⅱ上,作用有切向力、径向力.若许用应力[σ]=100Mpa,试根据第四强度理论确定轴径.解：计算简图如图所示,作、、图.从图中可以看出,危险截面为B截面.其内力分量为：由第四强度理论得：4、8-4圆截面轴的危险面上受有弯矩Ｍy、扭矩Ｍx和轴力ＦNx作用,关于危险点的应力状态有下列四种.试判断哪一种是正确的.请选择正确答案.〔图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面答：B5、

〔8-13>图示圆截面钢杆,承受载荷,与扭力矩作用.试根据第三强度理论校核杆的强度.已知载荷N,,扭力矩,许用应力[σ]=160Mpa.解：弯矩满足强度条件.6、

<8-25>图示铸铁构件,中段为一内径D=200mm、壁厚δ=10mm的圆筒,圆筒内的压力p=1Mpa,两端的轴向压力F=300kN,材料的泊松比μ=0.25,许用拉应力[σt]=30Mpa.试校核圆筒部分的强度.解：,,由第二强度理论：满足强度条件.7、

<8-27>图薄壁圆筒,同时承受内压p与扭力矩M作用,由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成方位的正应变分别为和.试求内压p与扭力矩M之值.筒的内径为D、壁厚δ、材料的弹性模量E与泊松比μ均为已知.解：,,,很显然,8、

<8-22>图示油管,内径D=11mm,壁厚δ=0.5mm,内压p=7.5MPa,许用应力[σ]=100Mpa.试校核油管的强度.解：,,由第三强度理论,满足强度条件.9、

<8-11>图示圆截面杆,直径为d,承受轴向力F与扭矩M作用,杆用塑性材料制成,许用应力为[σ].试画出危险点处微体的应力状态图,并根据第四强度理论建立杆的强度条件.解：危险点的应力状态如图所示.,由第四强度理论,,可以得到杆的强度条件：10、<8-17>图示圆截面圆环,缺口处承受一对相距极近的载荷作用.已知圆环轴线的半径为,截面的直径为,材料的许用应力为,试根据第三强度理论确定的许用值.解：危险截面在A或B截面A：,,截面B：,由第三强度理论可见,危险截面为A截面.,得：即的许用值为：11、

<8-16>图示等截面刚架,承受载荷与作用,且.试根据第三强度理论确定的许用值.已知许用应力为,截面为正方形,边长为,且.解：危险截面在A截面或C、D截面,C截面与D截面的应力状态一样.C截面：由第三强度理论,得：A截面：由第三强度理论,得：比较两个结果,可得：的许用值：12、<8-25>球形薄壁容器,其内径为,壁厚为,承受压强为p之内压.试证明壁内任一点处的主应力为,.证明：取球坐标,对于球闭各点,以球心为原点.,,由于结构和受力均对称于球心,故球壁各点的应力状态相同.且由于球壁很薄.,对于球壁上的任一点,取通过该点的直径平面〔如图,由平衡条件对于球壁内的任一点,因此,球壁内的任一点的应力状态为：,证毕.第九章压杆稳定问题9-1<9-8>图示正方形桁架,各杆各截面的弯曲刚度均为EI,且均为细长杆.试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内,则使杆件失稳的载荷F又为何值？解：<1>此时,CD杆是压杆.,时,CD杆失稳.<2>F的方向改为向内时,AC、CB、BD、DB杆均为压杆.其受到的压力均为时,压杆失稳.9-2<9-22>图示桁架,在节点C承受载荷F=100kN作用.二杆均为圆截面,材料为低碳钢Q275,许用压应力[σ]=180Mpa,试确定二杆的杆径.解：取结点C分析.AC杆是拉杆,得：BC杆是压杆,得：考虑到压杆失稳,由于故：得：因此：AC杆的直径为：BC杆的直径为：9-3<9-12>图示活塞杆,用硅钢制成,其直径d=40mm,外伸部分的最大长度l=1m,弹性模量E=210Gpa,=100.试确定活塞杆的临界载荷.解：看成是一端固定、一端自由.此时,而,所以,.用大柔度杆临界应力公式计算.9-4<9-7>试确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷.设弯曲刚度EI为常数.解：由于右段可水平移动而不能转动,所以右端有力偶.取杆的左段为隔离体,得令得：它的通解为：当时,得：得：所以,当时,即：<n=1,2,3…>取n=1,得最小值所以,该细长压杆的相当长度,临界载荷为9-5<9-2>图示刚杆弹簧系统,试求其临界载荷.图中的k为弹簧常量.解：设弹簧伸长为,则,那么支反力为：.各力对弹簧所在截面取矩,则：即得：9-6<9-13>图示结构,由横梁AC与立柱BD组成,试问当载荷集度q=20N/mm与q=40N/mm时,截面B的挠度分别为何值.横梁与立柱均用低碳钢制成,弹性模量E=200GPa,比例极限=200MPa.解：截面几何性质：No20b工字钢,,梁长圆截面立柱：,,,长,结构为一次静不定,由变形协调条件〔1当时〔2当时9-7<9-15>图示矩形截面压杆,有三种支持方式.杆长l=300mm,截面宽度b=20mm,高度h=12mm,弹性模量E=200Gpa,=50,=0,中柔度杆的临界应力公式为：试计算它们的临界载荷,并进行比较.解：,,,〔a〔b〔c从计算结果看出,第三种支持方式的临界载荷最大.9-8<9-5>图示两端球形铰支细长压杆,弹性模量E=200Gpa.试用欧拉公式计算其临界荷载.〔1圆形截面,d=30mm,l=1.2m；〔2矩形截面,h=2b=50mm,l=1.2m；〔3

