2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A． B． C． D．2．（5分）若一组数据为1，3，4，6，7，10，13，则这组数据的第70百分位数为（）A．4 B．5 C．6 D．73．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABC，△BCD均为等边三角形，BC＝2，∠ACD＝90°，M为AD的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为（）A．0 B． C． D．14．（5分）A队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题A队回答正确的概率是（）A． B． C． D．5．（5分）某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间．高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为（）A．7.2小时 B．7.3小时 C．7.5小时 D．7.6小时6．（5分）在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则B到平面ACD的距离为（）A． B． C． D．7．（5分）已知△ABC的外接圆为圆O，圆O的直径AB＝10，且，则＝（）A．80 B．64 C．48 D．328．（5分）A，B，C，D这4个电器元件出故障的概率分别为，，p1，p2，按下图的两种连接方式，图一连通的概率为，图二连通的概率为，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有关，则p1+p2＝（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）若复数z＝m2﹣2m﹣3+i（m∈R），则下列说法正确的是（）A．若z为实数，则m＝﹣1 B．若z为纯虚数，则m＝3或﹣1 C．z在复平面内对应的点不可能在第二象限 D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限（多选）10．（5分）甲投篮5次，事件A＝“恰命中2次”，事件B＝“第3次未命中”，则与事件A∪B互斥的事件是（）A．仅第3次命中 B．第3次命中且总命中次数为2 C．第1，3，5次命中 D．第2，4，5次命中（多选）11．（5分）若（x0为复数），则下列各选项正确的是（）A．x0＝2±i B． C． D．（多选）12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别为C1D1，CC1，BC的中点，则（）A．A1E，BF为异面直线 B．平面EFG截正方体所得截面的面积为 C．EG∥平面A1C1B D．A1F⊥DE三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则＝．14．（5分）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均值为3，方差为11，则＝．15．（5分）在平行四边形ABCD中，CD的中点为E，AE交BD于F，，则x+y＝．16．（5分）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为3π，6π，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z满足|z+2i|＝5，．（1）求a；（2）若复数z1满足，求z1．18．（12分）甲袋中有3个球，2个红球1个白球，乙袋中有3个球，1个红球2个白球，从甲、乙两袋中随机各取1个球．（1）求这2个球为1个红球1个白球的概率；（2）从甲、乙两袋中取出的2个球都放入甲袋，再从甲袋中随机取1个球，求该球为红球的概率．19．（12分）某商品50天日销量（单位：件）的频率分布直方图如图所示．（1）求m；（2）估计该商品50天日销量的中位数（结果保留一位小数）；（3）估计该商品50天日销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．20．（12分）已知A（4，0），B（1，m）（m＞0），||＝5．（1）求m；（2）若点C，M满足＝（﹣1，﹣1），＝x+（2﹣x）（O为坐标原点），求||的最小值．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的体积为1，底面ABCD为平行四边形，E，F分别是PB，PC上的点，PE＝EB，PF＝2FC，平面AEF交CD于点G．（1）求；（2）求多面体ABCGFE的体积．22．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，A1B1＝2，BB1＝．（1）证明：BC1⊥A1C；（2）求A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．

2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A． B． C． D．【分析】根据复数四则运算法则计算即可．【解答】解：．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2．（5分）若一组数据为1，3，4，6，7，10，13，则这组数据的第70百分位数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】将数据数量值乘以百分比即可得出答案．【解答】解：因为7×70%＝4.9，所以这组数据的第70百分位数是第5个数据，为7．故选：D．【点评】本题考查百分位数，属于基础题．3．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABC，△BCD均为等边三角形，BC＝2，∠ACD＝90°，M为AD的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为（）A．0 B． C． D．1【分析】取BD的中点N，连接MN，CN，由题意可知异面直线AB与CM所成角的余弦值为|cos∠NMC|，求出NM，MC，NC，由余弦定理求解即可．【解答】解：如图，取BD的中点N，连接CN，MN，则MN∥AB，异面直线AB与CM所成角即为异面直线AB与CM所成角，而异面直线AB与CM所成角的余弦值为|cos∠NMC|，因为△ABC，△BCD均为等边三角形，BC＝2，所以AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，在△NMC中，，，因为∠ACD＝90°，所以，所以，，所以．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成的角，属于中档题．4．