矩形、菱形、正方形（测试）（教师版含解析）-2023年中考一轮复习讲练测（浙江专用）

2023耳中涔裁号总象引一龄济依例（断江专用，

寺做22推彬、菱形、正方形（制裁J

班戳:联名，得台，

注意事项：

本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.本试卷所选题目为浙江地区中考真题、模拟

试题、阶段性测试题.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2022•温州校级模拟）如图，菱形A8CQ中，过点C作交8。于点区若/84。=118°,则/

A.59°B.62°C.69°D.72°

【分析】根据菱形的性质得：AB=AD,根据等腰三角形的性质可得/A8O=3I°,由

菱形的对角线平分线组对角可得NC3E=31°,最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论.

【解答】解：:四边形A8CO是菱形，

：.AB=AD,NABD=/CBE,

：.ZABD=ZADBf

VZBAD=118°,

AZABD=180°~118°.=31°，

2

工NCBE=3T0,

VCEl^C,

AZBCE=90°,

：.ZCEB=90°-31°=59°.

故选：A.

2.（2022•宁波模拟）如图，正方形ABC。的顶点8在直线/上，将直线/向上平移线段A8的长得到直线

m,直线机分别交40,CD于点E,F.若求△£>《尸的周长，则只需知道()

A.AB的长B.FE的长C.DE的长D.OF的长

【分析】过8作于H,连接BE,BF,然后利用已知条件可以证明RtZ\AEB丝RlZXHEB(HL),

RtAFCB^RtAFH»(HL),接着利用全等三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：过8作于”，连接BE,BF,

•.•直线/向上平移线段4B的长得到直线m,

：.AH=AB,

而NA=/8”E=90°,EB=EB,

.".RtAA£B^RtA//£B(HL),

：.AE=EH,

同理RtAFCBqRtAFHB(HL),

:.HF=CF,

：.二DEF的周长为：DE+EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+DF+CF=AD+CD=2AB.

...求△£>£下的周长，则只需知道AB的长.

故选：A.

3.(2022•西湖区模拟)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，0M〃AB交A。于点M,若。例=

3,。8=4,则BC的长为()

【分析】由平行线分线段成比例可得C£>=6,AC=8,由勾股定理可得A£>,进而解答即可.

【解答】解：•.•四边形A8CD是矩形，

J.AB//CD,AD=BC,AC=2OB=8,

：.OM//CD,

且

AACL=OM,AO=_laC,OM=3,

ACCD2

；.CO=6,

在RtAADC中,^=VAC2-CD2=^82-62=277'

:.BC=AD=2币,

故选：B.

4.（2022•仙居县二模）如图，分别以点A,8为圆心，以大于上A3同样长为半径作弧，两弧相交于C,D

2

两点，连接AB,CD,AC,BC,AD,B。，则下列说法中正确的是（）

A.CDLAB,但CZ）不一定平分AB

B.CD垂直平分48,但4B不一定垂直平分CD

C.ACLBCHAC=BC

D.CD与A3互相垂直平分

【分析】根据菱形的性质即可得到结论.

【解答】解：由作法知，AC=BC=AD=BD,

...四边形A。8c是菱形，

：.AB,CO互相垂直平分，

B,C不符合题意，。符合题意；

故选：D.

5.（2022♦宁波模拟）两个全等的矩形ABC。和矩形8EFG如图放置，且FG恰好过点C.过点G作何N平

行AO交48,8于M,N.知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积（）

C.CF'CGD.CF'CB

【分析】根据矩形的性质和题目中的条件，可以判断出哪个选项中的条件，可以推出阴影部分的面积,

本题得以解决.

【解答】解：作CH_LBE于点H,

由已知条件和图形可知：S^CHG+S^BMG—S^CGH=S^BCH,

"：矩形ABCD和矩形BEFG全等，

图中阴影部分的面积与矩形CHEF的面积一样，CH=CD,

当知道CF・CD的值时，即可得到CF-CH的值，

故选：A.

6.（2020•吴兴区校级三模）如图，在矩形A8CO中，点E,/将对角线AC三等分，己知AB=9,8c=12,

点P在矩形4BCD的边上，则满足PE+PF=n的点P的个数是（)

D

BC

A.2B.4C.6D.8

【分析】由勾股定理得AC的长，作F关于8c垂直对称点M并过EM交BC于点H,当点P在8c边

上时位于，点时，过点E作EN〃A£>,弧长MF与EN交于点M然后根据矩形性质及勾股定理，可得

问题的答案.

