假设检验与方差分析

第六章

假设检验与方差分析主讲人：马岚1参数估计和假设检验是统计推断的两个组成局部，它们都是利用样本对总体进行某种推断，然而推断的角度不同。参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计前是未知的。而在参数假设检验中，那么是先对总体参数的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。因此，本章所讨论的内容，是如何利用样本信息，对假设成立与否做出判断的一套程序。2假设检验在统计方法中的地位统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验3本章内容介绍第一节假设检验的根本原理第二节总体均值的假设检验第三节总体比例的假设检验第四节总体方差的假设检验第五节单因子方差分析4★§1假设检验的根本原理5一、假设检验的概念所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判断这个假设〔原假设〕是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以假设检验又被称为显著性检验。67二、假设检验的步骤一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤：〔1〕提出假设；〔2〕构造适当的检验统计量，并根据样本计算统计量的具体数值；〔3〕规定显著性水平，建立检验规那么；〔4〕做出判断。8〔一〕提出原假设和备择假设原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正确，假设拒绝原假设H0，那么意味着接受备择假设H1。在假设检验中，“＝〞总是放在原假设上。见下例。9例如，1989年出生的婴儿体重平均为3190克，可以提出一个命题〔假设〕：“1990年出生的婴儿与1989年出生的婴儿在体重上没有什么差异〞，于是可以这样表示：原假设与备择假设互斥，肯定原假设，意味着拒绝备择假设；否认原假设，意味着接受备择假设。10〔二〕确定适当的检验统计量，并计算统计量的具体数值检验统计量是根据所抽取样本计算的用于检验原假设是否成立的随机变量。检验统计量中应当含有所要检验的总体参数。检验统计量还应该在“H0成立〞的前提下有的分布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概率。1112〔三〕规定显著性水平显著性水平是指当原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率或风险。这个概率是人为确定的，通常取α＝0.05或0.01。这说明，当作出接受原假设的决定时，其正确的可能性〔概率〕为95％或99％。13〔四〕作出判断根据显著性水平和统计量的分布，可以找出接受域和拒绝域的临界点用计算出的检验统计量的值与临界点值相比较，就可以作出接受原假设或拒绝原假设的统计决策。14三、假设检验中的小概率原理假设检验的根本思路是应用小概率原理。所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。根据这一原理，可以作出是否接受原假设的决定。见下例。15例如，有一个厂商称其产品的合格率很高，可以得到99％，那么从一批产品中〔如100件〕随机抽取1件，这一件恰好是次品的概率就非常小，只有1％。如果厂商的宣称是真的，随机抽取1件是次品的情况就几乎不可能发生的；但如果这种情况确实发生了，就有理由疑心原来的假设，即产品中只有1％次品的假设是否成立，这时就可以推翻原来的假设，可以做出厂商的宣称是假的这样一个推断。16进行推断的依据就是小概率原理。当然，推断也可能会犯错误，即这100件产品中确实只有1件是次品，而恰好在一次抽取中被抽到了。所以上例中犯这种错误的概率是1％，即我们在冒1％的风险作出厂商宣称是假的这样一个推断。这里的1％即显著性水平。17四、假设检验中的两类错误假设检验是由局部来推断总体，因而假设检验不可能绝对准确，它也可能犯错误。所谓的犯错误有两种类型：一类错误是原假设为真却被拒绝了，犯这种错误的概率用α来表示，也称作α错误或弃真错误；另一类错误是原假设为伪却被接受了，犯这种错误的概率用β来表示，也称作β错误或取伪错误。见下表。18没有拒绝H0拒绝H0H0为真1-α（正确决策）α（弃真错误）H0为伪β（取伪错误）1-β（正确决策）19

你不能同时减少两类错误!和的关系就像翘翘板，小就大，大就小20自然，人们希望犯这两类错误的概率越小越好，但对于一定的样本量n，不能同时做到使这两类错误的概率都很小。使α和β同时变小的方法为：增大样本量。但样本量不可能没有限制，否那么就会使抽样调查失去意义。因此，在假设检验中，就有一个对两类错误进行控制的问题。21五、双侧检验和单侧检验图6-1双侧、单侧检验的拒绝域分布α/21–α