（5分）A队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题A队回答正确的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，求出甲、乙不能回答问题的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，A队中，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则甲、乙答不出的概率分别为，，故A队答出的概率为．故选：C．【点评】本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题．5．（5分）某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间．高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为（）A．7.2小时 B．7.3小时 C．7.5小时 D．7.6小时【分析】先求出抽样比，根据抽样比求出高三年级抽取的学生的平均睡眠时间，再根据三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时列式可求出结果．【解答】解：由题意得抽样比为，则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为，，，设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时，由8x+10×7.8+12×8.5＝30×8，得x＝7.5小时．故选：C．【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．6．（5分）在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则B到平面ACD的距离为（）A． B． C． D．【分析】计算可得BD⊥CD，结合平面ABD⊥平面BCD，得CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD内，作BH⊥AD于点H，则BH即为所求点B到平面ACD的距离，计算可得结果．【解答】解：由∠A＝60°，AB＝1，AD＝2，得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°＝，，则AB2+BD2＝AD2，AB⊥BD，又四边形ABCD为平行四边形，∴BD⊥CD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD内，作BH⊥AD于点H，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，∴BH⊥平面ACD，则BH即为所求点B到平面ACD的距离，在直角三角形ABD中，AB⊥BD，又BH⊥AD，∴．∴B到平面ACD的距离为．故选：D．【点评】本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）已知△ABC的外接圆为圆O，圆O的直径AB＝10，且，则＝（）A．80 B．64 C．48 D．32【分析】由题意知AC⊥BC，从而可得，即，取AC的中点M，可得，由数量积的定义求解即可．【解答】解：∵圆O的直径AB＝10，∴AC⊥BC，∴，得．取AC的中点M，则OM⊥AC，∴．故选：D．【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于基础题．8．（5分）A，B，C，D这4个电器元件出故障的概率分别为，，p1，p2，按下图的两种连接方式，图一连通的概率为，图二连通的概率为，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有关，则p1+p2＝（）A． B． C． D．【分析】根据独立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案．【解答】解：由图一得，由图二得，解得，故．故选：C．【点评】本题考查了独立事件的概率乘法公式，是基础题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）若复数z＝m2﹣2m﹣3+i（m∈R），则下列说法正确的是（）A．若z为实数，则m＝﹣1 B．若z为纯虚数，则m＝3或﹣1 C．z在复平面内对应的点不可能在第二象限 D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限【分析】根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：z＝m2﹣2m﹣3+i（m∈R），对于A，若z为实数，则，故A正确；对于B，若z为纯虚数，则，解得m＝3，故B错误；对于C，因为，所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，C错误，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．（多选）10．（5分）甲投篮5次，事件A＝“恰命中2次”，事件B＝“第3次未命中”，则与事件A∪B互斥的事件是（）A．仅第3次命中 B．第3次命中且总命中次数为2 C．第1，3，5次命中 D．第2，4，5次命中【分析】根据互斥事件的定义逐一分析即可．【解答】解：A∪B的对立事件为，与A∪B互斥的事件应为的子事件，即“总命中次数不是2次且第3次命中”，故只有AC符合．故选：AC．【点评】本题考查了互斥事件的定义，是基础题．（多选）11．（5分）若（x0为复数），则下列各选项正确的是（）A．x0＝2±i B． C． D．【分析】根据已知，利用复数概念、性质计算求解．【解答】解：因为，所以x0﹣2＝±i，所以x0＝2±i，故A正确；因为，且x0＝2±i≠0，所以，故B正确；因为，所以，所以，所以，故C错误；因为，所以，则＝，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．（多选）12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别为C1D1，CC1，BC的中点，则（）A．A1E，BF为异面直线 B．平面EFG截正方体所得截面的面积为 C．EG∥平面A1C1B D．A1F⊥DE【分析】根据图形易得EF∥A1B，即A1E，BF在同一平面，A错误；平面EFG截正方体所得的截面是边长为的正六边形，B正确；平面EGF∥平面A1BC1，C正确；DE⊥平面A1D1F，D正确．【解答】解：如图所示，易得EF∥A1B，即A1E，BF在同一平面，A错误；平面EFG截正方体所得的截面是边长为的正六边形，该正六边形的面积为，B正确；易证EF∥平面A1BC1，FG∥平面A1BC1，又EF∩FG＝F，则平面EGF∥平面A1BC1，因为EG⊂平面EFG，所以EG∥平面A1BC1，C正确；易证D1F⊥DE，又DE⊥A1D1，A1D1∩D1F＝D1，则DE⊥平面A1D1F，则DE⊥A1F，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查直线与平面平行，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则＝．