空间点、直线、平面之间的位置关系

考点32空间点、直线、平面之间的位置关系

【命题趋势】

空间线面位置关系的判断是高考的必考点，是为空间线面位置关系的证明打基础，必须熟练

掌握.必须做到：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公

理和定理.

•公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.

•公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

•公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

•公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

•定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

【重要考向】

一、平面的基本性质及应用

二、空间线面位置关系的判断

三、异面直线所成的角

四、空间直线与平面、平面与平面的位置关系

平面的基本性质及应用

平面的基本性质及应用

1.平面的基本性质

名称图形文字语言符号语言

如果一条直线上的两点在一

公理Ael,Be/,且AGa,

Z37个平面内，那么这条直线上所

1BGanlua

有的点都在此平面内

A,B,C三点不共线n有

公理r过不在同一条直线上的三点，

/77且只有一个平面a,使A

216k・有且只有一个平面

c/Ga,BEa,Cea

I

推

・经过一条直线和直线外的一若点Ae直线小则A和

论/4

公a点，有且只有一个平面a确定一个平面a

1/a/

埋

推a^\b=P=有且只有一

2经过两条相交直线，有且只有

论个平面a,使aua,

的包一个平面

2bua

推

推

论

经过两条平行直线，有且只有。〃力n有且只有一个平

论

一个平面面a,使aua,bua

3h

如果两个不重合的平面有一

公理Pea,且Pe0naC\/3=l,

个公共点，那么它们有且只有

3Pel,且/是唯一的

一条过该点的公共直线

——/1

公理平行于同一条直线的两条直

h/i〃/,l2//l^[}//l2

4线互相平行

——1

2.等角定理

（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相

等或互补.

（2）符号语言：如图（1）、（2）所示，在NAOB与N4。，夕中，

OA//O'A',OB//O'B',则ZAOB=ZA（7B'或ZAOB+ANOB=180°.

图（1）图(2)

【巧学妙记】

2

;（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理；

3.常用方法有：/

/7/

/①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都‘

/✓

,在这两个平面的交线上；/

/✓

/②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.;

//

；（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第/

//

，三条直线也过该点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的，

/✓

:交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.；

//

//

证明点或线共面问题，主要有两种方法：/

/（3）/

/①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个,

//

，平面内；

//

:②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.5

【典例】

1.（2021•齐齐哈尔市第八中学校高一期中）下列结论正确的是（）

A.经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面

B.经过两条相交直线，可以确定一个平面

C.经过两条平行直线，可以确定一个平面

D.经过空间任意三点可以确定一个平面

【答案】ABC

【分析】

由平面的基本性质和推论，逐项判定，即可求解.

【详解】

根据平面的基本性质及推论，可得：

经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，所以A正确；

经过两条相交直线，可以确定一个平面，所以B正确；

经过两条平行直线，可以确定一个平面，所以C正确；

3

根据“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面"所以D错误.

故答案为：ABC.

2.（2021•全国高一课时练习）不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定个平

面.

【答案】3

【分析】

可将三条宜线视为三棱锥A-的三条侧棱，即可得出结论.

【详解】

可将三条直线视为二棱锥A-BCZ）的三条侧棱AB、AC，AD，则这三条直线最多能确

定3个平面.

故答案为：3.

3.（2021•江苏高一月考）有以下命题:

①过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面垂直;

②过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行;

③过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线垂直:

④过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行;

⑤使直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根据题意，结合面面平行的性质、线面平行的判定以及线面的垂直的推论，即可得到正确选

项.

【详解】

根据题意，易得①⑤正确.

对于②，因过平面外一点，有且只有一条平面与这个平面平行，根据面面平行的性质可知，

过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，故②错；

4

对于③，因过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，所以过宜线外一点，有且

只有一个平面与这条直线垂直，故③正确；

对于④，因过直线外一点，有且只有条直线与这条直线平行，根据线面平行的判定可知，

过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故④错.

故选：C.