No14工字钢,l=1.9m.解：<1><2><3>9-9<9-17>图示连杆,用硅钢制成,试确定其临界载荷.中柔度杆的临界应力公式为在平面内,长度因数；在平面内,长度因数.解：考虑平面失稳考虑平面失稳采用中柔度杆的临界应力公式计算9-10<9-19>试检查图示千斤顶丝杠的稳定性.若千斤顶的最大起重量,丝杠内径,丝杠总长,衬套高度,稳定安全因数,丝杠用钢制成,中柔度杆的临界应力公式为解：看成是一端固定、一端自由.,最大伸长长度,用中柔度杆的临界应力公式计算.所以,千斤顶丝杠不会失稳.第十二章

非对称弯曲1<12—1>在梁的图示截面上,弯矩M=10kN·m.试计算最大弯曲正应力.已知截面的惯性矩Iy=Iz=4.75106mm4,Iyz=2.78106mm4.题10－l图解：2<12－3>图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,试校核梁的强度.已知F1=5kN,F2=30kN,许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=90MPa.解：在固定端截面上梁强度不满足要求.3<12－8>图示用钢板加固的木梁,承受载荷F=10kN作用,钢与木的弹性模量分别为Es=200GPa与Ew=10GPa.试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面C的挠度.解：由上册附录E知第十三章

能量法13－1〔11—1图示各梁,弯曲刚度EI均为常数.试计算梁的应变能及所加载荷的相应位移.题13－l<a>图解：题13－l<a>利用对称性梁的应变能：题13－l<b>图

题13－l<b>解：梁的应变能：13－2〔11—2图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用.试计算板件的总伸长.板件的厚度为,长度为l,左、右端的截面宽度分别为b1与b2,材料的弹性模量为E.

题13－2图

解：注意：〔1该题为变截面,各截面横截面上正应力不同.〔2各截面上正应力不同,故不能用,只能用计算.13－3〔11—3图示等截面直杆,承受轴向载荷F作用.设杆的横截面面积为A,材料的应力－应变关系为,其中c为已知常数.试计算外力所作之功.解：注意：该题为材料非线性〔1对轴向拉压,仍适用；〔2不适用；〔3仍适用.解法二：