【分析】利用数量积的运算法则将展开，结合求解即可．【解答】解：因为，，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题．14．（5分）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均值为3，方差为11，则＝200．【分析】由题意，根据平均数和方差的计算公式，进行求解即可．【解答】解：若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均值为3，所以＝3，即a1+a2+...+a10＝30，不妨设这组数据的方差为s2，此时，即，则．故答案为：200．【点评】本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力．15．（5分）在平行四边形ABCD中，CD的中点为E，AE交BD于F，，则x+y＝．【分析】根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定、平面向量基本定理进行求解即可．【解答】解：连接CF，因为ABCD是平行四边形，所以DC∥AB，所以△DEF∽△BAF，所以，得，所以，，得．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．16．（5分）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为3π，6π，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为．【分析】由圆台的体积公式求出圆台的高h，再由圆的面积公式求出圆台上、下底面半径，讨论当圆台的上、下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心O到下底面的距离为t，球O的半径为R，由t2+6＝（6﹣t）2+3，解方程求出t，即可求出R，再由球的表面积公式求解即可．【解答】解：设该圆台的高为h，则，解得h＝6．设圆台上、下底面半径为r1，r2，所以，，解得：，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心O到下底面的距离为t，球O的半径为R，则，所以t2+6＝（6﹣t）2+3，解得，则，故球O的表面积为．当圆台的上、下底面在球心的同侧时，设球心O到下底面的距离为x，球O的半径为R，则，所以x2+6＝（6+x）2+3，解得：，不符合题意．故答案为：．【点评】本题考查圆台与球的结构特征及其体积，表面积，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z满足|z+2i|＝5，．（1）求a；（2）若复数z1满足，求z1．【分析】（1）根据复数的模长公式即可求解．（2）根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解．【解答】解：（1）由题意得z＝a+（a﹣3）i，z+2i＝a+（a﹣1）i，所以a2+（a﹣1）2＝25⇒a＝4或a＝﹣3（舍去），故a＝4；（2）设z1＝x+yi（x，y∈R），则，x2+y2+2（x+yi）＝4+2i所以，解得或，所以z1＝1+i或﹣3+i．【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．18．（12分）甲袋中有3个球，2个红球1个白球，乙袋中有3个球，1个红球2个白球，从甲、乙两袋中随机各取1个球．（1）求这2个球为1个红球1个白球的概率；（2）从甲、乙两袋中取出的2个球都放入甲袋，再从甲袋中随机取1个球，求该球为红球的概率．【分析】（1）由题意可知2个球为1个红球1个白球可以是：甲袋取红球且乙袋取白球或甲袋取白球且乙袋取红球，分别求出其概率即可；（2）该事件等同于“从乙袋中任取1个球放进甲袋，再从甲袋中取1个球，且该球为红球”，进而可以求出结果．【解答】解：（1）记事件A1＝甲袋取红球且乙袋取白球，则，事件A2＝甲袋取白球且乙袋取红球，则，所以这2个球是1个红球1个白球的概率为；（2）该事件等同于“从乙袋中任取1个球放进甲袋，再从甲袋中取1个球，且该球为红球”，所以所求事件的概率为．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．19．（12分）某商品50天日销量（单位：件）的频率分布直方图如图所示．（1）求m；（2）估计该商品50天日销量的中位数（结果保留一位小数）；（3）估计该商品50天日销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；（2）根据中位数的计算公式结合条件即得；（3）根据平均数的计算公式即可求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.026+0.020+0.016+2m+0.010）×10＝1，解得m＝0.014；（2）设该商品50天日销量的中位数为x件，因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.014+0.020）×10＝0.34＜0.5第一组、第二组和第三组数据的频率之和为0.34+0.026×10＝0.6＞0.5，所以x∈[40，50），则0.34+（x﹣40）×0.026＝0.5，解得x≈46.2；（3）该商品50天日销量的平均数的估计值为（25×0.014+35×0.020+45×0.026+55×0.016+65×0.014+75×0.010）×10＝47.6．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的计算，属于基础题．20．（12分）已知A（4，0），B（1，m）（m＞0），||＝5．（1）求m；（2）若点C，M满足＝（﹣1，﹣1），＝x+（2﹣x）（O为坐标原点），求||的最小值．【分析】（1）由向量模长得到关于m的方程，求解即得；（2）首先求出点C坐标，进而得到的坐标，表示出模长，配方求得最小值．【解答】解：（1）由||＝5，可得32+m2＝25，又m＞0，∴m＝4．（2）由B（1，4），，可得点C坐标为（0，3），所以＝x（4，0）+（2﹣x）（0，3）＝（4x，6﹣3x），∴||＝＝＝，∵x∈R，∴当x＝时，||取最小值，最小值为＝．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的体积为1，底面ABCD为平行四边形，E，F分别是PB，PC上的点，PE＝EB，PF＝2FC，平面AEF交CD于点G．（1）求；（2）求多面体ABCGFE的体积．