【解答】解:①；AB=9,8c=12,

；•HC=VAB2+BC2=15，

作F关于BC垂直对称点M并过EM交BC于点H,当点P在3c边上时位于H点时，PE+PF=HE+HM

最小，

由图可知：HE+HF=HE+HM=EM,

过点E作EN〃A。，弧长MF与£7V交于点M

:.EN=4,FN=3=F0=M0,

二=后<12,

£M=^EN2+NH2

；AC=15>12,

...在BC边上时，”的左右两方存在一点，使PE+PF=12,

同理，AD边也存在两点满足PE+PF=12,

②同理：(PE+PF).=HF+HE=EM,

£M=VEN2+NM2=VS2+122>12,

...在CD边不存在P点满足PE+PF=12,

同理AB边也不存在，

...满足尸点(PE+PF)=12条件的个数为4.

故选：B.

7.(2022•滨江区一模)四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若OA=OB=OC=O£>,则该四边形

()

A.可能不是平行四边形B.一定是矩形

C.一定是菱形D.一定是正方形

【分析】根据OA=OB=OC=。。，判断四边形ABC。是平行四边形.然后根据4c=8力，判定四边形

ABCO是矩形.

【解答】解：•••对角线AC、BD交于点O,OA=OB=OC=OD,

•••四边形ABCD是平行四边形，

又：OA+OC=OO+O8

即AC=BD

四边形A8co是矩形.

故选：B.

8.(2022•滨江区二模)如图，在正方形A8C。中，点E是边BC上一点，且AB=33E.过点B作

交边CD于点尸.以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G,连接OG,交BF于点、H.则力H：

A.10：3B.3：1C.8：3D,5：3

【分析】过点尸作FM//BC,与DH交于点M,证明△48E丝△BCF得到CF与CD的关系，再证明^

DFMS/\DCG，△HMFSAHGB,便可求得结果.

【解答】解：过点尸作尸M〃BC,与。〃交于点M,

・・•四边形A5CO是正方形，

AZABC=ZC=90°,AB=BC=CD,

*：BF上AE,

:.ZABF+ZBAE=ZABF+ZCBF=90°,

：.ZBAE=ZCBF,

:./\ABEW/\BCF(ASA),

:・BE=CF,

：.AB=3BEf

：.CD=3CF,

•:CF=CG,

•••b=CG』c[cB，

oO

：.BG=DF=1CT),

'：MF//BC,

：./\DFMs丛DCG,

•DMFMDF_2

"DGCG"DC"3"

•,•。加=轴，™=|-CG-|X^-BC-|BC'

ooooy

•••“G忖DG，

o

"：MF//BC,

:.丛HMFs丛RGB,

—BC

.HM_FM_9_1

.•片呷节‘

o

"G言MG技gDG=DG，

：.DH：HG=3：1.

故选：B.

9.（2022•瑞安市一模）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABC。如图所示，延长AH

交CD于点P,若AP=5®则小正方形边长GF的长是（）

2

【分析】过点E作EM±AB于点M,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•.,△?!£）£■丝△CCH丝△CBG丝△BAF,

：.AE=DH,DE=CH,

；四边形GFEH是正方形，

：.EH=EF=HG=GF,ZHFA=A5°=AEHF,

'：AP±HF,

：.ZFAH=ZAFH=^°=ZAHE,

：.AH=FH,AE=HE,

：.AF^2AE,

设AE=a,则AF=OE=2“，

如图过点H作HM±AD于M,

"D=个皿2+口£2=遥”,

：ZDMH^ZAED=90Q,4ADE=4MDH,

：.4AEDs/\HMD,

•DHMH

"AD"AE'

55

：.AM=AD-DM=^^-a,

5

'：AD±CD,

：.MH//DP,

••A•H,二一一A■一M_3,

HPDM2

：AP=5&,

：.AH=342,

：.EH=3=GF,

故选：C.

10.（2022•龙港市一模）矩形纸片ABC。按如图1的方式分割成三个直角三角形①，②，③，又把这三个

直角三角形按如图2的方式重叠放置在一起，其中直角三角形①的斜边一端点恰好落在直角三角形②的

斜边上，若30=5,则图2中CP的长为（）

【分析】由勾股定理求出AO的长，由MQ+QN=MN=5,可求。=2,可得AB=4,由锐角三角函数可

求8E的长，即可求解.

