2022-2023学年湖南省湘潭一中高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖南省湘潭一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（1+2i）i3+2i2＝（）A．2﹣i B．﹣i C．﹣4﹣i D．﹣2i2．（5分）某高中共有学生2400人，其中高一、高二、高三的学生人数比为5：4：6，现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本，则应从高三年级抽取的人数为（）A．32 B．40 C．48 D．563．（5分）根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为（）地区石家庄唐山秦皇岛邯郸邢台保定张家口人口数10640458771798331368799413990711110692426104118908地区承德沧州廊坊衡水定州辛集雄安新区人口数335444473007835464087421293310959865946281205440A．1095986 B．7717983 C．9242610 D．94139904．（5分）一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则V＝（）A． B．6π C． D．8π5．（5分）小方将在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活动，则他选择的两天恰好是相邻的两天的概率为（）A． B． C． D．6．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（）A． B． C．1 D．7．（5分）在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB＝2sin∠ACB，BC＝6，AB＝4，则△ABC的面积为（）A．2 B．3 C．2 D．48．（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知M，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足||＝||＝||，++＝，•＝•＝•，a+b+c＝（a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（）A．M，N，P B．M，N，O C．M，O，P D．N，O，P二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数，若m，z﹣i∈R，则（）A． B．z在复平面内对应的点在第四象限 C． D．z+2i的虚部为3（多选）10．（5分）一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从扑克牌中随机取出1张，M＝“取出的牌为10”，N＝“取出的牌为红桃”，P＝“取出的牌为黑桃9”，则（）A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立（多选）11．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝4，，则（）A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的体积为 C．能够被完整放入该四棱台内的圆台的侧面积可能为9π D．该四棱台的外接球的表面积为33π（多选）12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2﹣b2＝c，则（）A．A＝2B B．B＝2A C．a的取值范围是（1，） D．a的取值范围是（，）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知i3（m+i）＝1，则实数m的值为．14．（5分）已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为．15．（5分）已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，定义×为向量与的向量积，×是一个向量，它的模|×|＝||||sinθ．若•＝k|×|，则（1）当k＝时，θ＝；（2）若向量与为单位向量，当k＝时，在+上的投影向量（与+同向的单位向量为）为．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，Q，H分别为所在棱的中点，则直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量＝（﹣3，0），＝（μ+3，﹣1），＝（1，λ）．（1）若λ＝8，μ＝﹣6，求向量﹣与的夹角；（2）若（+）⊥且（5+3）∥，求λ与μ的值．18．（12分）某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50，100]内，并将收集到的数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计A校这300名学生成绩的75%分位数；（2）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ1，B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ2，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．19．（12分）已知在△ABC中，A+C＝5B，AB＝，BC＝4．（1）求sinC；（2）若D为BC边上一点且，求△ADC的面积．