矩阵分析课件

函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵

定义：

以实变量的函数为元素的矩阵

称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。例：已知计算定义：设为一个阶函数矩阵，如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间上是可逆的。称是的逆矩阵，一般记为例：已知，那么在区间上是可逆的，其逆为函数矩阵可逆的充分必要条件定理:

阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零，并且，其中为矩阵的伴随矩阵。定义：区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。特别地，设为区间上的阶矩阵函数，如果的秩为，则称一个满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。例：已知那么。于是在任何区间上的秩都是2。即是满秩的。但是在上是否可逆，完全依赖于的取值。当区间包含有原点时，在上有零点，从而是不可逆的。函数矩阵对纯量的导数和积分

定义：如果的所有各元素在处有极限，即其中为固定常数。则称在处有极限，且记为其中如果的各元素在处连续，即则称在处连续，且记为其中容易验证下面的等式是成立的：设则定义：如果的所有各元素在点处(或在区间上)可导，便称此函数矩阵在点处(或在区间上)可导，并且记为函数矩阵的导数运算有下列性质：是常数矩阵的充分必要条件是设均可导，则设是的纯量函数，是函数矩阵，与均可导，则特别地，当是常数时有(4)设均可导，且与是可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以(5)如果与均可导，则(6)设为矩阵函数，是的纯量函数，与均可导，则定义：如果函数矩阵的所有各元素在上可积，则称在上可积，且函数矩阵的定积分具有如下性质：例1：已知函数矩阵试计算证明：由于，所以下面求。由伴随矩阵公式可得再求例2：已知函数矩阵试求例3：已知函数矩阵试求证明：同样可以求得例4：已知函数矩阵试计算函数向量的线性相关性定义：设有定义在区间上的个连续的函数向量如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的等式成立，我们称，在上线性相关。否则就说线性无关。即如果只有在等式才成立，那么就说线性无关。定义：设是个定义在区间上的连续函数向量记以为元素的常数矩阵称为的Gram矩阵，称为Gram行列式。定理：定义在区间上的连续函数向量线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。例：设则于是的Gram矩阵为所以故当时，在上是线性无关的。定义：设是个定义在区间上的有阶导数的函数向量，记那么称矩阵是的Wronski矩阵。其中分别是的一阶，二阶，…，阶导数矩阵。定理：设是的Wronski矩阵。如果在区间上的某个点，常数矩阵的秩等于，则向量在上线性无关。例：设则因为的秩为2，所以与线性无关。

函数矩阵在微分方程中的应用形如的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式其中上述方程组的初始条件为可以表示成定理：设是一个阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件的解为定理：设是一个阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件的解为例1：设求微分方程组满足初始条件的解。解：首先计算出矩阵函数由前面的定理可知微分方程组满足初始条件的解为例2：设求微分方程组满足初始条件的解。解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为由上面的例题可知而所以有故有第八章广义逆矩阵定理：设是数域上一个矩阵，则矩阵方程总是有解。如果，并且其中与分别是阶、阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为(1)(2)其中分别是任意矩阵。证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到：(3)所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取(1)的一个解，则由(1)和(2)得因为可逆，所以从上式得(4)把矩阵分块，设代入(4)式得即(5)由此得出，，代入(5)式便得出这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解。定义：设是一个矩阵，矩阵方程的通解称为的广义逆矩阵，简称为的广义逆。我们用记号表示的一个广义逆。定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组有解的充分必要条件是证明：必要性。设有解，则。因为，所以充分性。设，则取得所以是的解。定理(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次线性方程组有解，则它的一般解(通解）为其中是的任意一个广义逆。证明：任取的一个广义逆，我们来证是方程组的解：已知有解，根据前一个定理得：这表明是的一个解。反之，对于的任意一个解，我们要证存在的一个广义逆，使得。设是矩阵，它的秩为，且其中与分别是阶、阶可逆矩阵。由于的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵，使即先分析与之间的关系。由已知，因此我们有分别把分块，设(6)则(6)式成为所以，因为，所以，从而。设，且设。取则于是从而只要取则定理(齐次线性方程组解的结构定理)：数域上元齐次线性方程组的通解为其中是的任意给定的一个广义逆，取遍中任意列向量。证明：任取，我们有所以是方程组的解。反之，设是方程组的解，要证存在，使得。取我们有所以是方程组的通解。利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。推论：设数域是元非齐次线性方程组有解，则它的通解为其中是的任意给定的一个广义逆，取遍中任意列向量。证明：我们已经知道是非齐次线性方程组的一个解，又知道是导出组的通解，所以是的通解。伪逆矩阵定义：设，若，且同时有则称是的伪逆矩阵。上述条件称为Moore－Penrose方程。例：设，那么