【解答】解：如图1,设AB=2a,

•四边形A8CD是矩形，

：.AB=CD=2a,AD=BC,NBAD=90°,AB//CD,

：.AD^y]BD2-AB2=V25-4a2'^ABD=ZBDC,

如图2,HP=AB=2a,QN=A£>=,25-4a2，MN=BD=5,MP=BE,

图2

:・/MPH=/NMP,/HMP=90°,

:・MQ=PQ,4H=/HMQ,

:・HQ=MQ,

：.HQ=HQ=PQ=a,

v25-4a^+4=5,

，q=2,a=0（舍去），

・"3=4,AD=3,

如图1,VCOSZ/4BD=M=M,

ABBD

•・•BE4,

45

：.BE=^-=MP,

5

.*.PC=4-

55

故选：A.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上

II.（2022•温州模拟）如图，在菱形A8CD中，。EJ_AB,DFA.BC,垂足分别为点E,F.若乙4OE+NCD尸

=80°,则NECF等于50度.

D

【分析】根据垂直的定义得到NAEO=N/)FC=90°,根据三角形的内角和定理得到NA+/C=180°-

80°=100°,根据菱形的性质得到NA=NC=50°,于是得到结论.

【解答】解：DFLBC,

:.NAED=NDFC=90",

VZADE+ZCDF=SO°,

AZA+ZC=180°-80°=100°,

•.•四边形A8CQ是菱形，

AZA=ZC=50°,

AZADC=130°,

：.ZEDF^ZADC-(NADE+NCDF)=50°,

故答案为：50.

12.(2022•舟山一模)如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABC。的边AB在x轴上，点A(-2,0),B

(3,0).现固定点A,B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点。落在y轴正半轴上的点

D',则点C的对应点C'的坐标为(5,J五)_.

【分析】由已知条件得到A。'=AO=5,根据勾股定理得到OQ',于是得到结论.

【解答】解：：点A(-2,0),B(3,0),

：.AB=5,

四边形ABC。是正方形，

.'.AD'=AD=AB=5,

U：AO=2,

,=VADZ2-0A2=VS2-22,

"：CD'=5,CD'//AB,

：.C'(5,V21),

故答案为：(5,V21).

13.(2021•衢州一模)如图，在菱形ABC。中，NB=40°,延长BC至点E,使CE=4C,则NC4E的度

数是35°.

【分析】直接利用菱形的性质得出AB=BC,再利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质、等腰三

角形的性质得出答案

【解答】解：•••四边形A8CO是菱形，

：.AB=BC,

VZB=40°,

.•./8CA=/8AC=70°,

\'AC=CE,

：.ZCEA=ZCAE^AX70°=35°.

2

故答案为：35°.

14.（2021•吴兴区一模）如图，已知在菱形ABCZ）中，对角线AC、8。相交于点。，已知4c=8,BD=4,

则菱形的边长为

【分析】由菱形ABCO中对角线AC、8。相交于点。，若AC=8,BD=4,即可求得OA与08的长，然

后由勾股定理求得菱形的边长.

【解答】解：•••四边形48co是菱形，且AC=8,BD=4,

：.OA=^AB=4,0B=耳。=2,AC1BD,

22

•MB=VOA2OB2=^42+22=2灰-

故答案为：2y.

15.（2021•永嘉县校级模拟）如图，在正方形ABCO中，AB=4c机，点E是AD的中点，动点尸从点4出

发，以2c,”/s的速度沿AB向终点8运动，设点F的运动时间为As,当ACE尸为等腰三角形时，/的值是

1或2或1

【分析】根据题意运用分类讨论思想进行求解，若CE=C尸或CE=C尸时，先利用勾股定理求出CE的

值，即得到EF或CF的值，再运用勾股定理分别求出BF或A尸的值；当EF=C尸时，设AF=x,利用

勾股定理列出方程求出x的值，继而求出t.

【解答】解：根据题意得，•••四边形A8C。是正方形，

：.AB=AD=CD=BC=4,NB=N£>=90°,

是40的中点，

:.AE=DE=2,

在中，22=2

RtACDFCE=^CD2+DE2=^4+2^1

①当CE=CF时，即CF=275,

在RtABCF中，Sf=VCF2-BC2=V(2V5)2-42=2，

：.AF=AB-BF=2,

；"=2+2=1；

②当CE=E尸时，即£尸=2代，

在RtAAEF中，^=VEF2-AE2=V(2V5)2-22=%

.•，=4+2=2；

③当EF=CF时，设4尸=》，则BF=4-x,

在RtZiBCF中，CF2=BC2+BF2,

在Rt/\AEF中，EF2^AE2+AF2,

即42+(4-x)2=22+/,

解得x=工，

2

即AF=L,

2

.”尹2=£

故答案为：1或2或工.