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝2，CD＝PC＝1，E，G分别为BP，AB的中点．（1）证明：CE∥平面ADP；（2）从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，则按第一个计分，①求点E到平面ADP的距离；②求点E到平面PDG的距离．21．（12分）某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．（1）求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；（2）求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率．22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点C1在平面B1CD1的射影为H．（1）证明：H为△B1CD1的垂心．（2）若AB＝2BC＝2BB1＝4，且点A在平面B1CD1的射影为点G，求三棱锥A﹣B1GH的体积．

2022-2023学年湖南省湘潭一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（1+2i）i3+2i2＝（）A．2﹣i B．﹣i C．﹣4﹣i D．﹣2i【分析】根据复数的乘法求解即可．【解答】解：（1+2i）i3+2i2＝（1+2i）（﹣i）﹣2＝﹣i．故选：B．【点评】本题考查了复数的乘法，属于基础题．2．（5分）某高中共有学生2400人，其中高一、高二、高三的学生人数比为5：4：6，现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本，则应从高三年级抽取的人数为（）A．32 B．40 C．48 D．56【分析】根据分层抽样的定义，计算即可．【解答】解：高一、高二、高三的学生人数比为5：4：6，现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本，则应从高三年级抽取的人数为120×＝48．故选：C．【点评】本题考查分层抽样方法，属于基础题．3．（5分）根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为（）地区石家庄唐山秦皇岛邯郸邢台保定张家口人口数10640458771798331368799413990711110692426104118908地区承德沧州廊坊衡水定州辛集雄安新区人口数335444473007835464087421293310959865946281205440A．1095986 B．7717983 C．9242610 D．9413990【分析】由题意，根据百分位数的定义进行求解．【解答】解：将这14个地区的数据按从小到大排列：594628，1095986，1205440，3136879，3354444，4118908，4212933，5464087，7111106，7300783，7717983，9242610，9413990，10640458，因为14×85%＝11.9，所以这14个地区的数据的第85百分位数为第12个数据，即这14个地区的数据的第85百分位数为9242610．故选：C．【点评】本题考查百分位数，考查了逻辑推理和运算能力．4．（5分）一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则V＝（）A． B．6π C． D．8π【分析】由已知直接利用球的体积公式，圆柱的体积公式建立等量关系求解V的值．【解答】解：由题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积，已知玻璃球的半径等于圆柱形玻璃杯的底面半径为2，则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为4π，若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，此时水面的高度为4，∴4π×4＝，可得V＝．故选：C．【点评】本题考查球的体积公式，圆柱的体积公式，考查运算能力和数学思维能力，是中档题．5．（5分）小方将在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活动，则他选择的两天恰好是相邻的两天的概率为（）A． B． C． D．【分析】由古典概型公式计算即可．【解答】解：小方在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活动，共有种不同的选择方法，其中两天恰好是相邻的两天的有5种，故他选择的两天恰好是相邻的两天的概率为．故选：B．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．6．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（）A． B． C．1 D．【分析】根据线线平行即可得∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，由三角形的边角关系即可求解．【解答】解：连接AC，BD，设AC∩BD＝O，则O是AC，BD的中点，连接OE，由于E是PC的中点，所以OE∥PA，则∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，，由于PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，而OB⊂平面ABCD，所以OE⊥OB，则．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成的角的计算，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB＝2sin∠ACB，BC＝6，AB＝4，则△ABC的面积为（）A．