九年级(下)数学自助学稿

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§动点问题

【典例分析】

1.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点

P.

(1)若AE=CF；

①求证：AF=BE,并求NAPB的度数；

②若AE=2,试求AP・AF的值；

(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.

2.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=lx,上的一个动点，且点A在第一象限

2

内.AE_Ly轴于点E,点B坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y

轴对称，直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为rn,ABED的面积为

S.

(1)当时，求S的值.

(2)求S关于m(m#2)的函数解析式.

(3)①若S=«时，求空的值；

BF

②当m>2时，设过=k,猜想k与m的数量关系并证明.

BF

【课堂巩固】

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边

AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC-CD向点D运

动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运

动，设点F的运动时间为t秒.

(1)点F在边BC上.

①如图1,连接DE,AF,若DEJ_AF,求t的值；

②如图2,连结EF,DF,当t为何值时，AEBF与ADCF相似？

(2)如图3,若点G是边AD的中点，BG,EF相交于点0,试探究：是否存在在某一时刻

t,使得理=工？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

0G6

图1图2图3备用图

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图形变换（1）

【典例分析】

如图，以点P（-1,0）为圆心的圆，交X轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于

A、D两点（A在D的下方），AD=2遂，将△ABC绕点P旋转180。，得到△MCB.

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐

标；

（3）动直线1从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线

1与CM交点为E,点Q为BE的中点，过点E作EGJ_BC于G,连接MQ、QG.请问在

旋转过程中NMQG的大小是否变化？若不变，求出/MQG的度数：若变化，请说明

理由.

x

【课堂巩固】

AD是aABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转a角，交边AB于点M,交射线

AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,ywO).

(1)如图1,当aABC为等边三角形且a=30°时证明：△AMNS/XDMA；

(2)如图2,证明：1+1=2；

xy

(3)如图3,当G是AD上任意一点时(点G不与A重合)，过点G的直线交边AB于科,

交射线AC于点W,设AG=nAD,AW=x，AB,AN^y'AC(x\ym0),猜想：」_+0_=2是否

xyn

成立？并说明理由.

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图形变换（2）

【典例分析】

如图1,在RtaABC中，ZACB=90°,ZA=30°,P为BC边上任意一点，点Q为AC边动

点，分别以CP、PQ为边做等边4PCF和等边△PQE,连接EF.

（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；

（2）如图2,当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由.

（3）如图3,在Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=m°,P为BC延长线上一点，点Q为AC

边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰4PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接

EF.要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

【课堂巩固】

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,将△(：(»绕点0按逆时针方向旋转得到

△G0D”旋转角为6(0°<0<90°),连接AG、BDi,AG与BDi交于点P.

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形.

①求证：AAOG四△BOD、

②请直接写出A3与BD,的位置关系.

(2)如图2,若四边形ABCD是菱形，AC=5,BD=7,设AG=kBM.判断AG与BDi的位置关

系，说明理由，并求出k的值.

(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形，AC=5,BD=10,连接DD”设AC=kB».请直

99

接写出k的值和AC,+幽外的值.

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主备：李刚班级.组别姓名

课题：§图形变换(3)

【典例分析】

1.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,设锐角/A0B=a,将△DOC

按逆时针方向旋转得到△□'0C/(0°＜旋转角＜90°)连接AC'、BD',AC'与BD'

相交于点M.

(1)当四边形ABCD为矩形时，如图1.求证：△A0C'丝△B0D'.

(2)当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD”如图2.

①猜想此时△AOC'与△B0D'有何关系，证明你的猜想;

②探究AC'与BD'的数量关系以及/AMB与a的大小关系，并给予证明.

2.在△ABC中，ZACB=2ZB,如图①，当NC=90°,AD为NABC的角平分线时，

在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.

(1)如图②，当/CW90°,AD为AABC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样

的数量关系?不需要证明，请直接写出你的猜想：

(2)如图③，当AD为AABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量

关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

图③

【课堂巩固】

在平行四边形ABCD中，NADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接

AC.