13－4〔11—4图示圆柱形大螺距弹簧,承受轴向拉力F作用.试用能量法证明弹簧的轴向变形为式中：D为弹簧的平均直径,d为弹簧丝的直径,n为弹簧的圈数,为螺旋升角,E为弹性模量,G为切变模量.解题13－4图13－5〔11—5图示等截面直杆,承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用.设截面宽度为b、拉压刚度为EA,材料的泊松比为.试利用功的互等定理,证明杆的轴向变形为状态Ⅰ题13－5图状态Ⅱ解：用功〔位移互等定理关键:<1>找出状态Ⅱ,使状态Ⅱ的外力在〔状态Ⅰ所求的位移上做功；<2>状态Ⅱ的外力作用下,〔状态Ⅰ外力作用点、<状态Ⅰ外力相应位移容易求出.用功的互等定理,13－6〔11—6图示纤维增强复合材料,轴1沿纤维方向,轴2垂直于纤维方向.当正应力l单独作用时〔图a,材料沿1和2方向的正应变分别为式中,E1与12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比.当2单独作用时〔图b,上述二方向的正应变则分别为式中,E1与21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比.试证明：即上述四个弹性常数中,只有三个是独立的.状态Ⅰ题13－6图状态Ⅱ解：设垂直于纤维方向边长为b,纤维方向边长为a,厚度为t,用功互等定理13－7〔11—7试用卡氏第二定理解题13－1.题13－l<a>图解：由13－l<a>知梁的应变能：题13－l<b>图

解：题13－l<b>梁的应变能：13－8〔11—8图示桁架,在节点B承受载荷F作用.试用卡氏第二定理计算该节点的铅垂位移B.各杆各截面的拉压刚度均为EA.题13－8图解：13－9〔11—9图示刚架,承受载荷F作用.试用卡氏第二定理计算截面C的转角.设弯曲刚度EI为常数.题13－9图解：由于截面没有转角相应的外力偶,故需虚加一个力偶m.注意〔1用卡氏第二定理时,在求某点位移〔转角时,则在求位移点沿求位移方向〔转角必须有一相应的集中力〔集中力偶.若实际结构不存在相应的力〔力偶,则需虚加相应力〔力偶.在对相应力〔力偶求偏导后,令虚加力〔力偶为零.〔2卡氏第二定理可有二种形式〔以弯曲为例、〔3当求下梁A点的位移时,必须先把A点外力记为FA,再用求A点位移,最后,FA用F表示.若直接用求出的物理意义为A点F方向位移与C点F方向位移代数和.13－10〔11—11图示等截面杆,承受轴向均布载荷q及集中载荷F作用.试用卡氏第二定理计算杆端截面A的轴向位移.设拉压刚度EA为常数.题13－11图

解：1〔13－3图示圆截面钢杆,直径d=20mm,杆长l=2m,弹性模量E=210GPa,一重量为P=500N的冲击物,沿杆轴自高度h=100mm处自由下落.试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力.杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计.〔1冲击物直接落在杆的突缘上〔图a；〔2突缘上放有弹簧,其弹簧常量k=200N／mm〔图b.解：2〔13－5图示等截面刚架,一重量为P=300N的物体,自高度h＝50mm处自由下落.试计算截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力.材料的弹性模量E=200GPa,刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计.题13－5图M图M0图解：3〔13－6图示悬臂梁,一重量为P的物体,以速度v沿水平方向冲击悬臂梁端部的截面A.试求该截面的最大水平位移与梁内的最大弯曲正应力.材料的弹性模量为E,梁的质量与冲击物的变形均忽略不计.解：4〔13－7图示两根正方形截面简支架,一重量为P=600N的物体,自高度h=20mm处自由下落.试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力；〔1二梁间无间隙；〔2二梁间的间隙=2mm.已知二梁的跨度l=1m,根截面的边宽a=30mm,弹性模量E=200GPa.梁的质量与冲击物的变形均忽略不计.解：〔1一次静不定问题.设两梁相互作用为R,由变形协调条件：〔2设上梁冲击点变形到最低点时动载荷为Pd,两梁相互作用为Rd,由变形协调条件：冲击物位能改变为上梁的变形能为下梁的变形能为由能量守恒由〔1、〔2解得：第十四章