2 B．3 C．2 D．4【分析】分别在△ABD，△ABC中由正弦定理可得＝，设AC＝2k，AD＝3k，再由余弦定理可得cosB的表达式，可得k2的值，进而可得cosB的值，再求可得sinB的值，代入三角形的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理可得＝，在△ABC中，＝，两式相比可得＝，因为3sin∠ADB＝2sin∠ACB，所以＝，设AC＝2k，AD＝3k，由余弦定理可得cosB＝＝，又因为BC＝6，AB＝4，D为BC的中点，所以BD＝3，即＝，解得k2＝1，所以cosB＝＝，可得sinB＝，所以S△ABC＝AB•BC•sinB＝×4×6×＝4．故选：D．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．8．（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知M，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足||＝||＝||，++＝，•＝•＝•，a+b+c＝（a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（）A．M，N，P B．M，N，O C．M，O，P D．N，O，P【分析】由题设条件，分别判定M为外心，N为重心，O为垂心，点P的位置和a，b，c有关，故不一定，由此得出结论．【解答】解：因为M，N，O，P为△ABC所在平面上的点，则有：由||＝||＝||，可知点M为△ABC的外心，设BC边的中点为D，则，又++＝，∴，所以2，即A，N，D三点共线且点N为靠近点D的三等分点，故点N为△ABC的重心，由a+b+c＝可知，当a＝b＝c时，点P是△ABC的重心，反之则不是，由•＝•可得：＝＝0，即OB⊥AC，同理可得：OC⊥AB，OA⊥BC，故点O为△ABC的垂心，由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过M，N，O三点．故选：B．【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积性质，属中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数，若m，z﹣i∈R，则（）A． B．z在复平面内对应的点在第四象限 C． D．z+2i的虚部为3【分析】根据复数运算法则化简，然后根据条件m，z﹣i∈R，解得m＝7，逐个判断选项即可．【解答】解：，因为z﹣i∈R，所以，解得m＝7，则z＝2+i，，A正确；z在复平面内对应的点为（2，1），在第一象限，B错误；，C正确；z+2i＝2+3i，虚部为3，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．（多选）10．（5分）一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从扑克牌中随机取出1张，M＝“取出的牌为10”，N＝“取出的牌为红桃”，P＝“取出的牌为黑桃9”，则（）A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立【分析】利用互斥事件、独立事件与对立事件的定义与概率公式逐一判断即可．【解答】解：因为M＝“取出的牌为10”，N＝“取出的牌为红桃”，P＝“取出的牌为黑桃9”，所以M与N可以同时发生，M与P不能同时发生，所以M与N不互斥，M与P互斥，故A错误，B正确；因为，所以，故C正确；因为N与P的并事件不是全事件，所以N与P不对立，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查互斥事件、独立事件与对立事件的定义与计算，属中档题．（多选）11．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝4，，则（）A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的体积为 C．能够被完整放入该四棱台内的圆台的侧面积可能为9π D．该四棱台的外接球的表面积为33π【分析】根据正四棱台的性质分析，求得四棱台的高为3，然后根据体积公式、外接球的表面积，内接圆台的侧面积逐个判断选项．【解答】解：因为AB＝2，A1B1＝4，，所以该四棱台的高为，A正确．该四棱台的体积为，B错误．当圆台刚好能够被完整放入该四棱台时，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，圆台的母线长为，侧面积为，，C正确．设该四棱台的外接球的球心到上底面的距离为x，则2+x2＝8+（3﹣x）2，解得，则该四棱台的外接球的半径，该四棱台的外接球的表面积为4πR2＝33π，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查棱台的性质和体积，以及圆台的侧面积和棱台的外接球的表面积，考查转化思想和运算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2﹣b2＝c，则（）A．A＝2B B．B＝2A C．a的取值范围是（1，） D．a的取值范围是（，）【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（A﹣B）＝sinB，可求A＝2B，即可判断A，B；利用二倍角公式，正弦定理可得a＝2cosB，由题意可求范围B∈（，），利用余弦函数的性质即可求解a的取值范围，即可判断C，D．