1.空间两直线位置关系的分类

空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:

(1)从有无公共点的角度分类:

两条直线有且仅有一个公共点：相交直线

直线平行直线

两条直线无公共点:

异面直线

(2)从是否共面的角度分类:

相交直线

共面直线＜

直线平行直线

不共面直线：异面直线

【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

【巧学妙记】

(1)异面直线的判定方法：

①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面

直线.

②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发,

经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定

中经常用到.

(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认

5

X\

,识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、Z

//

:面面平行、面面垂直.二

//

/（3）对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.’

//

【典例】

4.（2021•黑龙江佳木斯市•佳木斯一中高三三模（理））已知m,n是两条不同的直线，a,6

是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A.若m0a,a06,则直线m与n可能相交或异面

B.若a®6,mBia,n06,则直线m与〃一定平行

C.若ml3a,。团6,述6,则直线m与n一定垂直

D.若mEla,n06,a(36,则直线m与n一定平行

【答案】A

【分析】

根据线线，线面关系对选项一一分析即可.

【详解】

解：m,n是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面,

对于A,若nEI6,a06,则直线m与。相交垂直或异面垂直，故A正确;

对于B,若a06,m团a,n06,则直线m与n相交、平行或异面，故8错误;

对于C,若mEla,006,a(36,则直线m与"相交、平行或异面，故C错误;

对于D,若mEla,nB6,逋6,则直线m与n平行或异面，故。错误.

故选：A.

5.（2021•河南焦作市•高一月考）已知直线加，〃和平面体尸，下列说法错误的是（）

A.若a///?,mua,则/〃//2B.若〃z_La,mHn,nu/3,则a_L/?

6

C.若〃_La，nLp,mYa>则m1■力D.若m_La,mA.n,则〃//a.

【答案】D

【分析】

根据空间中线面平行或垂直的判定定理和性质定理对各选项逐一分析即可求解.

【详解】

解：对4若all/3,mua,则由面面平行的性质有小//尸，所以A正确；

对8：若〃Ua，mlln,则由线面平行的性质有〃_La，又〃<=/?,

从而由面面垂直的判定定理有。，/?，所以8正确；

对C：若〃_La，〃上尸，则二//4，又〃z_La,所以相，所以C正确；

对。：若〃?_Lc,mVn,则〃//a或"ua,所以。错误.

故选：D.

6.（2021•江苏高一期末）若。，人是两条不同的直线，£是两个不同的平面，则下列

命题正确的是（）

A.若；1力,bA.a,ak/3,则a_L£

B.若a_L〃，a_La,blip,则;_|_力

C.若3/a,all/3,aC]j3=b,则a〃）

D.若a//b,a_La,blip,则a//月

【答案】C

【分析】

由空间中直线与直线、宜线与平面的位置关系宜观分析A、B、D错误；直接证明C正确.

【详解】

对于A,若。_LJ,,bLa,avp,则。与£可能平行，或相交或。在夕内，故A错.

对于B,若aL夕,a±a,blip,则出力也可能成立，故B错误.

对于C,若a〃a，all/3,aC\/3=b,如图:

7

过a作平面7,使得yla=〃，过a作平面。，使得9c6=加，

因为a〃a,auy,所以出/",同理a〃相，故”〃加，

而〃<Z/7,mu/3,故"〃尸，"ua,a^\fl=b,故〃〃人，故a〃），故C正确.

对于。，若。〃A,a±«,blip,则a_L4，故D错误.

故选：C.

异面直线所成的角

异面直线所成的角

（1）异面直线所成角的定义

如图，已知两异面直线a,b,经过空间任一点。，分别作直线d〃a万〃b,相交直线a',"所成

的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成角的范围

7T

异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是（0,2],

2

（3）两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的

异面直线。力，记作a.Lb.

8

【巧学妙记】

（1）求异面直线所成的角常用平移法.

平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点（线段的端点或中点）

作平行线平移，利用补形平移.

（2）求异面直线所成角的步骤

①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

③三求：解三角形，求出作出的角.

如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补

角才是要求的角.

