高考专项训练：导数与反函数专题训练

一．选择题（共30小题）1．（2011•重庆）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（） A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x2．（2011•山东）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（） A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．153．（2011•杭州）如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（） A．导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值 B．导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值 C．函数y=f（x）在x=x3处有极小值 D．函数y=f（x）在x=x4处有极小值4．（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（） A．2 B．3 C．6 D．95．（2010•江西）若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．46．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（） A．﹣1或 B．﹣1或 C．或 D．或77．（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（） A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．8．（2008•福建）如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（） A． B． C． D．9．（2007•江西）设p：f（x）=x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x2﹣4x+3m不存在零点则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（） A．3 B． C．2 D．11．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是 A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣212．（2006•安徽）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（） A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=013．（2005•江西）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（） A． B． C． D．14．（2005•广东）函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，0） D．（0，2）15．（2004•湖北）函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是（）答案与评分标准一．选择题（共30小题）1．（2011•重庆）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（） A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．解答：解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=﹣3x2+6x|x=1=3，∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故选A．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．2．（2011•山东）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（） A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标．解答：解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题．3．（2011•杭州）如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（） A．导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值 B．导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值 C．函数y=f（x）在x=x3处有极小值 D．函数y=f（x）在x=x4处有极小值考点：函数的单调性与导数的关系。专题：应用题。分析：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（﹣∞，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+∞）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值解答：解：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（﹣∞，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+∞）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值故选C点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了识别函数图形的能力，属基础题．4．（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（） A．2 B．3 C．6 D．9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式。专题：计算题。分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．5．（2010•江西）若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4考点：导数的运算。专题：整体思想。分析：先求导，然后表示出f′（1）与f′（﹣1），易得f′（﹣1）=﹣f′（1），结合已知，即可求解．解答：解：∵f（x）=ax4+bx2+c，∴f′（x）=4ax3+2bx，∴f′（1）=4a+2b=2，∴f′（﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2，故选B．点评：本题考查了导数的运算，注意整体思想的应用．6．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（） A．﹣1或 B．﹣1或 C．或 D．或7考点：导数的几何意义。分析：已知点（1，0）不在曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．解答：解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），（1，0）代入方程得x0=0或①当x0=0时，切线方程为y=0，则，②当时，切线方程为，由，∴或a=﹣1．故答案为：﹣或﹣1点评：熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如y=ax2+bx+c的式子，应讨论a是否为0．7．（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（） A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．考点：导数的几何意义。分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y'=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴故选A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．8．（2008•福建）如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（） A． B． C． D．考点：函数的单调性与导数的关系。分析：由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．解答：解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．点评：导数的正负决定函数的单调性．9．（2007•江西）设p：f（x）=x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x2﹣4x+3m不存在零点则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的零点。专题：计算题。分析：由“f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增”，可转化为“f′（x）≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立”，即3x2+4x+m≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，用判别式解．由“g（x）不存在零点”，可知相应方程无根．根据两个结果，用集合法来判断逻辑关系．解答：解：f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增，则f′（x）≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即3x2+4x+m≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即△1=16﹣12m≤0，即；g（x）不存在零点，则△2=16﹣12m＜0，即．故p成立q不一定成立，q成立p一定成立，故p是q的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查常用逻辑用语，涉及了函数的单调性及函数零点问题．10．（2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（） A．3 B． C．2 D．考点：导数的运算。专题：综合题。分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．