新人教版九年级上册24.2.1点和圆的位置关系

24.2点和圆、直线和圆有关的位置关系24.2.1点和圆的位置关系百步穿杨生活中的数学如果箭着点看成点，箭靶看成圆，那么上面情境反映了点与圆的位置关系。射击靶是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？.o...C....B..A...点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外思考：点和圆的位置关系有几种呢？r问题２：设⊙O半径为r,说出来点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：·COABOC>r.问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？点C在圆外.点A在圆内，点B在圆上，OA<r，OB=r，

问题探究设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆上

d=r；点P在圆外d＞r.点P在圆内

d＜

r

；

符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端从右端也可以得到左端．r·OA问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？PPP设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则点和圆的位置关系点在圆内d﹤r点在圆上点在圆外d＝rd>r●●●●O⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在

；当OP

时点P在圆内；当OP

时，点P不在圆外。圆上＜6≤6跟踪练习1已知⊙O的面积为25π：（1）若PO=5.5，则点P在

；（2）若PO=4，则点P在

；（3）若PO=

，则点P在圆上；（4）若点P不在圆外，则PO__________。跟踪练习2圆外圆内5≤5·2cm3cm1,画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O随堂练习1体育训练时，许阳阳和刘铮的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？随堂练习2射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好.你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米典型例题ADCB（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？(B在圆上，D在圆外，C在圆外)（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？(B在圆内，D在圆上，C在圆外)（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？(B在圆内，D在圆内，C在圆上)练一练

1、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在

；点B在

；点C在

。

2、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在

；当OP

时点P在圆内；当OP

时，点P不在圆外。

3、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A

；点C在⊙A

；点D在⊙A

。圆内圆上圆外圆上＜6≤6上外上

4、已知AB为⊙O的直径P为⊙O

上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为()(A)在⊙O内

(B)在⊙O外(C)在⊙O上(D)不能确定c●A●A●B过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？过两点有且只有一条直线(直线公理)（“有且只有”就是“确定”的意思）经过一点可以作无数条直线；回忆思考：过三点1、若三点共线，则过这三点只能作一条直线.ABC2、若三点不共线，则过这三点不能作直线，但过任意其中两点一共可作三条直线.ABC直线公理：两点确定一条直线问题:确定一个圆需要多少个点?类比探究之路一个点、两个点还是三个点呢？过一点画圆A我们的结论:过一点可以画无数个圆AB过两点画圆过两点可以画无数个圆平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？思考归纳●O●O●O●OAB以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点到A或B的距离为半径作圆.有无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。ABCDEGF●o定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.过不共线三点画圆

平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？

归纳结论：

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。思考归纳┓●B●C经过B,C两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.┏●A经过A,B,C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.●O经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。想一想●OABC

有关概念一个无数个ABC1、连结AB，作线段AB的垂直平分线DE，ODEGF2、连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O，3、以O为圆心，OB为半径作圆，作法：⊙O就是所求作的圆已知：不在同一直线上的三点A、B、C求作：⊙O，使它经过A、B、C三点不共线请你证明你作的圆符合要求证明:∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.∴点A,B,C在以O为圆心，OA长为半径的圆上.∴⊙O就是所求作的圆,在上面的作图过程中.∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●OOABCABCO直角三角形外心是斜边AB的中点钝角三角形外心在△ABC的外面三角形的外心是否一定在三角形的内部？火眼金睛判断题：1、过三点一定可以作圆 （）5、三角形的外心到三边的距离相（）2、三角形有且只有一个外接圆 （）3、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 （）4、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点 （）

跟踪练习

1、判断下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆().(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()

2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为()A、锐角三角形B、直角三角形

C、钝角三角形D、等腰三角形√×√B如何解决“破镜重圆”的问题：ABCO圆心一定在弦的垂直平分线上练习：如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．DABCO∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．?反证法先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．什么叫反证法？反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：(1)命题的结论是否定型的；(2)命题的结论是无限型的；(3)命题的结论是“至多”或“至少”型的.思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明.

不一定1.四点在一条直线上不能作圆；3.四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.ABCDABCDABCDABCD2.三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆；直观感受经过四个点是不是一定能作圆？1、ABCD2、ABCD所以经过四点不一定能作圆。D4、ABCABCD3、BACDCBA1.如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径。典型例题OEDCBA2.如图，已知Rt⊿ABC

中，若AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。

3300x2x1,如图，等腰⊿ABC中，，，点O为外心，求外接圆的半径。OADCB巩固练习2、为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A、B、C），若不动花树，还要建一个最大的圆形喷水池，请设计你的实施方案。CBA3.如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗?是多少?4.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,试求这个三角形的外接圆的面积.知识小结:1.点与圆的位置关系2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.点A在⊙O内

d＜rd=rd＞r点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外3.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分