信号与系统ch3-连续信号正交分解32-南航

连续信号的正交分解第三章1内容正交函数集1傅里叶级数2周期信号频谱3非周期信号频谱

4帕色伐尔定理与能量频谱5傅里叶变换62引言周期性信号非周期信号周期性信号：利用了两种正交函数集-三角形式与指数形式傅里叶级数来分析非周期信号：利用傅里叶变换-频谱密度来分析时域：周期性信号

当T→∞时

非周期信号频域：离散谱

当T→∞时

连续谱频谱间隔趋进无穷小，信号在各个频率点上都有信号分量，频率取值变成连续的在每一个频率点上的频率分量大小趋向零不同分量振幅的相对值仍有区别，无法做频谱图3非周期信号的频谱频谱函数（频谱密度函数）和傅立叶变换定义44非周期信号的频谱频谱函数（频谱密度函数）和傅立叶变换定义量纲：单位频带的振幅-频谱密度函数(频谱函数)

偶函数奇函数傅里叶变换5非周期信号的频谱非周期信号的表达式—傅立叶反变换定义傅立叶反变换6非周期信号的频谱傅立叶变换对傅里叶正变换和反变换组成傅里叶变换是信号分析中的重要工具，常用记号f(t)↔F(jω)表示它们是一个傅里叶变换对傅立叶反变换傅里叶正变换7非周期信号的频谱非周期信号的频谱非周期信号也可分解为许多不同频率的余弦分量8非周期信号的频谱非周期信号的频谱频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函数来作出9非周期信号的频谱非周期信号的频谱密度函数表示周期信号的和非周期信号的可相互转换

10非周期信号的频谱傅里叶级数与傅里叶变换物理意义周期信号的傅里叶级数:将一个非正弦的周期信号分解为一系列的正弦分量。An表示每个正弦分量的幅度，φn则表示每个分量的相位非周期信号：将f(t)分解为无限多个连续指数函数ejωt分量ω从-

连续变化，每个分量的幅度为无穷小量。每个ejωt分量在时域中存在于-

<t<

，而信号本身不一定存在于-

<t<

。每一对ejωt和e-jωt构成一个正弦分量。11非周期信号的频谱傅里叶级数与傅里叶变换物理意义在频域中对系统进行分析时就是求系统对每一个频率分量的响应，然后将它们叠加起来。傅里叶变换和傅里叶级数一样，都是把信号分解成一系列单元信号；然后求系统对各单元信号的响应；最后在频域内迭加，得到响应。对f(t)进行傅里叶变换一般要求f(t)满足绝对可积这个条件是充分条件并不必要，有些函数虽然非绝对可积，但也可有傅里叶变换存在。12非周期信号的频谱频谱函数的奇偶性对一任意实函数，其频谱函数一般是

复函数结论1a(ω)，|F(jω)|

是ω的偶函数b(ω)，φ(ω)是ω的奇函数，或者用数学式表达为F(-jω)=F*(jω)

13非周期信号的频谱频谱函数的奇偶性对一任意实函数，其频谱函数一般是

复函数结论2f(t)为实偶函数

f(-t)=f(t)则b(ω)=0，F(jω)=a(ω)

时域中的实偶函数，它的频谱函数也是频域中的实偶函数14非周期信号的频谱频谱函数的奇偶性对一任意实函数，其频谱函数一般是

复函数结论3f(t)为实奇函数

f(-t)=-f(t)则a(ω)=0，F(jω)=-jb(ω)时域中的实奇函数，它的频谱函数是频域中的虚奇函数15非周期信号的频谱频谱函数的奇偶性结论4f(t)是实函数，则f(-t)↔F*(jω)时域中的对称信号（反褶），其频谱函数互为共轭，掌握这些奇偶、对称关系，在求信号频谱时十分方便16常用信号的频谱门函数冲激函数单边指数函数信号单位阶跃函数信号指数函数信号均匀冲激序列信号17常用信号的频谱

门函数门函数在信号分析中是很重要的典型信号，其频谱函数必须牢记画得出18常用信号的频谱

门函数第一个过零点振幅谱：相位谱：是ω的奇函数。19常用信号的频谱非周期矩形脉冲的频谱分析周期脉冲频谱包络线的形状和非周期单脉冲的频谱函数形状完全相同单脉冲信号的频谱也具有以下特点：

单脉冲信号的频谱也具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；当脉冲持续时间减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比。20常用信号的频谱单个脉冲频谱函数与周期脉冲频谱比较共同点包络相同，都是抽样函数，零点位置相同→信号频带相同，收敛性相同。不同点①离散谱

连续谱②幅度上

脉冲参数对F(ω)的影响τ

零点频率

信号带宽

当τ

0,零点频率(信号带宽)21常用信号的频谱单个脉冲频谱函数与周期脉冲频谱比较结论单个脉冲的频谱，周期脉冲的频谱，只要知道一个，就可得到另一个。该结论适用于任何波形的脉冲信号有此可以推知δ(t)的频谱函数F[δ(t)]=1

22常用信号的频谱

冲激函数频谱变得无限宽，收敛速度无限减慢。23常用信号的频谱

单边指数信号只有收敛，傅里叶变换才存在而不收敛，f(t)不符合绝对可积条件幅度谱相位谱24常用信号的频谱

单边指数信号这是一个非常重要的变换对由它出发可以推出许多变换对25常用信号的频谱

双边指数信号26常用信号的频谱

单位阶跃信号因为不收敛不符合绝对可积条件，因而不能直接求频谱α

0α

027常用信号的频谱

单位阶跃信号

a(ω)为频域中的冲激函数强度为冲激函数的面积28常用信号的频谱

单位阶跃信号重要的基本变换对，延伸求其他信号频谱

符号函数29常用信号的频谱

指数函数信号因为不收敛不符合绝对可积条件，用冲激函数的变换对来推出交换变量ω和t的位置30常用信号的频谱

指数函数信号指数变换对立即可以推出下面的变换对综合上述，凡符合绝对可积条件的函数可通过定义直接求出频谱函数；若不符合绝对可积条件则不能直接计算，但可通过其它变换对推出，并且一般含有冲激函数。31常用信号的频谱信号频谱基本求解方法f(t)可展成指数F级数32常用信号的频谱

均匀冲激序列定义一系列间隔均匀的冲激函数构成的序列一个冲激函数是绝对可积的，无限多个冲激函数组成的序列是不符合绝对可积条件的，因此其频谱函数中一定包含冲激函数33常用信号的频谱

均匀冲激序列34常用信号的频谱

均匀冲激序列一个在时域上间隔为T的均匀冲激序列，在频域中也是一个均匀冲激序列，周期为Ω，强度Ω结论时域中的均匀冲激序列的频谱函数是频域中的均匀冲激序列35常用信号的频谱小结7种常用信号频谱需要牢记门函数、冲激函数单边指数信号、双边指数信号单位阶跃信号指数信号均匀冲激序列信号利用傅里叶变换性质可以推出更多的变换对36傅里叶变换性质引子付里叶变换与反变换，使时间函数