α/2–Zα/2

Zα/2

α–Zα0

α0Zα(a)双侧检验(b)左侧检验(c)右侧检验22表6-1拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系拒绝域位置P-值检验的显著性水平判断标准原假设备择假设双侧α/2H0:θ＝θ0H1:θ≠θ0左单侧αH0:θ≥θ0H1:θ<θ0右单侧αH0:θ≤θ0H1:θ>θ023在统计的假设检验中，一般是把“不能轻易否认的命题〞作为原假设，把“需要验证的问题〞作为备择假设。什么是“不能轻易否认的命题〞？一般来说，原有的理论、原有的看法、原有的状况、或者说是那些保守的、历史的、经验的，在没有充分论据证明其错误前总是被假定为正确的，作为原假设，处于被保护的位置，而那些猜测的、可能的、预期的取为备择假设。假设检验的目的就是要用事实验证原来的理论、看法、状况等是否成立，或更明确地说，是希望用事实推翻原假设。2425六、假设检验中的P值与临界值〔一〕P-值规那么所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于)具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显著性水平，那么认为原假设不太可能成立；如果P-值大于所给定的标准，那么认为没有充分的证据否认原假设。262728〔二〕临界值规那么根据所提出的显著性水平标准〔它是概率密度曲线的尾部面积〕查表得到相应的检验统计量的数值，称作临界值。用检验统计量的观测值与临界值作比较，观测值落在临界值所划定的尾部〔称之为拒绝域〕内，便拒绝原假设；观测值落在临界值划定的尾部之外〔称之为不能拒绝域〕的范围内，那么认为拒绝原假设的证据缺乏。29图6-1双侧、单侧检验的拒绝域分配α/21–α

α/2–Zα/2

Zα/2

α–Zα0

α0Zα(a)双侧检验(b)左侧检验(c)右侧检验30显然，P-值规那么和临界值规那么是等价的。在做检验的时候，只用其中一个规那么即可。P-值规那么较之临界值规那么具有更明显的优点。这主要是：第一，它更加简捷；第二，在值规那么的检验结论中，对于犯第一类错误的概率的表述更加精确。推荐使用P-值规那么。31★§2总体均值的假设检验一、单个总体均值的检验二、双总体均值是否相等的检验32一、单个总体均值的检验33343536总体均值的检验

(检验统计量)总体是否？用样本标准差S代替t检验小样本容量n否是z检验

z检验大3738394041由于P值>0.05，所以不拒绝原假设，即样本数据没有充分证据说明这天的自动包装机工作不正常。42434445464748二、双总体均值是否相等的检验495051525354【例题】某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装配时间见表6-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配方法更节约时间？〔显著性水平0.05〕表6-2两组员工设备的装配时间单位：小时新方法（x2）353129253440273231旧方法（x1）3237353841443531345556§3总体比例的假设检验一、单个总体比例的检验二、两个总体比例是否相等的检验57一、单个总体比例的假设检验5859【例题】一项调查结果声称，某市小学生每月零花钱到达200元的比例为40%，某科研机构为了检验这个调查是否可靠，随机抽选了100名小学生，发现有47人每月零花钱到达200元，调查结果能否证实早先调查40%的看法？〔〕6061二、两个总体的比例是否相等的检验6263§4总体方差的假设检验一、单个总体方差的假设检验二、两个总体方差比的假设检验64一、单个总体方差的假设检验在假设检验中，有时需要检验正态总体的方差。如，在产品质量检验中，质量标准是通过不同类型的指标反映的，有些属于均值类型，如尺寸、重量、抗拉强度等；有些属于比例类型，如产品合格率、废品率等；有些属于方差类型，如尺寸的方差、重量的方差、抗拉强度的方差等。在这里，方差反映着产品的稳定性。方差大，说明产品的性能不稳定，波动大。65666768二、两个总体方差比的假设检验如果欲检验两个总体方差是否相等，可以通过两个方差之比是否等于1来进行。实际中会遇到关注两个总体方差是否相等的问题，如比较两个生产过程的稳定性，比较两种投资方案的风险等。前面讨论两个总体均值之差检验时，假定两个总体方差相等或不等，事实上，在许多情况下总体方差是否相等事先往往并不知道，因此在进行两个总体均值之差检验之前，也可以先进行两个总体方差是否相等的检验，由此获得所需要的信息。697071§5单因子方差分析一、问题的提出二、方差分析的检验统计量三、关于方差分析的两点说明72一、问题的提出【例题】在一组给定的条件下饲养小鸡所增加的体重服从正态分布。某养鸡场欲检验四种饲料配方对小鸡增重的影响是否不相同〔假定已经经过检验说明不同饲料配方下的小鸡增重方差相等〕。为此，他们对四组初始条件完全相同的小鸡，在完全相同的其他饲养条件下，分别使用四种不同的饲料配方进行喂养。所得到的增重数据如表6-3。73饲料配方i小鸡序号j38周后小鸡个体增重yij(克)123456配方13704204504901730配方24903804003905004102570配方33303404003804701920配方44104804004203804102500160016201650168013508208720表6-3四种不同饲料配方下小鸡的增重情况74对于前述例题对于类似本例的问题，一般地，把随机变量分组的数目记作m，我们可建立以下假设：75二、方差分析的检验统计量76777879【例题】利用表6-3中的数据进行单因子方差分析〔显著水平为α=0.05〕。80818283表6-4方差分析表变异来源离差平方和自由度均方差值P-值临界值组间7112.1432370.7141.012320.4115733.196774组内39811.67172341.863总计46923.8