4

16.（2022•诸暨市模拟）正方形ABCD的边长为4,点E是射线AD上的一个动点，连结CE,以CE为边

往右侧作正方形CER7,连结。尺DG.

（1）当点E在延长线上，且。E=A。时，DG=_445_.

（2）当点E在线段上，且aOG尸为等腰三角形时，DG=4或4&或2泥.

【分析】（1）如图1,连接EG,可证：△CDE是等腰直角三角形，ACEG是等腰直角三角形，得出/

OEG=90°,再运用勾股定理即可求得答案；

（2）如图2,过点F作交的延长线于点H,过点G作GKLCQ于点K,可证：△CEO/

△EB”（A4S）,△CEO•ZXGCK（AAS）,设OE=，〃（0WmW4）,求出。F、FG、DG,再根据等腰三角

形性质分类讨论即可.

【解答】解：（1）如图1,连接EG,

•正方形ABCD的边长为4,DE=AD,

."O=OE=8=4,ZADC=90",

AZCD£=180°-90°=90°,

是等腰直角三角形，

:.CE=®DE=4NOCE=NOEC=45°,

；四边形CEFG是正方形，

:.CE=CG=4近,NECG=90。，

...△CEG是等腰直角三角形，

/.ZC£G=45°,£G=&C£=&X4&=8,

:.NDEG=NDEC+NCEG=450+45°=90°,

在RtADEG中，°G=jDE2+EG2=^42+82=4病，

故答案为：4粕；

(2)如图2,过点F作F//LAQ交AQ的延长线于点”，过点G作GKLCQ于点K,

则/4=/CKG=NQKG=90°,

•四边形A8C。，四边形CEFG均为正方形，

：.AD=CD=4,EF=CE=CG=FG,ZCDE=ZCEF=ZECG=90°,

■:NFEH+NCED=9Q°,ZCED+ZECD=90°,ZECD+ZGCK=90Q,

二ZFEH=NECD,ZGCK=ZCED,

在△CEO和△EFH中，

"ZCDE=ZH

,ZECD=ZFEH.

CE=EF

:ACEDm4EFH(AAS),

:.DE=FH,CD=EH=4,

同理，丝△GCK(AAS),

：.DE=CK,CD=GK=4,

设。E=m(0W，〃W4),则F，=CK=〃7,

：.DH=4-m,DK=4-m,

在Rt△。F”中，DF1=DH1+FH1=(4-?M)2+/n2=2/n2-8/n+16,

在Rt/XOGK中，DG2^DK2+GK2^(4-m)2+42=;M2-8/77+32,

在Rt/XCEO中，CE2=OE2+C£)2=〃?2+]6,

：.FG2=ni2+[6,

当DF=DG时,In?-8w+16=m2-8m+32,

解得："?=-4(舍去)或/n=4,

DG=Vm2-8m+32=V42-8X4+32=4i

当DF=FG时，2m2-8m+16=m2+16,

解得：〃2=0或m=8(舍去)，

DG=7m2-8m+32=^^=4&：

当DG=FG时，//,8m+32=m2+16,

解得:m=2,

DG=Vm2-8m+32=V22-8X2+32=2近；

综上所述，£>G=4或或

故答案为：4或4料或2遍.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（2022•龙港市模拟）如图，在菱形ABC。中，NA8C=80°,点E在54的延长线上，对角线AC与3。

交于点M,EM交AD于点F,且NEF£）=105°.

（1）求NE的度数.

（2）求证：AM=AE.

【分析】（1）根据菱形的性质和三角形外角的性质解答即可：

（2）根据菱形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答即可.

【解答】（1）解：•••四边形A5CD是菱形，

：.AD//BC,

.../E4O=/48C=8(T,

：.ZE=ZEFD-ZEAD=l05°-80°=25°.

(2)证明：•.•四边形A8C。是菱形，

.,.ZDAB=180°-ZB=100°,AC平分NDA8,

•'•ZBAC=yZDAB=5001

：.ZAME=ZBAC-Z£=50°-25°=25°=ZE,

：.AM=AE.