(1)如图1,若NADC=90。，G是EF的中点,连接AG、CG.

①求证：BE=BE.

②请判断aAGC的形状，并说明理由：

(2)如图2,若NADC=60。,将线段FB绕点F顺时针旋转60。至FG,连接AG、CG.那么

△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图形变换(4)

【典例分析】

1.在AABC中，ZACB=90°,NA<45。，点0为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶

点与点0重合，一边0E经过点C,另一边0D与AC交于点M.

(1)如图1,当NA=30。时，求证：M^AM'+BC2；

(2)如图2,当NAx30。时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不

成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；

(3)将三角形ODE绕点0旋转，若直线0D与直线AC相交于点M,直线0E与直线BC

相交于点N,连接MN,则MM=AM2+BM成立吗？

答：(填"成立"或"不成立")

图1

2.如图(1),在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=J^，点D在AC上，点E在BC上，

且CD=CE,连接DE.

(1)线段BE与AD的数量关系是，位置关系是.

(2)如图(2),当4CDE绕点C顺时针旋转一定角度a后，(1)中的结论是否仍然成

立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

(3)绕点C继续顺时针旋转aCDE,当9(TVa<180。时，延长DC交AB于点F,请在

图（3）中补全图形，并求出当AF=l+y⑤时，旋转角a的度数.

【课堂巩固】

在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN〃BC,过点B为一锐

角顶点作Rt^BDE,ZBDE=90°,且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1,DE与AC

交于点P，易证：BD=DP.（无需写证明过程）

（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如

果不成立，请说明理由；

（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无

需证明.

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图形变换（5）

【典例分析】

1.如图，在等边AABC中，点D在直线BC上，连接AD,作NADN=60。，直线DN交射线AB

于点E,过点C作CF〃AB交直线DN于点F.

（1）当点D在线段BC上，NNDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD：

（提示：过点F作FM〃BC交射线AB于点M.）

（2）当点D在线段BC的延长线上，NNDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延

长线上，NNDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF,BE,CD之间的数量关

系，不需要证明；

（3）在（2）的条件下，若NADC=30。，SAM=4«,则BE=,CD=.

2.将一副三角尺（在RtaABC中，ZACB=90°,ZB=60°；在Rt4DEF中，NEDF=90°,

/E=45。）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P,DF经过点C.

（1）求NADE的度数；

（2）如图②，将4DEF绕点D顺时针方向旋转角a（（T<a<60。），此时的等腰直角三

角尺记为DE，交AC于点M,DP交BC于点N,试判断目的值是否随着a的

CN

变化而变化？如果不变，请求出型的值：反之，请说明理由.

CN

图①图②

【课堂巩固】

数学活动-求重叠部分的面积

(1)问题情境：如图①，将顶角为120。的等腰三角形纸片(纸片足够大)的顶点P与

等边AABC的内心0重合，已知0A=2,则图中重叠部分4PAB的面积为.

(2)探究1：在(1)的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别

与AC,AB交于点E,F,图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相

等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由.

(3)探究2：如图③，若NCAB=a(0o<a<90°),AD为NCAB的角平分线，点P在射线

AD上，且AP=2,以P为顶点的等腰三角形纸片(纸片足够大)与NCAB的两边

AC,AB分别交于点E、F,ZEPF=180°-a,求重叠部分的面积.(用a或乌的三角

2

函数值表示)

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图像信息（1）

【典例分析】

1.如图12,某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、

10-'向C的容积是容器容积畤（容器各面的厚度忽略不计）.现以速度v（单

位：cm7s）均匀地向容器注水，直至注满为止.图11是注水全过程中容器的水面高

度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象.

⑴在注水过程中，注满A所用时间为s,再注满B又用了s；

⑵求A的高度％及注水的速度v；

⑶求注满容器所需时间及容器的高度.

