2021-2022学年四川省遂宁市绿然国际学校高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年四川省遂宁市绿然国际学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，6}，则A∩B＝（）A．{2，6} B．{2，3，6} C．{3，4} D．{2，3，4，6}2．（5分）计算：lg2+lg5＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（5分）已知函数，则f（4）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．14．（5分）函数f（x）＝x2+x﹣1，用二分法求方程x2+x﹣1＝0在x∈（0，1）内近似解的过程中得f（0）＜0，，，，f（1）＞0，则方程的根落在区间（）A． B． C． D．5．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣ B． C． D．﹣6．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2cosx B．y＝﹣sinx C．y＝log2x D．y＝x2+37．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位8．（5分）已知＝，则＝（）A． B．﹣ C． D．﹣9．（5分）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积是（）A． B． C．2π D．10．（5分）设函数f（x）＝，f（0）+f（log210）＝（）A．5 B．7 C．9 D．211．（5分）已知f（x）是[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则（）A． B． C． D．12．（5分）已知函数，函数g（x）＝m﹣f（3﹣x），其中m∈R，若函数y＝g（x）恰有3个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围．14．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则此函数的解析式为．15．（5分）已知cos（π﹣α）＝，则cos（）＝．16．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），且函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，求f（2016）＝．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.17．（10分）（1）计算：；（2）已知tanα＝3，求的值．18．（12分）已知函数f（x）＝log2（3+x）+log2（3﹣x）．（1）求f（x）的定义域；（2）求证：函数f（x）为偶函数；（3）求的值．19．（12分）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．20．（12分）已知y＝f（x）是二次函数，y＝f（x）在x＝1处取得最小值﹣1，且y＝f（x）的图象经过原点．（1）求f（x）的表达式；（2）求函数y＝f（2x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．21．（12分）函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一周期内，当x＝π时，y取最大值1，当x＝π时，取最小值﹣1（1）求函数的解析式y＝f（x）（2）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标（3）若函数f（x）满足方程f（x）＝a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实根之和．22．（12分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）＝f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若F（x）＝f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣5）在上有零点，求a的取值范围．

2021-2022学年四川省遂宁市绿然国际学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，6}，则A∩B＝（）A．{2，6} B．{2，3，6} C．{3，4} D．{2，3，4，6}【分析】根据交集定义求解．【解答】解：因为A＝{2，3，4}，B＝{3，4，6}，所以A∩B＝{3，4}．故选：C．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2．（5分）计算：lg2+lg5＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：lg2+lg5＝lg10＝1．故选：D．【点评】本题考查对数运算法则的应用，基本知识的考查．3．（5分）已知函数，则f（4）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】根据解析式求函数值．【解答】解：．故选：D．【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝x2+x﹣1，用二分法求方程x2+x﹣1＝0在x∈（0，1）内近似解的过程中得f（0）＜0，，，，f（1）＞0，则方程的根落在区间（）A． B． C． D．【分析】根据零点存在性定理求得正确答案．【解答】解：因为，所以零点在区间，又因为，所以更一步地，零点在区间．故选：C．【点评】本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．5．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣ B． C． D．﹣【分析】由任意角的三角函数的定义可得x＝﹣3，y＝4，r＝5，由此求得sinα＝的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x＝﹣3，y＝4，r＝5，∴sinα＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，6．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2cosx B．y＝﹣sinx C．y＝log2x D．y＝x2+3【分析】根据函数奇偶性与零点的判断方法对选项一一分析即可．【解答】解：对于A，y＝2cosx定义域为R，并且2cos（﹣x）＝2cosx，则y＝2cosx是偶函数，令y＝2cosx＝0，解得，k∈Z，即有无数个零点，故A正确；对于B，y＝﹣sinx定义域为R，并且﹣sin（﹣x）＝sinx，则y＝﹣sinx是奇函数，令y＝﹣sinx，解得x＝kπ，k∈Z，即有无数个零点，故B错误；对于C，y＝log2x定义域为（0，+∞），非奇非偶函数，令y＝log2x＝0，解得x＝1，即有一个零点，故C错误；对于D，y＝x2+3定义域为R，并且（﹣x）2+3＝x2+3，则y＝x2+3是偶函数，令y＝x2+3＝0，无解，即没有零点，故D错误．故选：A．【点评】本题考查了函数零点以及函数的性质，属于中档题．7．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：D．【点评】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．8．（5分）已知＝，则＝（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】由sin2x+cos2x＝1，则cos2x＝1﹣sin2x＝（1﹣sinx）（1+sinx），变形即可计算得到．【解答】解：由sin2x+cos2x＝1，则cos2x＝1﹣sin2x＝（1﹣sinx）（1+sinx），即有＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系及变形，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积是（）A． B． C．2π D．【分析】先求得扇形的半径，然后求得扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则，所以扇形的面积为．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．10．（5分）设函数f（x）＝，f（0）+f（log210）＝（）A．5 B．7 C．9 D．