山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第16章-调和四边形

第16章调和四边形我们称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形．本章我们介绍调和四边形的一些有趣性质及应用的例子．沈文选．论调和四边形的性质及应用[J]．中学教研〔数学〕，2023(10)：35沈文选．论调和四边形的性质及应用[J]．中学教研〔数学〕，2023(10)：35—39．沈文选．再谈调和四边形的性质及应用[J]．中学教研〔数学〕，2023(12)：31—34．性质1圆内接四边形为调和四边形的充要条件是对顶点处的两条切线与另一对顶点的对角线所在直线三线平行或三线共点．证明当圆内接四边形为筝形时，如图16-1(1)，，时，对角线必过圆心，此时，过、的两条切线，对角线均与垂直，因而它们相互平行．当圆内接四边形不为筝形时，如图16-1(2)，设点是对顶点，处两条切线的交点．充分性，当点在直线上时，那么由，，，有，故．必要性．当时，由正弦定理，有．联交于点，延长交于点，延长交于点，那么．此时，．对应用塞瓦定理的逆定理，知，，三线共点．故过、处的两切线，直线共点于．注：此性质提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形如，或，再得到交点，最后作切线或割线确定点或点．性质2圆内接四边形为调和四边形的充要条件是过一顶点且与四边形的对角线平行的直线交圆于一点，这交点、对角线的中点、该顶点的对顶点三点共线．证明如图16-2，设为圆内接四边形，过作交圆于，为的中点．由知四边形为等腰梯形，此时，，．注意到与互补，那么直线过的中点、、三点共线．注：此性质也提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形，如，过作交圆于点，过点、的中点的直线交圆于点，那么四边形即为调和四边形．性质3圆内接四边形为调和四边形的充要条件是相对的角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上．证明如图16-3，设为圆内接四边形．充分性．设的平分线与的平分线的交点在对角线上，那么由角平分线的性质知，，，以而，故．必要性．由，有．设的平分线交于，的平分线交于，那么，．于是，即有，从而，即与重合．这说明的平分线与的平分线的交点在对角线上．性质4圆内接四边形为调和四边形的充要条件是两条对角线的中点是四边形的等角共轭点．证明如图16-4，设，分别为圆内接四边形的对角线，的中点．充分性．假设，是四边形的等角共轭点．即有，①．②由①，并注意到，那么知，即，亦即，从而．③由②，有，再注意到，那么知，即有，从而．④由③，④，即有．必要性．假设．注意到托勒密定理，有，那么，即有．又，于是，即有．同理，，，．故点，为四边形的等角共轭点．性质5圆内接四边形为调和四边形的充要条件是以每边为弦且与相邻的一边相切于弦的端点的圆交过切点的一条对角线于中点．证明如图16-5，设，分别是圆内接四边形的对角线，的中点．充分性．记过点与切于点的圆为，记过点与切于点的圆为，依次得，；记与切于点的圆为，过与切于点的圆记为，依次得，．当过点时，由弦切角定理，知，即．当过点时，由弦切角定理，知，即．同理，，．从而，点，为四边形的等角共轭点．又，分别为，的中点，由性质4知为调和四边形．必要性．当为调和四边形时，由性质4证明中，有．有，由弦切角定理的逆定理知，点在圆上．同理，点在圆，，上；点在圆，，，上．推论1在调和四边形中，性质5中的圆，，，共点于的中点，圆，，，共点于的中点．推论2在调和四边形中，性质5中的圆，，，共点于点，圆，，，共点于点．因而，，也是四边形的等角共轭点．事实上，设圆与交于点，因，为等角共轭点，那么，即知，，，四点共圆，即圆过点．同理，圆也过点．