2.甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑

一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙

又继续以原来的速度跑向体育馆。图14是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y

（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象。

（1）在跑步的全过程中，甲共跑了一米，甲的速度为一米/秒；

（2）乙跑步的速度是多少？乙在途中等候甲用了多长时间？

(3)甲出发多长时间第一次与乙相遇？此时乙跑了多少米？

【课堂巩固】

一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发.设慢车行驶的时

间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系式.根

据题中所给信息解答以下问题：

(1)甲、乙两地之间的距离为km；

图中点C的实际意义为：：慢车的速度为

,快车的速度为;

(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

(3)若在第一列快车与慢车相遇时，第二列车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车

相同，请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距200km.

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图像信息(2)

【典例分析】

1.甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲

早lh到达B地.甲车离A地的路程8(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系，

如图中线段0P所示；乙车离A地的路程sz(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关

系，如图中线段MN所示，a表示A、B两地之间的距离.请结合图中的信息解决如下

问题：

(1)分别求出线段MN、0P的函数关系式；

(2)求出a的值;

(3)设甲、乙两车之间的距离为s(km),求s与甲车行驶时间t(h)的函数关系

式，并求出s的最大值.

2.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行.并以各自的速度匀速行驶，甲车途

径C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A

地，如图是甲、乙两车和B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的函数图

象.

(1)直接写出a,m,n的值；

(2)求出甲车与B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的函数关系式(写

出自变量x的取值范围)；

(3)当两车相距120千米时，乙车行驶了多长时间？

【课堂巩固】

为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动.自行车队

从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续前行至目的地丙地.自行车队出发1小

时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装

卸工作后按原路返回甲地.自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度

是自行车队行驶速度的2.5倍.右图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车

队离开甲地时间x(力)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题.

(1)自行车队行驶的速度是km/h.

(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？

(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？

135

一白行车队

一邮政车

72

033.5x/h

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§图像信息（3）

【典例分析】

1.已知，A、B两市相距260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M

地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），

乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍

的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之

间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）甲车提速后的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时，点C

的坐标为；

（2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间？

2.快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而

行，途中慢车因故停留1小时，然后以原速继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶:

快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地（快车掉头的时间忽略不计），快、慢两

车距乙地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图，请结合图象

信息解答下列问题：

（1）直接写出慢车的行驶速度和a的值；

（2）快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米？

（3）两车出发后几小时相距的路程为200千米？请直接写出答案.

【课堂巩固】

实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百

毫升）与时间x（时•）的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画：1.5小时后（包

括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=*（k>0）刻画（如图所示）.

x

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？

②当x=5时，y=45,求k的值.

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于

"酒后驾驶"，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝

完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§阅读理解(1)

【典例分析】

倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创

新能力的有效途径.下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成"类比猜想"及后面的

问题.

习题解答：

习题如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°,连接EF,则

EF=BE+DF,说明理由.

解答：

；正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZADC=ZB=90",

把AABE绕点A逆时针旋转90。至△ADE，，点F、1)、E，在一条直线上.

NE'AF=90°-45°=45°=NEAF,

XVAE^AE,AF=AF

.,.△AET^AAEF(SAS)

.,.EF=E'F=DE'+DF=BE+DF.

习题研究

观察分析：观察图(1),由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分

别在边BC、CD上；②AB=AD；(3)ZB=ZD=90°；(4)ZEAF=lzBAD.

类比猜想：

(1)在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,当AB=AD,NB=ND时，还有

EF=BE+DF吗？

研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图(2),在菱形ABCD中，点E、

F分别在BC、CD上，当NBAD=120。，NEAF=60。时，还有EF=BE+DF吗？

(2)在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD,NB+ND=180,ZEAF

=』/BAD时，EF=BE+DF吗？

2

归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论"EF=BE+DF"的一般

命题：________________________________________________________________________

【课堂巩固】

如图1,抛物线y=ax?+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于

点A,B,若AAMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB

围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线

段AB的距离称为碟高.