【典例】

7.（2021•全国高一课时练习）空间中有两个角a、/，且角a、£的两边分别平行.若&=60、

则/?=.

【答案】60°或120°

【分析】

根据等角定理可得出结论.

【详解】

因为角a与。两边对应平行，但方向不确定，所以a与。相等或互补，故Q=60°或120°.

故答案为：60'或120°.

8.（2021•浙江高一期末）已知正方体—，棱长为2,E为线段上的动

点，。为AC的中点，P为棱CG上的动点，则以下选项中正确的有（）

A.直线用。，平面A/G

B.AELB.C

9

TT

C.异面直线A。与BO所成角为§

D.若直线m为平面3£>P与平面4Ap的交线，则m_LAC

【答案】ACD

【分析】

选项A：通过证明直线片。，平面AtBCt可作出判断；

选项B：由团A4c是等边三角形可以很容易作出判断：

选项C：BDHBQ、,所以NA〃旦（或其补角）为异面直线A"与80所成的角，从而可

求解判断；

选项D：结合线面平行的判定定理和性质定理可作出判断.

【详解】

对于选项A：因为平面AQCiA，44匚平面4耳。|。「所以。

又4G，,且DDqD3i=A,所以4G1平面D[B]BD，又6Qu平面D、B、BD,

所以AG_LBQ.同理可证48，，又ACA48=4，所以直线BQ_L平面A^G.

故A正确（如图1）；

对于选项B：因为A4=AC=4C,所以团做C是等边三角形，因此，只有当点E是qC

的中点时，才有AE_LBC.故B错误（如图1）；

对于选项C：因为BD//BR,所以NAD国（或其补角）为异面直线A4与5。所成的角，

TT

乂回A£）4显然是等边三角形，所以NA〃4=§.故C正确（如图1）；

对于选项D：因为BD〃,BDU平面BQF，4。（=平面用。产，所以B。//平面

gQP,又平面6OPD平面4=3Ou平面3OP，所以6。//机.又BOJ.AC,

所以相_LAC.故D正确（如图2）.

故选：ACD.

10

9.（2021•浙江高一期末）在正方体A3CD-AgGA中，则异面直线AC与的所成角

为（）

R冗兀冗

A.-B.—C.—D.—

6432

【答案】C

【分析】

利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形ABG为等边三角形,

7T

故AG与BG的夹角为60°，从而得出异面直线的夹角为1.

【详解】

正方体ABCD-agG。中，AC//AG，异面直线AC与5G的所成角即为4G与5G

所成的角，而三角形ABG为等边三角形，故4G与5G的夹角为60°，所以异面直线

TT

AC与BG的所成角为巴.

故选：c

【点睛】

II

熟悉正方体的特点，以及求异面直线夹角通常转化为共面直线夹角来解决，注意几何图形的

特点.

空间直线与平面、平面与平面的位置关系

1.直线与平面、平面与平面位置关系的分类

（1）直线和平面位置关系的分类

①按公共点个数分类：

,直线和平面相交一有且只有一个公共点

＜直线和平面平行一没有公共点

直线在平面内一有无数个公共点

②按是否平行分类:

（直线与平面平行

'直线与平面相交

直线与平面不平行

直线在平面内

③按直线是否在平面内分类:

直线在平面内

直线和平面相交

直线不在平面内（直线在平面外）

直线和平面平行

（2）平面和平面位置关系的分类

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:

（1）两个平面平行一一没有公共点；

（2）两个平面相交一一有一条公共直线.

2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

图形语言符号语言公共点

12

直线。与平面a相交a^\a=A1个

___a

直线a与平面a平行//a//a0个

直线a在平面a内aua无数个

平面a与平面月平行//a//p0个

//

平面a与平面口相交aPl£=/无数个

【巧学妙记】

13

;（1）唯一性定理

/

Z①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

Z②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

/③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

;④过平面外一点有且只有一条直线与己知平面垂直.