静不定问题1<14－1>试判断图示各结构的静不定次数.解：〔a4次静不定问题〔3次内力静不定,1次外力静不定.〔b3次静不定问题〔2次内力静不定,1次外力静不定.〔c1次静不定问题〔1次内力静不定.〔d1次静不定问题〔1次内力静不定.2<13—2>图示各刚架,弯曲刚度EI均为常数.试求支反力,并画弯矩图.解：〔a1次静不定问题.相当系统如上右图.相当系统M图单位载荷结构3<14－3>图示圆弧形小曲率杆,弯曲剧度EI为常数.试求支反力.对于题〔b,并计算截面A的水平位移.解：〔a1次静不定问题.相当系统M图单位载荷结构解：〔b1次静不定问题.相当系统单位载荷结构计算截面A的水平位移略.4<14－4>图示桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA.试求杆BC的轴力.解：1次静不定问题.相当结构单位载荷结构5<14－5>图示小曲率圆环,承受载荷F作用.试求截面A与C的弯矩以及截面A与B的相对线位移.设弯曲刚度EI为常数.题14－5图相当系统解：〔1求截面A与C的弯矩由对称性取相当系统如图求A单位载荷结构求AB单位载荷结构〔2求截面A与B的相对线位移14－6图示结构,承受载荷F作用.试计算杆BC的轴力及节点B的铅垂位移.<a>

题14－6图解：〔a取相当系统如图相当系统M图N图单位载荷结构M0图N0图〔b解略7<14－7>试画图示刚架的弯矩图.设弯曲刚度EI为常数.<a><b>题14－7图〔a提示：由对称性取相当系统如图,解略〔b提示：由反对称性取相当系统如图,解略题14－7〔a相当系统ai/lixue/caili/"题14－7〔b相当系统8<14－8>试画图示各刚架的弯矩图,并计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移.设弯曲刚度EI为常数.<a><b><c><d>题14－8图〔a提示：由对称性取相当系统如图,解略〔b提示：由对称性取相当系统如图,解略〔c提示：由反对称性取相当系统如图,解略〔d提示：由反对称性取相当系统如图,解略题14－8〔a相当系统题14－8〔b相当系统题14－8〔c相当系统题14－8〔d相当系统9<14－9>图示刚架,承受载荷F＝80kN作用,已知铰链A允许传递的剪力［FS］=40kN,l=0.5m.试求尺寸a的允许取值范围.设弯曲刚度EI为常数.解：由反对称性取相当系统如图.题14－9图相当系统相当系统M图单位载荷结构M0图10<14－11>图示桁架,承受载荷F=80kN作用,各杆各截面的拉压刚度均为EA.试求杆BC的角位移.题14－11图相当系统单位载荷结构解：由反对称性知：NDC=0,取相当系统如图,解法二：参见题11—17〔a解.11<14－12>图示结构〔均为小曲率圆杆,弯曲刚度EI为常数.试计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移.题14－12〔a受力分析题14－12图解：由对称性,受力分析如图12<3－13>图示两端固定杆,如果温度升高T,试计算杆内的最大正应力.材料的弹性模量为E,线膨胀系数为l,截面宽度不变.

题14－13图

解：由对称性,受力分析如图第十一章

交变应力1<11－1>图示循环应力,试求其平均应力、应力幅值与应力比.题11－1图解：2<11－2>图示旋转轴,同时承受横向载荷F与轴向拉力Fx作用,试求危险截面边缘任一点处的最大正应力、最小正应力、平均应力、应力幅与应力比；已知轴径d＝10mm,轴长l=100mm,载荷Fy=500N,Fx=2kN.解：3<11－3>图示疲劳试样,由钢制成,强度极限b=600MPa,试验时承受对称循环的轴向载荷作用,试确定试样夹持部位圆角处的有效应力集中因数.试样表面经磨削加工.题11－3图解:查表得:计算:查表得:计算:4<11－5>图示钢轴,承受对称循环的弯曲应力作用.钢轴分别由合金钢和碳钢制成,前者