设，那么设，其中是可逆矩阵，则如果是一个可逆矩阵，那么下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理：设是的一个满秩分解，则是的伪逆矩阵。例1

：设求。解：利用满秩分解公式可得从而的伪逆矩阵是例2

：设求。解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为推论：若，则若，则定理：伪逆矩阵唯一。证明：设都是的伪逆矩阵，则根据此定理知，若，则。定理：设，则证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。设是的满秩分解，则的满秩分解可以写成其中是列满秩，为行满秩，故由式得因此同理可证：例：设，则是正定或半正定Hermite矩阵，故存在，使得证明解：因为不妨设则其中故于是令由，知因此由得例：已知求。解：的特征值的特征向量为

的特征向量为故代入得：练习1：已知求其奇异值分解与。练习2

：设求。答案：（1）奇异值分解式为（2）其伪逆矩阵为不相容线性方程组的解定义：设，，如果维向量对于任何一个维向量，都有则称是方程组的一个最小二乘解。若是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解都有不等式则称是最佳最小二乘解。定理：设，则是方程组的最佳最小二乘解。例1

：求不相容方程组的最佳最小二乘解。例2

：求不相容方程组的最佳最小二乘解。

矩阵的分解

这章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，极分解，谱分解。

矩阵的满秩分解定理：设，那么存在使得使得其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施行初等变换可以将其化成即存在使得于是有其中

如果的前列线性相关，那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在且满足

从而其中例：分别求下面三个矩阵的满秩分解解：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到由此可知，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取同样，我们也可以选取解：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。选取也可以选取解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到所以，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取

由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：定理：如果均为矩阵的满秩分解，那么（1）存在矩阵满足（2）

矩阵的正交三角分解例：设，那么可唯一地分解为或其中，是正线上三角矩阵，是正线下三角矩阵。证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组并且向量组之间有如下关系再单位化，这样得到一组标准正交向量组其中，于是有其中，显然矩阵是一个正线上三角矩阵。

下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式那么有注意到是酉矩阵，而是一个正线上三角矩阵，由前面的结论可知因此有因为有，所以，按照分解的存在性可知其中是正线上三角矩阵。于是其中是正线下三角矩阵，而。此结论也可以被推广为定理：设，则可以唯一地分解为其中是阶正线上三角矩阵，，即是一个次酉矩阵。证明：分解的存在性证明，同上面的例题完全一样。分解的唯一性证明。设则因为是正定的Hermite矩阵（为什么？），由正定二次型的等价定理可知，其三角分解是唯一的，故，进一步有。例1

：求下列矩阵的正交三角分解解：（1）容易判断出，即是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，将的三个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量组再将其单位化，得到一组标准正交向量组这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成将上面的式子矩阵化，即为（2）首先判断出，由定理可知必存在，以及三阶正线上三角矩阵使得推论：设，则可分解为其中，是阶正线上三角矩阵，是阶正线下三角矩阵。

矩阵的奇异值分解引理1：对于任何一个矩阵都有引理2：对于任何一个矩阵都有与都是半正定的Hermite-矩阵。设，是的特征值，是的特征值，它们都是实数。如果记特征值与之间有如下关系。定理：设，那么。同时，我们称为矩阵的正奇异值，简称奇异值。例：求下列矩阵的奇异值解：（1）由于显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为（2）由于显然的特征值为2，4，所以的奇异值为。例2

证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。定理：设，是的个奇异值，那么存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得其中，且满足。证明：由于，所以的特征值为因为是一个H-阵，所以存在阶酉矩阵且满足将酉矩阵按列进行分块，记

，其中于是有从而有记，这里令，那么容易验证选取使得是酉矩阵，则由上述式子可得这里，要注意。我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式为矩阵的奇异值分解式。如何求此分解表达式？特别要注意下面的关系式即由此可知的列向量就是的标准正交特征向量；而的列向量就是的标准正交特征向量。例：求下列矩阵的奇异值分解表达式解：（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0对应的两个标准正交特征向量由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有于是可得奇异值分解式为解：（2）容易计算，那么的非零奇异值为，对应于特征值5，2的标准特征向量为由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的两个标准正交特征向量由这四个标准正交特征向量组成矩阵，所以有于是可得奇异值分解式为练习：求下面矩阵的奇异值分解式推论：设，是的个奇异值，那么存在次酉矩阵使得

矩阵的极分解定理：设，那么必存在酉矩阵与正定的H-矩阵使得且这样的分解式是唯一的。同时有。称分解式为矩阵的极分解表达式。定理：设，则存在与半正定H-矩阵使得且满足证明：根据矩阵的奇异值分解定理可知，存在酉矩阵使得其中，为的个奇异值。于是有如果令从而有其中是半正定的H-矩阵，是酉矩阵。由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划。定理：设，则是正规矩阵的充分必要条件是其中是半正定的H-矩阵，是酉矩阵，且