/

（2）异面直线的判定方法

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线

【典例】

10.（2021•全国高一课时练习）如图，在长方体ABCD-481GD1的棱中，与棱AB垂直的棱

A.2条B.4条

C.6条D.8条

【答案】D

【分析】

根据线线之间的垂直关系判断即可.

【详解】

在长方体A8CD—481JD1的棱中,与棱A8垂直的棱有8C,SiCi,AiDi,AD,AAi,BBi,CCi,

DDi,共8条.

故选：D.

IL（2021•鄂尔多斯市第一中学高一期末（理））如图是正方体的平面展开图.则在这个正方

体中：

①与ED平行；②CN与8E是异面直线；③CN与成60°角；④DM与BN是

异面直线.

14

以上四个命题中，正确的命题序号是（)

A.①③B.②④C.①④D.③④

【答案】D

【分析】

将展开图复原为几何体，如图所示，根据正方体的性质，逐个分析判断即可

【详解】

解：展开图复原的正方体如图所示，由正方体的性质可知

5M与£0是异面直线，所以①错误；

CN与BE是平行直线，所以②错误：

连接AN,AC,则AN与所以NANC或其补角为异面直线CN与所成的角，因

为AANC为等边三角形，所以N/WC=6（）°,所以CN与成60°角，所以③正确；

DW与8N是异面直线，所以④正确，

故选：D

12.（2021•山西运城市•高二期末（理））已知a,h,。是空间中的三条相互不重合的直线,

15

下列命题中：

①若。与〃相交，。与。相交，则。与c相交；

②若a//b,bile,则a〃c；

③若au平面a,bu平面夕，则a,。一定是异面直线；

④若“，匕与。成等角，则a〃b.

真命题是.（填序号）

【答案】②

【分析】

在空间考虑两直线都与第三条直线直线相交的所有可能情况可判断①，根据平行公理可判

断②，考虑在两个平面内的两条直线的所有位置关系可判断③，两条直线与第三条直线成

等角，这两条直线可相交可平行可异面判断④.

【详解】

当a与b相交，。与。相交时，。与。可能相交、平行，也可能异面，故①不正确；

由公理4知②正确；

当au平面a,bu平面少时，a与匕可能平行、相交或异面，故③不正确；

当a,b与c成等角时，。与人可能相交、平行，也可能异面，故④不正确.

故答案为：②

跟踪训练.

一、单选题

1.设。，b为两条直线，以下选项中能推出勿小的个数是（）

①a,〃与同一个平面所成角相等

②“，人垂直于同一条直线

③“，分平行于同一个平面

④a,b垂直于同一个平面

A.1B.2C.3D.4

2.已知直线〃2和平面名，，则下列结论一定成立的是（)

16

A.若加//a,a//〃，则根//力B.若〃?_La,akp,则根//月

C.若〃?_La,al1（3,则机_L/?D.若m//a,aL/3,则根J■力

3.己知。，尸是两个不同的平面，m,c是平面a和夕之外的两条不同的直线，且

则"加〃""是"租//。"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设a、£是互不重合的平面，/、〃、〃是互不重合的直线，下列命题正确的是（）

A.若znua,〃ua,IX.m,ILn,则/_LaB.若/_L〃，mX.n,则/〃/〃

C.若/x//a,〃//£,aL（3,则加_|_〃D.若/J_a,〃/夕，则a_L£

5.设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则。与6（）

A.共面B.相交C.异面D.异面或相交

6.已知加，"，是不同的直线，a,夕是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.若加〃则加平行于平面a内的任意一条直线