【解答】解：因为b＝1，a2﹣b2＝c，所以a2﹣b2＝bc，由正弦定理得sin2A﹣sin2B＝sinBsinC，由二倍角公式得﹣＝sinBsinC，可得（cos2B﹣cos2A）＝sinBsinC，由和差化积公式可得sin（A+B）sin（A﹣B）＝sinBsinC，即sinCsin（A﹣B）＝sinBsinC，因为△ABC为锐角三角形，所以C∈（0，），sinC≠0，所以sin（A﹣B）＝sinB，所以A﹣B＝B或A﹣B+B＝A＝π（舍去），即A＝2B，故A正确，B错误；因为sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理可得＝2cosB，即a＝2cosB，由题意得0＜A＝2B＜，解得B∈（0，），又0＜C＝π﹣3B＜，解得B∈（，），又B∈（0，），可得B∈（，），所以cosB∈（，），a＝2cosB∈（，），即a的取值范围是（，），故C错误，D正确．故选：AD．【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知i3（m+i）＝1，则实数m的值为0．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：i3（m+i）＝1，则﹣i（m+i）＝1﹣mi＝1，即m＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．14．（5分）已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为．【分析】根据分层抽样的平均数和方差的公式，准确计算，即可求解．【解答】解：由题意得，这25名学生每人作品数量的平均数为，所以方差为．故答案为：．【点评】本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．15．（5分）已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，定义×为向量与的向量积，×是一个向量，它的模|×|＝||||sinθ．若•＝k|×|，则（1）当k＝时，θ＝；（2）若向量与为单位向量，当k＝时，在+上的投影向量（与+同向的单位向量为）为．【分析】（1）由题意可知，||||cosθ＝||||sinθ，求出tanθ的值，进而求出θ；（2）先求出cosθ的值，进而求出，再利用公式||＝求出||的值，再结合投影向量的定义求解即可．【解答】解：（1）∵•＝|×|，且|×|＝||||sinθ，∴||||cosθ＝||||sinθ，∵与为两个非零向量，∴||≠0，||≠0，∴tanθ＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝；（2）当k＝时，•＝|×|，∴||||cosθ＝||||sinθ，∵向量与为单位向量，∴||＝||＝1，∴cosθ＝sinθ，又∵sin2θ+cos2θ＝1，∴，∴sin2θ＝，∵θ∈[0，π]，∴sinθ≥0，∴sinθ＝，∴cosθ＝，∴＝||||cosθ＝，∴||＝＝＝＝，∴在+上的投影向量（与+同向的单位向量为）为＝＝．故答案为：（1）；（2）．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，Q，H分别为所在棱的中点，则直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为．【分析】作出直线HC与平面EFQ所成角，解直角三角形求得所成角的正弦值．【解答】解：连接DA1，CB1，过H作HG⊥DA1，垂足为G，连接CG，由于E，F，Q分别是A1D1，DD1，CC1的中点，所以EF∥DA1，QF∥CD，由于DA1⊄平面EFQ，EF⊂平面EFQ，所以DA1∥平面EFQ；由于CD⊄平面EFQ，QF⊂平面EFQ，所以CD∥平面EFQ；由于DA1∩CD＝D，DA1，CD⊂平面A1B1CD，所以平面EFQ∥平面A1B1CD，所以HC与平面EFQ所成角，也即HC与平面A1B1CD所成角．根据正方体的性质可知CD⊥平面ADD1A1，由于HG⊂平面ADD1A1，所以CD⊥HG，由于DA1∩CD＝D，DA1，CD⊂平面A1B1CD，所以HG⊥平面A1B1CD，所以∠HCG是HC与平面A1B1CD所成角．设正方体的棱长为2，连接AC，DH，则，，解得HG＝，所以．故答案为：．【点评】本题考查空间中平行，垂直关系的判断，考查线面角的正弦值求解，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量＝（﹣3，0），＝（μ+3，﹣1），＝（1，λ）．（1）若λ＝8，μ＝﹣6，求向量﹣与的夹角；（2）若（+）⊥且（5+3）∥，求λ与μ的值．【分析】（1）根据题意，求得＝（﹣4，﹣8），结合向量的夹角公式，即可求出结果；（2）根据题意，＝（μ，﹣1），结合（+）⊥和（5+3）∥，列出λ，μ的方程组，即可求解．【解答】解：（1）当λ＝8，μ＝﹣6时，可得＝（﹣3，﹣1），＝（1，8），∴﹣＝（﹣4，﹣8），设向量﹣与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∵θ∈[0，π]，∴向量﹣与的夹角为；（2）∵＝（﹣3，0），＝（μ+3，﹣1），∴＝（μ，﹣1），∵（+）⊥，∴（）＝μ﹣λ＝0，∴μ＝λ，又∵（5+3）∥，且5+3＝（﹣12，3λ），∴3λ（μ+3）＝12，即λ（μ+3）＝4，又∵μ＝λ，∴μ（μ+3）＝4，解得μ＝1或﹣4，∴λ＝μ＝1或λ＝μ＝﹣4．【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了向量垂直和平行的坐标关系，属于中档题．18．（12分）某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50，100]内，并将收集到的数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计A校这300名学生成绩的75%分位数；（2）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ1，B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ2，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．