18.(2022•玉环市一模)如图，在矩形ABC。中，。是对角线4C的中点，过点。作EFJ_AC分别交4D,

BC于点E,F.

(1)求证：△AOE四△COF；

(2)若AB=8,BC=16,求C尸的长.

【分析】(1)由l，ASA"可证△AEOZZXC。尸；

(2)由线段垂直平分线的性质可得AF=FC,由勾股定理可求解.

【解答】(1)证明：•.•四边形ABCO是矩形，

.'.AD//BC,

：.ZDAC=ZBCA,

...点。是AC的中点，

：.AO=CO,

在△AEO和△CFO中，

，ZDAC=ZACB

-AO=CO，

ZA0E=ZC0F

:.△AEOQXCFO(ASA)；

(2)解：如图，连接AF,

'：AO=CO,EF1AC,

：.AF=FC,

'：AF2=AB2+BF2,

：.CF2=(16-CF)2+64,

.,.CF=10.

19.(2022•杭州模拟)如图，E是正方形A8CO的边OC上的一点，过A作AFLAE,交C8延长线于点

F.AE的延长线交8c的延长线于点G.

(1)求证：AE=AFi

【分析】(1)首先利用余角的性质证明/阳8=/D4E,然后利用ASA即可证明根据全

等三角形的对应边相等即可证得；

(2)在直角△48F中利用勾股定理求得A8的长，则EC的长度即可求得，易证△A/)ES/\GCE,根据

相似三角形的对应边的比相等即可求解.

【解答】(1)证明：正方形48co中，NBAD=90：AD^AB,

'：AF±AE,

：.ZFAB+ZBAE=90°

'：ZDAE+ZBAE^90°,

:.NFAB=/DAE,

•.•在aAB尸与△ADE中.

，ZFAB=ZDAE

-AB=AD，

ZEBA=ZD

：.2ABF沿丛ADE(ASA),

：.AE=AF；

(2)解：在RtZXABF中，

VZFBA=90°,A尸=13,BF=DE=5,

：.AB=V(13)2-52=12-AE=13,

：.EC=DC-DE=\2-5=7,

VZD=Z£CG=90°,ZDEA=ZCEG,

.•.△AOEsZ\GC£,

20.（2022•下城区校级二模）如图，在正方形ABC。中，对角线AC,BZ）相交于点。，点E,尸分别在A。,

DC1.（不与A,D,C重合），连接BE,AF,BE与AF交于点G,与AC交于点”.已知AF

平分ND4c.

(1)求证：AF1.BE.

（2）若△8H0的面积为Si,△BDE的面积为S2,求21•的值.

S2

【分析】（1）根据正方形的性质得到尸=90°,根据全等三角形的性质得到/48E

=ZDAF,根据垂直的定义即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到NBAC=ND4F=45°,根据角平分线定义得到ND4F=NC4F=LX45°

2

=22.5°,根据全等三角形的性质得到A8E=ND4产=22.5°,NAEB=NAFD=67.5°,过”作

A3于Q,设AQ=〃Q=x,根据全等三角形的性质得到O〃=Q〃=x,根据三角形的面积公式即可得到结

论.

【解答】(1)证明：・・•四边形48。拉是正方形，

：.AB=AD.ZBAE=ZADF=90°,

在RtABA£和RtAADF中，

fAF=BE

1AB二AD

.'.RtABAE^RtA/lDF(HL),

：.NABE=ZDAF,

9：ZDAF+ZBAF=90°,

・・・NA8£：+N3AF=90°,

AZAGB=90°,

：.BE±AF；

(2)解：:四边形ABC。是正方形，

：.ZBAC=ZDAF=45°,

•・・人/平分/。4(?,

ZDAF=ZCAF=1-x45°=22.5°

2

ZAFD=61.5°,

,?RtABAE^Rt^ADF,

：.ZABE=ZDAF=22.5°,ZAEB=ZAFD=61.5°

:・NAHE=67.5°,ZDAE=ZABE=22.5°,

NAHE=NAEH,

：.AH=AE,

过”作〃于。，

•••△AQ”是等腰直角三角形，

：.AQ=HQ,

设AQ=HQ=x，

.\AH=AE=y/2x,

,:NBQH=NB()H=90°,NABH=NOBH,BH=BH,

:.丛BQHmABOH(AAS),

：.OH=QH=x,

：.OB=BQ=x+®x,

：.AB=yf2OB=y/2x+2x,

二51=工0”・08=上口.(1+&)

222

S2=S^ABD-SMBE=—(V2+2)X*(V2+2)JC-A(V2+2)X*^f2x=(V2+2)X,

22

(1+V2)X

-Sl_2_V2

'"s7(V2+2)x4,

21.(2022•临安区一模)如图，正方形ABC。的边长为1,点E是边4B上一点，过点E作E尸〃BC.