B.若/W〃a,nila,则加//〃

C.若。〃尸，机ua,nu0,则加〃〃

D.若alip,祖ua,则mlip

7.如图ABC。-44GA是长方体，。是BQ的中点，直线AC交平面A4。于点M，

则下列结论箱堡的是（）

A.A,M，。三点共线

B.M，0,4，A四点共面

17

C.B,B},o,M四点共面

D.A,0,C,M四点共面

8.如图，在长方体ABC。—AAC。中，AO=A41=2,A6=4.E,M,N分别是棱

GA，AB,8c的中点，若点尸是平面内的动点，且满足PE//平面4MN,则线

段PE长度的最小值为（）

2回

Ur•------------D.272

5

二、多选题

9.在正方体ABCD-AfiG。中，异面直线”和人分别在上底面A4GA和下底面

A8CO上运动，。和匕的夹角为6,且sin6>=詈，当A。与。所成的夹角为60。时，则

a与侧面AO24所成角的正切值可能为（）

、cr11

A.3B.J3C.—D.—

23

10.已知正四棱锥的侧面积为46，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（）

A.棱锥的高与底面边长的比为在

2

B.侧棱与底面所成的角为60°

C.棱锥的每一个侧面都是等边三角形

D.棱锥的内切球的表面积为（8-46）乃

三、填空题

11.直四棱柱A8CO-4与GA,已知NABC=120。，四边形ABC。是边长为2的菱形,

18

且44=4,E为线段上动点，当BE=时，KE与底面ABC。所成角为

60°.

12.在三棱锥产一ABC中，己知B4=PB=PC=AC,A3_L8C,则直线PB与平面ABC

所成角的余弦值为.

13.在正方体A5CO-A4G。中，42与平面ABGR所成角的正切值是.

四、解答题

14.开普勒说："我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界

的秘密，"波利亚也曾说过："类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面

几何中的类比问题."在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很

多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形

可以推广到平行六面体等.如图，如果四面体。-即P中棱OE，DF，DP两两垂直，

那么称四面体D—EEP为直角四面体.请类比直角三角形A8C（。表示斜边上的高）中的

性质给出直角四面体D-EFP中的两个性质，并给出证明.

直角三角形A8C直角四面体。-EFP

条件CA±CBDEIDF'DELDP，DFA.DP

结论1a2+b2-c2

111

结论2亍丁F

真题再现

19

也模拟检测,

参考答案

跟踪训练

1.A

【分析】

本题利用空间中线线、线面的平行和垂直的性质和判定定理进行判断即可.

【详解】

解：①若。，。与同一平面所成角相等，则。，b可能相交或异面，故①错误，

②若。，人都垂直同一直线，则。，。可能相交，平行，异面，故②错误，

③若“，匕平行于同一平面，则。，。可能相交，平行，异面，故③错误，

④若a，b垂直于同一个平面，则a//〃二④正确，

故选：A.

2.C

【分析】

利用特例排除法，容易否定ABD,利用线面、面面垂直、平行的的关系可以断定C正确.

【详解】

选项A中，也可能选项B中，“2也有可能在月内；选项D中，m与6的关系不

确定，故可排除A,B,D.由线面平行和垂直的判定与性质可以看出C正确.

故选C.

3.A

【分析】

根据充分条件和必要条件的概念，结合点线面的位置关系，即可判断.

20

【详解】

充分性：因为〃_L，，机〃〃，所以，〃，尸，又因为所以相〃u或wuc,又因

为m是平面。和£之外的直线，所以加//a；

必要性：因为aJ■尸，mlla，所以〃//尸或加与£相交或mu/7,又因为〃_£4，所

以“与〃平行，相交，异面，所以必要性不成立：

所以"〃〃/〃"是"mlla"的充分不必要条件.

故选：A.

4.D

【分析】

根据题意，利用平面内直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系依次对下列各选项

进行判断即可.

【详解】

解：A选项，若/_L/“，/_!_〃，mua,"ua,不能推出/_L。，缺少条件相与〃相交，

故A不正确.

8选项，/_L〃，mln,不能得出/1|加，可能/与加异面或者相交，故8不正确.

C选项，若m||a,〃||夕，aW则〃?与〃可能平行，相交或异面，故C不正确.

。选项，若/〃△，则在£内一定存在一条直线用使得川根，又/_La，则加，a,则。，尸，

故。正确.

故选：D.

5.D

【分析】

作出对应图形，可判断出a、b直线的位置关系.