放圆，，，共点于．同理，圆，，，共点于．性质6圆内接四边形为调和四边形的充要条件是某一顶点(不妨设为点)位于劣弧上，又在优弧上取两点，，使得，分别为弧，的中点，过作交圆于点时，点、的内心、点的对顶点三点共线．证明如图16-6，由题设知，，三点共线，，，三点共线．因为的内心，由内心的性质并注意，有，，从而为平行四边形．即过的中点．故由性质2，有，，三点共线过的中点、、三点共线．性质7圆内接四边形为调和四边形的充要条件是某一顶点〔不妨设为点〕位于劣弧上，又在优弧上取两点，，使得，分别为弧，的中点，在劣弧上任取点，记，分别为，的内心，此时，，，四点共圆．证明如图16-7，由题设知，，，及，，分别三点共线，联结，，那么，．注意到内心的性质，有，．于是，，，，四点共圆．推论3题设同性质7，设为的内心，那么．事实上，如图16-7，注意内心所张的角与对应顶点角的关系，知，即知，，，四点共圆．从而同理，，从而．于是，．所以，．故．推论4题设同性质7，又设为的中点，那么．事实上，如图16-7，注意到，，共线及内心的性质，有，，从而．由推论1知，即有．注意到公用，那么，从而．同理，．又，那么，即．故．性质8圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是该四边形四顶点与不在其圆上一点的连线交圆于四点为一正方形四顶点．证明如图16-8，四边形内接于，点不在圆周上，直线，，，分别交于、、、．由割线或相交弦定理，有，即知，亦即有．令点对的幂为，那么〔或〕．同理，．从而．同理，．于是．充分性．当、、、为正方形四顶点时，显然有．必要性．当时，由，可视点、、、的反演点为、、、．由反演变换的性质，可知、、、在的条件下为一正方形四顶点．注：由性质8也给出了作调和四边形的又一种方法．在《近代欧氏几何》中有如下定义：如果一个四边形的顶点是一个正方形顶点的反形，那它称为调和四边形．性质9圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是其一顶点对其余三顶点为顶点的三角形的西姆松线段被截成相等的两段．证明如图16-9，设为圆内接四边形，不失一般性，设点在的三边，，上的射影分别为，，，那么为西姆松线段．此时，，，及，，，分别四点共圆，且，分别为其直径．设的半径为，那么由正弦定理，有，．于是，四边形为调和四边形．性质10圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是一条对角线两端点处的切线交点〔或无穷远点〕，两对角线的交点调和分割另一条对角线．证明当圆内接四边形为筝形时，易证得结论，这留给读者自证．下证非筝形时情形．设圆内接四边形的两条对角线相交于点，在，处的两条切线相交于点，那么由，，有，．从而①充分性．如图16-10，当，调和分割时，即有．②此时，，，共线，且由，有．从而．③由①，②，③，得，即，亦即四边形为调和四边形．必要性．如图16-10，当为调和四边形时，由性质4，知，，，共线，且有③式成立．由，有．再注意到①式与③式那么有，即，亦即知点，调和分割．注：必要性也可这样证：由，有，从而．又注意到性质11有．于是，有，故、调和分割．性质11圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是两邻边之比等于此两邻边所夹对角线分另一条对角线为两段对应之比开平方．证明如图16-11，设圆内接四边形的两条对角线与交于点．当圆内接四边形为筝形时，易证得结论，这也留给读者自证．下证非筝形时情形．充分性，不失一般性，设有成立时，那么，即有，故，所以为调和四边形．必要性．当为调和四边形时，那么由性质4，知点、处的切线与直线共点于，如图16-11．于是，注意到面积关系与正弦定理，有．此时，亦有．故．由． 〔*〕注意到性质10，当为调和四边形时，，调和分割，即有．将其代入(*)式，故．