11．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是 A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2考点：导数的几何意义。分析：已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．解答：解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选D．点评：本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．12．（2006•安徽）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（） A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0考点：导数的几何意义；两条直线垂直的判定。分析：切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．解答：解：设切点P（x0，y0）∵直线x+4y﹣8=0与直线l垂直，且直线x+4y﹣8=0的斜率为﹣，∴直线l的斜率为4，即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，令y′=4x03=4，得到x0=1，进而得到y0=1利用点斜式，得到切线方程为4x﹣y﹣3=0．故选A．点评：熟练应用导数的几何意义，考查两条直线垂直，直线的斜率的关系13．（2005•江西）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（） A． B． C． D．考点：利用导数研究函数的单调性。分析：根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．解答：解：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，故选C．点评：本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．14．（2005•广东）函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，0） D．（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性。专题：计算题。分析：求出f′（x）令其等于0即可得到函数是减函数的区间．解答：解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．15．（2004•湖北）函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是（） A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0考点：利用导数研究函数的极值。专题：分析法。分析：用排除法．当a=0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除B，D；当a＞0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除A，进而得到答案．解答：解：当a=0时，函数f（x）=ax3+x+1=x+1是单调增函数无极值，故排除B，D当a＞0时，函数f（x）=ax3+x+1是单调增函数无极值，故排除A，故选C．点评：本题主要考查函数极值的充要条件．做选择题时要选择最快的方法是很关键的问题，因为选择题都给一定的选项，所以排除法对做选择来说是一个很重要的方法．16．（2009•四川）函数y=2x+1（x∈R）的反函数是（） A．y=1+log2x（x＞0） B．y=log2（x﹣1）（x＞1） C．y=﹣1+log2x（x＞0） D．y=log2（x+1）（x＞﹣1）考点：反函数。分析：该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．解答：解：由y=2x+1得x+1=log2y，即：x=﹣1+log2y，又∵原函数的值域是y＞0，∴函数y=2x+1（x∈R）的反函数是y=﹣1+log2x（x＞0）．故选C．点评：题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．17．（2010•江西）若函数y=的图象关于直线y=x对称，则a为（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．任意实数考点：反函数。专题：计算题。分析：因为图象本身关于直线y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案．解答：解：∵函数y=的图象关于直线y=x对称∴利用反函数的性质，依题知（1，）与（，1）皆在原函数图象上，（1，）与（，1）为不同的点，即a≠2；∴∴a=﹣1或a=2（舍去）故可得a=﹣1点评：本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．18．（2009•陕西）函数的反函数为（） A． B． C． D．考点：反函数。专题：应用题。分析：从条件中函数式数反解出x，再将x，y互换即得对数函数的函数，再依据互为反函数间的定义域与值域的关系求得反函数的定义域即可．解答：解：，逐一验证，知B正确．故选B．点评：求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．19．（2009•湖北）函数的反函数是（） A． B． C． D．考点：反函数。专题：计算题。分析：按照反函数的定义，直接求出函数的反函数．解答：解：可得2xy﹣y=x﹣2，所以把x，y互换，它就是原函数的反函数故选A．点评：解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．20．（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠）的反函数是（） A．y=（x∈R，且x≠﹣） B．y=（x∈R，且x≠） C．y=（x∈R，且x≠1） D．y=（x∈R，且x≠﹣）考点：反函数。专题：计算题。分析：从条件中函数y=（x∈R，且x≠）中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．解答：解：由函数y=（x∈R，且x≠）得：x=，∴函数y=（x∈R，且x≠）的反函数是：y=（x∈R，且x≠﹣）．故选D．点评：求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．21．（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（） A．log2x B．logx C． D．x2考点：反函数。专题：计算题。分析：欲求原函数y=ax的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．解答：解：∵y=ax⇒x=logay，∴f（x）=logax，∴a==12⇒f（x）=logx．故选B．点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．22．（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=ax﹣a（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（）=1，则函数y=（） A．log2x B． C． D．2x﹣2考点：反函数。专题：计算题。分析：由f（）=1可得f﹣1（1）=，即a1﹣a=，解出a的值，即得函数y的解析式．解答：解：∵f（）=1，∴f﹣1（1）=，由题意知a1﹣a=，∴a=2，y=ax﹣a（a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．点评：本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系．23．（2008•重庆）函数y=10x2﹣1（0＜x≤1）的反函数是（） A． B．（x＞） C．（＜x≤1） D．（＜x≤1）考点：反函数。专题：计算题。分析：本小题主要考查三个层面的知识，一是指数式与对数式的互化，二是反函数的求法，三是函数的值域的求解．解答：解：由得：x2﹣1=lgy，即．又因为0＜x≤1时，﹣1＜x2﹣1≤0，从而有，即原函数值域为．所以原函数的反函数为．故选D点评：本题的一个难点是函数y=10x2﹣1（0＜x≤1）的值域的求解，需要据此获得反函数的定义域，可以利用分析推理法得到．24．（2008•天津）函数（0≤x≤4）的反函数是（） A．y=（x﹣1）2（1≤x≤3） B．y=（x﹣1）2（0≤x≤4） C．y=x2﹣1（1≤x≤3） D．y=x2﹣1（0≤x≤4）考点：反函数。专题：计算题。分析：根据反函数的定义，直接求函数（0≤x≤4）的反函数．解答：解：当0≤x≤4时，，解；即f﹣1（x）=（x﹣1）2，故选A．点评：本题考查反函数的求法，注意函数的定义域，考查计算能力，是基础题．25．（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（） A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1 B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0 C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1 D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0考点：反函数。分析：根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．解答：解：∵为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，∴f﹣1（x）最小值为0故选D点评：本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．26．（2008•湖南）函数的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（2）等于（） A．3 B．2 C．0 D．﹣2考点：反函数。专题：计算题。分析：首先求出函数的反函数y=f﹣1（x），然后把x=2代入反函数，求出值即可．解答：解：∵函数的反函数为y=f﹣1（x），∴反函数为，∴f﹣1（2）=1+2=3，故选A．点评：本题主要考查反函数的知识点，求出原函数的反函数是解答本题的关键．27．（2007•天津）函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的反函数为（） A．y=2x﹣1﹣1（x＞1） B．y=2x﹣1+1（x＞1） C．y=2x+