(1)抛物线y=°x2对应的碟宽.为______；抛物线y=4x?对应的碟宽为_______；抛物线

2

y=ax2(a>0)对应的碟宽为；抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽

为;

(2)抛物线y=ax，-4ax-至(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上，求a的值；

3

(3)将抛物线丫=鳍4而+g(a>0)的对应准蝶形记为F.(n=l,2,3...),定义F”

F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比.若F.与R-的相似比为工，

且F”的碟顶是Fi的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为力，其对应的准

蝶形记为F,.

①求抛物线火的表达式；

②若用的碟高为X,F2的碟高为hz,...F0的碟高为h„,则hn=,F”的碟

宽有端点横坐标为;F,,F”的碟宽右端点是否在一条直线

上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由.

准碟形.口仍

备用图

图1

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课题：§阅读理解(2)

【典例分析】

如图，抛物线y=ax、2ax(a<0)位于x轴上方的图象记为Fl,它与x轴交于Pl、0两

点，图象F2与F1关于原点0对称，F2与x轴的另一个交点为P2,将F1与F2同时沿x

轴向右平移P1P2的长度即可得到E3与E4；再将E3与F4同时沿x轴向右平移P12P的长

度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1,

F2,…，Fn.我们把这组图象称为“波浪抛物线”.

(1)当a=-1时，

①求图象F1的顶点坐标；

②点H(2014,-3)(填唯”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象Fn

的顶点Tn的横坐标为201,则图象Fn对应的解析式为,其

自变量x的取值范围为.

(2)设图象Fn、Fn+1的顶点分别为Tn、Tn+1(m为正整数)，x轴上一点Q的坐标为

(12,0).试探究：当a为何值时，以0、Tn,Tn+1,Q四点为顶点的四边形为矩

形？并直接写出此时m的值.

备用图

【课堂巩固】

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点"，例如点(-

1,-1),(0,0),(V2-&)，…都是"梦之点"，显然，这样的"梦之点”有无数个.

(1)若点P(2,m)是反比例函数y=E(n为常数，n#0)的图象上的“梦之点"，求这个

x

反比例函数的解析式；

(2)函数y=3kx+s-l(k,s是常数)的图象上存在"梦之点”吗？若存在，请求出"梦之

点"的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若二次函数y=ax?+bx+l(a,b是常数，a>0)的图象上存在两个不同的"梦之点"A

(xi,Xi),B(X2,X2),且满足-2<xi<2,|xi-x?\=2,令t=b"-25+基工试求出

48

t的取值范围.

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主备：李刚班级组别姓名

课题：§阅读理解(3)

【典例分析】

阅读材料：

如图1,过AABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距

离叫aABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在aABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂

高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SMBC=^ah,即三角形面积等于

水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA,PB,当P点运动到顶点C

时，求ACAB的铅垂高CD及5“^；

9

(3)是否存在一点P,使SAPAB=—SACAB,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理

8

由.

【课堂巩固】

(1)阅读理解

已知：如图1,中，是中线，点户在/〃上，BP、)的延长线分别交必AB于E、

E求证：EF〃BC.

图1

证明：如图2,)交/〃于G过户作分别交力反/C于以N,

PMPN_AP

在劭中，由PM〃即,得到———,同理

BDAD~DC-AD

因为盼切所以PM=PN.

PMPF「由PEPN

在△FBC中，由PM〃BC,所以——=——，同理一=

BCCFEBBC

.PFPEPEPF

"FC~IBE"TB~TC'

,:NEPF=ZBPC,所以△EPFsaCPB,所以/FEP=/PBC,所以EF〃BC.

(2)逆向思考

在△?!比中，，在况1上，点尸在4〃上，BP、h的延长线分别交/GAB于E、F,如果哥1

〃BC.那么〃是和中点.请你给出证明.

(3)知识应用

①如图3直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，46在直线g上，请你用无

刻度的直尺利用现有平行线作出线段AB的中点.并作简要的画图说明.

②如图4直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，点P不在这些直线上，点4

在直线g上，点B在直线c上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出过点尸的直线

如平行于AB.并作简要的画图说明.

a--------------------------------a

--------------------------------b--------------------------------b

B

---------------------------------------------------C

-T---1-----------------------------------------汗c