【详解】

如图，长方体ABCD-AB'C'D'中，

21

D'C

当AB所在直线为。，8C所在直线为b时，a与b相交；

当AB所在直线为。，B'C所在直线为b时，。与b异面.

故选：D.

6.D

【分析】

利用长方体模型依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

如图，设平面ABC。为平面a,平面4耳。。|为平面一，

对于A选项，设机为宜线A4,满足m〃a，但直线A4与立线8C是异面直线，故A选

项错误；

对于B选项，设机为直线A£.直线片a为"，满足加〃a，山/a,但不满足加〃〃，故

B选项错误；

对于C选项，设加为直线8C,直线为“，显然加〃〃不满足，故C选项错误；

对于D选项，由面面平行的性质即可得该命题正确.

故选：D

22

7.C

【分析】

连接AG，AC,利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.

【详解】

解：连接AG，AC,则4G//AC,

.••A，C1,C,A四点共面，

ACu平面,

MeA.C,MG平面ACGA,

'：Me平面AB.,

23

点M在平面ACC,A,与平面ABA的交线上，

同理点。在平面ACGA与平面ABQ的交线上,

.•.AM,。三点共线，故A正确；

・••A,M,0三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，

，A,M,O，A四点共面，A,M,C,O四点共面，故B,D正确：

BB,E平面AB,D,,OMu平面A与R,B】G平面4片。且B,I0M,

..8片和OW是异面直线，

.•.B,瓦,。M四点不共面，故C错误.

故选：C

8.C

【分析】

如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面用MN的法向量，利用向量

法表示线面平行得出A后=(-羽2,2-2为，结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】

如图设立。-孙z空间坐标系，山题意可知：

0(0,0,0),8(240),M(2,2,0),N(l,4,0),

瓦(2,4,2),E(0,2,2),设P(x,0,z),xe[0,2],

则可而=(0,-2,-2),瓦同=(-1,0,-2),

设平面B】MN的一个法向量为n=(“,6,c),

无丽=0-2b-2c=0

由令6=1,得〃=(2,1,-1),

无瓦N=o-a-2c=Q

乂声后=(一x,2,2-z),PE//平面B]MN,

所以而_L5,解得Z=2X，所以方=(一X,2,2—2X)，

24

故同=J/+4+(2-2x)2=^5(x-1)2+y

所以阿「栏二¥.

故选：c.

9.AD

【分析】

作出图形，求得tan6=2,以直线3D为直线％，假设直线。过点A，确定直线a的位置,

可得出a与侧面AORA所成角与。的关系，再利用两角差的正切公式可求得结果.

【详解】

如下图所示，在正方体ABCD-A与GA中，4。=50=48,则AABD为等边三角形,

所以，ZAiDB=60°,不妨设直线3。为直线b,

因为BBJ/DA目.BB[=DDi，所以，四边形为平行四边形，所以，BDHBR,

由于异面直线4和6分别在上底面A4Goi和下底面ABC。上运动，。和。的夹角为氏

25

且sin”型,

5

接下来就是找出直线。的位置，如下图为上底面，

如上图所示，直线。可以是也可以是4七2,均有sin6=W，cos6=半，

tan63=2,

COS。

为方便，设直线。过点A，直线〃与侧面4。。出所成的角为/04片或/24£2,

TT3乃

由三角形的外角与内角的关系可得NRA4=。—彳，/。4七=亍—e，

由两角差的正切公式可得tan”M=tan"讣*=言=：

(r\tan----tan8tn

,CAL3九八4-1-2

tanZD.A,E)=tan(-4---0J=-.---L-Ja---n---。=——Ji---

4

因此，。与侧面所成角的正切值可能为3或;.

故选：AD.

10.ACD

【分析】

设底面边长为2«,侧棱长为6,求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当a=l,及b=2

时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.

【详解】

26

设底面边长为2。，侧棱长为分，则品悯=4xgx2axJ^H=4aJ^==4G，即

aylb1—a2=百，

而V=gX(2a)2X一.2-.2=4。力彳一2〃，又。"2一《=6,

设/(a)=3/一/(0＜。＜