注(1)必要性也可这样证，由，有．(2)由性质2，知在调和四边形中，对角线的中点是其等角共轭点，在图16-4中，设为的中点，那么，即知为的等角共轭线，亦即为的共轭中线〔即中线以该角角平分线为对称轴翻折后的直线〕．三角形的三条共轭中线的交点称为共轭重心，显然过的共轭重心，因此，对于过三角形共轭重心的线段，有．性质12在调和四边形中，点在对角线上，记、、分别为四边形，，的外接圆圆心，那么直线平分线段．证法1如图16-12，联合，，，．设为的中点，那么由调和四边形的性质4，知，即有．设直线交于点，此时，，，注意到一个角的两边与另一个角的两边对应垂直时，那么这两个角相等或相补，即知，．于是，由正弦定理有，．从而．故．证法2如图16-12，设为的中点，那么由性质4，知，亦即．又，即有．从而．①作，的外接圆，过点作的切线分别交，于点，．联结所在，那么由，有．②由①、②有，亦即．同理，．而．于是，知．作于，作于，由垂径定理，知，分别为，的中点．在直角梯形中，即为其中位线所在直线，故它一定平分．下面给出上述性质应用的一些例子．例1〔2003年国家集训队训练题〕点为的外接圆上劣弧内的动点，，分别为、的内心．求证：(1)的外接圆过定点；(2)以为直径的圆过定点；(3)的中点在定圆上．事实上，参见图16-7对于(1)，视图16-7中的为，由性质7知，的外接圆过定点即图16-7中的点；对于(2)，由性质7后的推论3，知以为直径的圆过定点；对于(3)，由性质7后的推论4，知的中点在图16-7中的以为直径的定圆上．例2〔2023年国家集训队测试题〕，分别是锐角的外接圆的劣弧，的中点，是的中点，是劣弧上的一点．设，的内心分别为，．假设的外接圆与圆的另外一个交点为，的内心为．证明：，，三点共线．事实上，参见图17-7与利用性质7与性质6，即证得结论．例3〔IMO45预选题〕直线上的三个定点依次为，，，为过，且圆心不在上的圆，分别过，两点且圆相切的直线交于点，与圆交于点．证明：的平分线与的交点不依赖于圆的选取．证法1如图16-13，点可在劣弧上，也可在优弧上．由性质3知，不管在何处，为调和四边形的相对的角，其角平分线与的交点是同一点．为方便，设点在劣弧上．设直线交圆于另一点，那么为优弧的中点．由于，均为等腰三角形，那么由面积比有，．在中，视为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有．注意到，．那么，即．亦即．故不依赖于圆的选取．证法2如图16-13，点可在劣弧上，也可在优弧上．不失一般性，设点在劣弧上，直线与圆的另一交点为，由调和四边形的性质1，知为调和四边形．设的平分线交于，那么由角平分线的性质，知．又由性质11，在调和四边形中，有．从而．故知不依赖于圆的选取．例4〔2003年IMO44试题〕设是一个圆内接四边形，点，和分别是到直线，和的射影．证明：的充要条件是和的角平分线的交点在线段上．证明如图16-14，由性质9，知的充要条件是为调和四边形．又由调和四边形的性质3，知和的角平分线的交点在线段上的充要条件是为调和四边形．故的充要条件是和的角平分的交点在线段上．例5设的内切圆分别切、、于点，，，点是圆上任意一点，且，分别交圆于点，．证明：，，三线共点．证明如图16-15，联结有关点得圆内接六边形，由塞瓦定理的推论〔即对角元形式的塞瓦定理应用正弦定理推得〕有，，三线共点．由性质1，在四边形，四边形中，分别有，．从而．故结论获证．例6〔2007年湖南省数学夏令营试题〕设的内切圆分别切、、于，，，与圆交于，，分别交圆于，，证明：的充要条件是点为的中点．证明如图16-16，联结，，由性质1，知在四边形中，有．又，当时，有，那么，即有，故．同理，．充分性获证．反之，由，有，又，那么，即有．注意到性质1，有．从而．必要性获证．例7〔2003年全国高中联赛加试题〕内有一内切圆与边切于，两点，是任一割线交圆于、两点，点在上，且．证明：．证明如图16-17，由弦切角定理，有，，又，那么．