(1)设以线段AE,AO为邻边的矩形的面积为Si,以BE为边的正方形的面积为S2,且S1=S2,求BE

的长；

(2)连结4C,DE,若H是。E的中点，GH_LOE交AC于点G,连结EG,求证：BG=EG.

【分析】(1)设8E=x,则A£=l-x,可得Si=lX(1-x),S2—X2,进而可以解决问题；

(2)连接DG,BD,根据正方形的对角线互相垂直平分可得8G=OG,再根据等腰三角形的性质可得EG

=DG,进而可以解决问题.

【解答】(1)解：设贝l]4E=l-x,

,*.51=1X(1-%),S2=7,

解得X=YI二1,x=土叵(舍去),

22

：*BE=^3

2

(2)证明：如图，连接OG,BD,

:四边形A8C。是正方形，

；.AC垂直平分线BD,

：.BG=DG,

是£>E的中点，GHLDE,

：.EG=DG,

：.BG=EG.

22.(2022•江干区校级模拟)如图，四边形ABC。是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交4。于点M,

交CD的延长线于点F.

(1)求证：AM=AE-,

(2)连接CM,DF=2.

①求菱形ABC。的周长；

②若/AQC=2NMCF,求ME的长.

【分析】(1)连接80,由菱形的性质得到AB^AD,结合ME_LAC得到ME〃8。，然后结合

点E是A8的中点得到点M时A。的中点，最后得到AM=AE；

(2)①先证明然后得到AE=£>F=2,进而得到A8的长，最后求得菱形的周长；

②连接CM,记EF与AC交点为点G,先由△M4E丝得到。F=Z)M,MF=ME,从而

得到N0WF=N/）尸M,进而得到NAOC=2NDFM,然后结合乙4DC=2NMC力得到NMCD=NOFM,

从而得到用尸=MC=ME,NEMC=2NFDM=NMDC,再由ME_LAC,AM=ME得到NMGC=90°,

ME=2MG,进而得到MC=2MG,即可得到/MGC=60°,故NADC=60°,从而得到△ADC为等边三

角形，△OMC为直角三角形，最后求得CM的长即为ME的长.

【解答】（1）证明：如图，连接8。，

•••四边形ABCD是菱形，

：.ACLDB,AD^AB,

■：EM±AC,

J.ME//BD,

•.•点E是A8的中点，

点仞是4£）的中点，AE=1AB,

2

：.AM=^AD,

2

：.AM=AE.

（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，

：.AM=MD,

:四边形ABC。是菱形，

J.AB//CD,

：.ZF=ZAEM,NEAM=NFDM,

：./\MDF^/\MAE（AAS）,

：.AE=DF,

'：AB=2AE,DF=2,

."8=4,

菱形48co的周长为448=4X4=16.

②如图，连接CM,记EF与AC交点为点G,

：AM=AE,AMAE与AMDF,

:.DF=DM,MF=ME,

:.NDMF=NDFM,

：./ADC=2NDFM,

YZADC=2ZMCDf

：.ZMCD=ZDFM1

；・MF=MC=ME,ZEMC=2ZF=ZMDC,

*：MEI.AC,AM=AE,

：.ZMGC=90°,ME=2MG,

工MC=2MG,

・・・NGMC=60°,

AZADC=60°,

：.ZMCD=30Q,

・・・NOMC=9(T,

•••△OMC为直角三角形，

,:DF=2,

，OM=2,CQ=4,

•••CM=VCD2_DH2=2V3,

:.ME=2M.

23.(2021•越城区模拟)如图，以矩形OABC的顶点。为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为

y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=8,OC=10,将矩形0ABe绕点。逆时针方向旋转a(0<a<

180°)得到矩形ODE凡

(1)当点E恰好落在)，轴上时，如图1,求点E的坐标.

(2)连接AC,当点。恰好落在对角线AC上时，如图2,连接EC,EO,

①求证：△ECD丝△OZ)C；

②求点E的坐标.