【分析】（1）由题意，根据百分位数的定义，列出等式求解即可；（2）根据平均数的定义分别求出μ1，μ2，进而得到的值，因为A校与B校抽取的学生人数比值为3：4，所以A校抽取的学生人数占总数的校抽取的学生人数占总数的，列出等式求出μ0的值，再进行比较即可得到答案．【解答】解：（1）不妨设75%分位数为x，此时x∈[80，90），则10×0.005+10×0.015+10×0.02+（x﹣80）×0.04＝0.75，解得x＝88.75，所以估计A校这300名学生成绩的75%分位数为88.75；（2）易知μ1＝（55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02）×10＝80.5，μ2＝55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝77，此时＝＝78.75，因为统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，所以A校与B校抽取的学生人数比值为3：4，则A校抽取的学生人数占总数的校抽取的学生人数占总数的，所以A，B两个学校抽取的700名学生成绩的平均值，因为78.5＜78.75，所以μ0＜．【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及平均数的定义，考查了逻辑推理和运算能力．19．（12分）已知在△ABC中，A+C＝5B，AB＝，BC＝4．（1）求sinC；（2）若D为BC边上一点且，求△ADC的面积．【分析】（1）易得B＝，先利用余弦定理，求得AC的长，再由正弦定理，即可求出sinC的值；（2）结合同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式，可得sin∠ADC的值，再在△ACD中，利用正弦定理，求出CD的长，然后由S＝AC•CDsinC，得解．【解答】解：（1）因为A+C＝5B，且A+B+C＝π，所以B＝，A+C＝，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB＝3+16﹣2××4×cos＝7，所以AC＝，由正弦定理知，＝，所以＝，即sinC＝．（2）由（1）知，sinC＝＜，所以0＜C＜或＜C＜π，又B＝，所以C＜，所以0＜C＜，所以cosC＝＝，因为，且∠CAD∈（0，π），所以sin∠CAD＝＝，所以sin∠ADC＝sin（∠CAD+C）＝sin∠CADcosC+cos∠CADsinC＝×+×＝，在△ACD中，由正弦定理知，＝，所以CD＝•sin∠CAD＝×＝，所以△ADC的面积S＝AC•CDsinC＝×××＝．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝2，CD＝PC＝1，E，G分别为BP，AB的中点．（1）证明：CE∥平面ADP；（2）从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，则按第一个计分，①求点E到平面ADP的距离；②求点E到平面PDG的距离．【分析】（1）利用线线平行的传递性证得四边形CEFD为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）①②利用等腰梯形与勾股定理求得所需线段长，从而求得所需三角形面积，再利用等体积法即可得解．【解答】解：（1）证明：如图，取AP的中点F，连接EF，DF，因为F，E分别为PA，BP的中点，∴AB＝2EF且EF∥AB，∵AB＝2CD且AB∥CD，∴EF∥CD且EF＝CD，∴四边形CEFD为平行四边形，∴CE∥DF，∵DF⊂平面ADP，CE⊄平面ADP，∴CE∥平面ADP．（2）选①，如图，连接AC，过点D作AB的垂线，垂足为M，因为底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝2，CD＝1，则，，，∵PC⊥平面ABCD，CD⊂面ABCD，∴PC⊥CD，ABCD，∴PC⊥CD，∵CD＝PC＝1，∴，同理PC⊥AC，∵∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，∴根据余弦定理易得AC＝，∴AP＝＝2，∴由余弦定理可得，又0＜∠PAD＜π，则，∴S△ADP＝，∵CE∥平面ADP，∴点E到平面ADP的距离等于点C到平面ADP的距离，设C到平面ADP的距离为h，则由VC﹣ADP＝VP﹣ACD，得，解得，∴点E到平面ADP的距离为．选②如图，连接AC，过点D作AB的垂线，垂足为M，因为底面ABCD为等腰梯形，AB＝2，CD＝1，AB∥CD，∠DAB＝60°，则，，，∵∠DAB＝60°，AD＝AG＝1，∴△ADG为正三角形，∴AD＝AG＝DG＝CG＝CD＝1，∵CD⊂面ABCD，PC⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，同理ABCD，∴PC⊥CG，PC⊥CD，∵PC＝1，∴，∵PC＝1，∴，∴△PDG的面积为，∵E为PB的中点，∴点B到平面PDG的距离等于点E到平面PDG的距离的2倍，设B到平面PDG的距离为h，则VP﹣BDG＝VB﹣PDG，∴，解得∴，∴点E到平面PDG的距离为，【点评】本题考查线面平行的证明，点面距的求解，属中档题．21．（12分）某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．（1）求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；（2）求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3