2【分析】推导出f（0）＝1+log22＝2，f（log210）＝＝10÷2＝5，由此能求出f（0）+f（log210）的值．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（0）＝1+log22＝2，f（log210）＝＝10÷2＝5，∴f（0）+f（log210）＝2+5＝7．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知f（x）是[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则（）A． B． C． D．【分析】利用任意角三角函数的定义以及函数的单调性、奇偶性比较大小．【解答】解：因为当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），此时函数单调递增，又因为f（x）是[﹣1，1]上的奇函数，所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增，对A，因为，所以，A错误；对B，因为，所以，B错误；对C，因为，所以，C错误；对D，因为，所以，D正确．故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．12．（5分）已知函数，函数g（x）＝m﹣f（3﹣x），其中m∈R，若函数y＝g（x）恰有3个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，+∞）【分析】求得y＝f（3﹣x）的解析式并画出图象，根据图象求得正确答案．【解答】解：令g（x）＝m﹣f（3﹣x）＝0，得f（3﹣x）＝m，若3﹣x≤3，则x≥0，f（3﹣x）＝2﹣|3﹣x|；若3﹣x＞3，则x＜0，f（3﹣x）＝（3﹣x﹣3）2＝x2．所以，画出其图象如下图所示，当x＝3时，y＝2．由图可知，要使函数y＝g（x）恰有3个零点，即y＝m与y＝f（3﹣x）的图象有3个交点，则m的取值范围是（0，2）．故选：C．【点评】本题主要考查函数性质的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围（﹣∞，﹣2]．【分析】根据包含关系列不等式，由此求得a的取值范围．【解答】解：由于A⊆B，所以a≤﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题．14．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则此函数的解析式为．【分析】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式．【解答】解：由于幂函数y＝f（x）＝xα的图象过点（4，2），可得4α＝2，∴α＝，则此函数的解析式为f（x）＝，故答案为：f（x）＝．【点评】本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．15．（5分）已知cos（π﹣α）＝，则cos（）＝．【分析】因为＝π﹣（），运用整体法，利用三角函数诱导公式直接求解即可．【解答】解：∵cos（π﹣α）＝，∴cos（）＝cos[π﹣（）]＝﹣cos（π﹣α）＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查运用三角函数诱导公式求值，是基础题．16．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），且函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，求f（2016）＝0．【分析】由已知推导出f（x+12）＝f（x），f（x）是奇函数，f（0）＝0，由此能求出f（2016）．【解答】解：由f（x+6）+f（x）＝2f（3），知f（x+12）+f（x+6）＝2f（3），两式相减，得f（x+12）＝f（x）∴f（x）是以12为周期的周期函数，由y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴y＝f（x）的图象关于（0，0）对称，∴f（x）是奇函数，∴f（0）＝0∴f（2016）＝f（12×168）＝f（0）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要注意函数的周期性、奇偶性的合理运用．属于中档题三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.17．（10分）（1）计算：；（2）已知tanα＝3，求的值．【分析】（1）根据指数、对数运算求得正确答案．（2）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案．【解答】解：（1）＝；（2）＝．【点评】本题主要考查指数、对数的运算，以及同角三角函数的基本关系式，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝log2（3+x）+log2（3﹣x）．（1）求f（x）的定义域；（2）求证：函数f（x）为偶函数；（3）求的值．【分析】（1）由真数大于零计算即可得；（2）由偶函数的定义，计算f（x）与f（﹣x）的关系即可得；（3）将代入后计算即可得．【解答】解：（1）由f（x）＝log2（3+x）+log2（3﹣x），则有，解得﹣3＜x＜3，所以f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）因为f（x）的定义域为（﹣3，3），又f（﹣x）＝log2（3﹣x）+log2（3+x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数；（3）．【点评】本题考查对数函数的性质，函数的奇偶性，涉及对数的运算，属于基础题．19．（12分）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用交集的定义求解；（2）利用交集的结果求参数的取值范围．【解答】解：（1）a＝3时，A＝{x|﹣2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣2≤x≤1或x＝4}．（2）当1﹣a＞1+a，即a＜0时，A＝∅，满足A∩B＝∅；当1﹣a≤1+a，即a≥0时，A≠∅，要使A∩B＝∅，则，无解；综上，实数a的取值范围为{a|a＜0}．【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．20．（12分）已知y＝f（x）是二次函数，y＝f（x）在x＝1处取得最小值﹣1，且y＝f（x）的图象经过原点．（1）求f（x）的表达式；（2）求函数y＝f（2x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．【分析】（1）根据二次函数的性质求解析式；（2）利用指数函数的性质以及二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，由题可得，，即，解得a＝1，b＝﹣2，c＝0，所以f（x）＝x2﹣2x．（2）y＝f（2x）＝（2x）2﹣2•2x，设，则g（t）＝t2﹣2t，所以函数g（t）＝t2﹣2t在单调递减，[1，4]单调递增，所以当t＝1，即x＝0时，函数g（t）有最小值为﹣1，即函数f（x）有最小值为﹣1；当t＝4，即x＝2时，函数g（t）有最大值为8，即函数f（x）有最大值为8；【点评】本题考查的知识要点：二次函数的性质，指数函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．21．（12分）函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一周期内，当x＝π时，y取最大值1，当x＝π时，取最小值﹣1（1）求函数的解析式y＝f（x）（2）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标（3）若函数f（x）满足方程f（x）＝a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实根之和．【分析】（1）由题意，利用最值的条件、函数的周期性，求出ω和φ，可得函数的解析式．（2）由题意，利用正弦函数的单调性和图象的对称性，得出结论．（3）方程sin（2x﹣）＝a（0＜a＜1），结合图象，利用对称性，得出结论．【解答】解：（1）由于函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一周期内，当x＝π时，y取最大值1，当x＝π时，取最小值﹣1，∴×＝﹣，∴ω＝2．再根据2×+φ＝2kπ+，k∈Z，可得φ＝﹣，函数y＝sin（2x﹣）．（2）对于函数的解析式y＝f（x）＝sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+