(*)联结，那么，，即知，从而．由性质1，知四边形中，有．于是．再注意到(*)式，那么．故．例8〔2023年全国高中联赛加试题〕如图16-18，，分别为锐角〔〕的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．〔Ⅰ〕求证：；(Ⅱ)在弧〔不含点〕上任取一点(，，)．记、的内心分别为、．求证：，，，四点共圆．证明〔Ⅰ〕证法1因，，三点共线，由性质6，知为调和四边形，即有．又由知为等腰梯形，有，，故有．证法2分别过，作圆的切线相交于，下证点在直线上，如图16-18．事实上，可知，，；，，分别三点共线，又由内心性质，知，，从而．又，那么，即．于是，，从而知点为的外心，即有，亦即在的中垂线上，故，，三点共线．注意到性质1，即知为调和四边形，下同证法1．(Ⅱ)由性质7即证得结论成立．例9〔2023年国家集训队选拔赛题〕在锐角中，，是边的中点，是内一点，使得．设，，的外心分别为，，．证明：直线平分线段．证明如图16-19，由是的中点，(时)，知为的共轭中线．设直线交于点，交于点，那么由性质11后中的注，知．于是，有，即有，亦即．上式说明，圆内接四边形为调和四边形．由性质12，即知直线平分线段．注：由性质12，知例9中的条件“是内一点〞，可改为“是的外接圆内一点〞，即图16-19中的线段上的点〔异于端点〕均可．例10〔2023年蒙古国家队选拔考试题〕梯形内接于圆，两底，满足，过点的切线与交于点，过的切线切圆于异于的另一点，与圆交于点，过作的平行线，分别与，交于点，．证明：为的中点．证明如图16-20，联结，，，那么由性质1知为调和四边形．联结，取的中点，那么由性质4知．又，那么．由，有，即知，，，四点共圆．因此，，于是．故为的中点．注：题设中的梯形可改为圆内接四边形，上述证明未用到这个条件．例11〔2005年国家集训队测试题〕设锐角的外接圆为，过点、作的两条切线，相交于点．联结交于点，点，分别在边，上，使得，．(1)求证：，，，四点共圆；(2)假设记过，，，的圆的圆心为，类似地定义，，那么直线，，共点．证明(1)如图16-21，欲证，，，四点共圆，只需证有．①由于，．于是，欲证①式，只需证．②设交圆于点，联结，，那么由调和四边形性质1，知为调和四边形．由性质11，知在调和四边形中，有②式，故，，，四点共圆．(2)由题设并注意到性质11后中的注，，，均与共轭中线有关，设为的共轭重心，如图16-22〔直线交于，直线交于，直线交于，那么，，〕．过分别作，，，交点如图16-22所示．下面，我们证明，，，，，六点共圆．由与位似，有．从而，由(1)知，，，四点共圆．同理，，，，及，，，分别四点共圆．于是，，即知，，，，五点共圆．由对称性，知点也在此圆上．即证得六点共圆．设此六点圆的圆心为，由于与的位似中心是，故直线过点．同理，直线，也过点．证毕．练习十六1．在调和四边形中，的平分线交于，为的中心．设四边形的外接圆圆心为，那么，．2．在调和四边形中，，分别为对角线，的中点，那么，，且．3．(2001年第50届保加利亚奥林匹克题)非等腰的内切圆圆心为，其与，和分别相切于点，和．，交圆于，．的和的平分线分别交和于点，，证明：(1)是的平分线；(2)如果和是和的两外接圆交点，那么点在直线上．4．〔2005年福建省竞赛题〕在直角三角形中，，它的内切圆分别与边，，相切于点，，．联结，与内切圆相交于另一点．联结，，，．．求证：(1)；(2)．5．〔2023年蒙古国家队选拔考试题〕梯形内接于圆，两底，满足，过点的切线与交于点，过的切线切圆于异于的另一点，与圆交于点，过作的平行线，分别与，交于点，．证明：为的中点．6．〔2006年罗马尼亚国家队集训测试题〕在凸四边形中，记为与的交点，如果为的陪位中线，为的陪位中线．证明：为的陪位中线．7．〔2023年中国国家队集训测试题〕设是一个圆内接四边形，是锐角，且．过，两点的圆与直线相切，是圆在四边