【数学】双曲线的焦三角形与最值问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

习题课3双曲线的焦三角形与最值问题习题课1.理解双曲线焦三角形的性质，能解决双曲线焦三角形问题.2.能利用双曲线的定义求与双曲线相关的最值问题.任务1：求双曲线的焦三角形的面积.目标一：理解双曲线焦三角形的性质，能解决双曲线焦三角形问题.

设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，求的面积.解：如图.由题意，双曲线，可得，则，因为点P在双曲线上，不妨设点P在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.归纳总结

双曲线焦三角形：1.定义：双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形.2.双曲线的焦三角形面积求法：（1）直接法：①根据双曲线定义和余弦定理求出；②利用三角形面积公式求解.思考：已知双曲线：，点M为双曲线上不在x轴上的任意一点，.的面积表达式是什么？所以，又因为，所以.（2）公式法：，其中为.归纳总结双曲线的焦三角形面积求法：练一练

已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．解：如图.（方法1）由题意得⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故双曲线的方程为－y2＝1.（方法2），，，c＝，故双曲线的方程为－y2＝1.－y2＝1任务2：双曲线与焦点有关的三角形的周长.

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的周长∴(|PF1|＋|PF2|)2=(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝20.解：不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.∴|PF1|＋|PF2|=，所以△PF1F2的周长为.双曲线焦点有关的三角形问题解法.根据定义求出焦半径|PF1|、|PF2|的关系式，或利用余弦定理求|PF1|、|PF2|的关系式，从而求出|PF1|、|PF2|.但一般情况下，并不直接求出|PF1|、|PF2|，而是根据问题，把|PF1|+|PF2|、|PF1|-|PF2|、|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.归纳总结练一练

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）A．26B．21C．16D．5解：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故选：A.A任务1：求解与双曲线有关的最值问题.目标二：能利用双曲线的定义求与双曲线相关的最值问题.

已知双曲线的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A． B．C． D．解：设双曲线C的左焦点为F1，则．由题可知，，∴，,，∴，的周长为．∵当M，P，F1三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A.A归纳总结

双曲线中的与焦点有关的最值问题解法：设双曲线方程为，F1F2分别为双曲线的左右焦点，是平面上一定点，Q为双曲线右支上任意一点.（1）若定点与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则的最小值是,最大值不存在；如图.

（2）若定点与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则的最小值是,最大值不存在;如图.练一练

已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（）A． B．C． D．解：因为，所以要求的最小值，只需求