矩阵的谱分解我们主要讨论两种矩阵的普分解：正规矩阵与可对角化矩阵。设为正规矩阵，那么存在使得其中是矩阵的特征值所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵的谱分解表达式。

设正规矩阵有个互异的特征值，特征值的代数重数为，所对应的个两两正交的单位特征向量为，则的谱分解表达式又可以写成其中，并且显然有

有上面的谱分解表达式又可以给出正规矩阵的一种刻划。定理：设为一个阶矩阵，其有个互异的特征值，的代数重数为，那么为正规矩阵的充分必要条件是存在个阶矩阵且满足（6）满足上述性质的矩阵是唯一的。我们称为正交投影矩阵。例1：求正规矩阵的谱分解表达式。解：首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算从而的特征值为当时，求得三个线性无关的特征向量为当时，求得一个线性无关的特征向量为将正交化与单位化可得将单位化可得：于是有这样可得其谱分解表达式为例2：求正规矩阵的谱分解表达式。解：首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算从而的特征值为可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量再将其单位化可得三个标准正交的特征向量于是有这样可得其谱分解表达式为练习：求正规矩阵的谱分解表达式。下面我们讨论可对角化矩阵的谱分解表达式。

设是一个阶可对角化的矩阵，特征值为，与其相应的特征向量分别为，如果记那么其中由于，所以有又由于，从而现在观察矩阵与列向量之间的关系：这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量。另外注意到可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵的全部互异特征值及每个特征值所决定的线性无关特征向量（2）写出（3）令（4）最后写出例：已知矩阵为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。解:首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算从而的特征值为可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量于是取令那么其谱分解表达式为练习：设矩阵（1）取何值时，可以对角化?（2）当可对角化时，求可逆矩阵使得为对角矩阵。（3）当可对角化时，求其谱分解表达式。

矩阵函数

矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式定义：

已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。设为一个阶矩阵，为其Jordan标准形，则于是有我们称上面的表达式为矩阵多项式的Jordan表示。其中例已知多项式与矩阵求。解：首先求出矩阵的的Jordan标准形及其相似变换矩阵那么有定义：已知和关于变量的多项式如果满足，那么称为矩阵的一个零化多项式。定理：已知，为其特征多项式，则有我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。定义：已知，在的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的最小多项式，通常记为。最小多项式的性质：已知，那么（1）矩阵的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。例1：已知一个Jordan块求其最小多项式。解：注意到其特征多项式为，则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状其中。但是当时因此有例2：已知对角块矩阵，分别为子块的最小多项式，则的最小多项式为即为的最小公倍数。例3：求下列矩阵的最小多项式解：（1）首先求出其Jordan标准形为所以其最小多项式为。（2）此矩阵的Jordan标准形为从而其最小多项式为。（3）该矩阵的Jordan标准形为故其最小多项式为。（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式。

矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义：设，为的个互不相同的特征值，为其最小多项式且有其中如果函数具有足够高阶的导数并且下列个值存在，则称函数在矩阵的谱上有定义。例：设又已知容易求得矩阵的最小多项式为并且所以在的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵的最小多项式为显然不存在，所以在的谱上无定义。考虑下面两个问题：（1）设，如果有定义，那么是否也有定义？（2）设且可逆，如果有定义，那么是否也有定义？如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。定义：设矩阵的最小多项式为函数在矩阵的谱上有定义，如果存在多项式且满足则定义矩阵函数为如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多项式表示与幂级数表示定理：设，为矩阵的Jordan标准形，为其相似变换矩阵且使得

，如果函数在矩阵的谱上有定义，那么其中我们称此表达式为矩阵函数的Jordan表示。例1：设求的Jordan表示并计算。解：首先求出其Jordan标准形矩阵与相似变换矩阵从而的Jordan表示为当时，可得从而有当时，可得于是有当时，可得同样可得例2：设求的Jordan表示并计算解：首先求出其Jordan标准形矩阵与相似变换矩阵从而的Jordan表示为当时，可得于是有当时，可得故类似可求得矩阵函数的多项式表示定理：设函数与函数在矩阵的谱上都有定义，那么的充分必要条件是与在的谱上的值完全相同。设矩阵的最小多项式为其中为矩阵的个互异特征值且

如何寻找多项式使得与所求的矩阵函数完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为次的多项式且满足条件这样，多项式中的系数完全可以通过关系式确定出来。则我们称为矩阵函数的多项式表示。例1：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足于是可得解得所以其多项式表示为当时，可得于是有当时，可得故有类似地有例2：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足于是有解得所以其多项式表示为当时，可得于是有当时，可得故有类似地有例3：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1的多项式且满足于是有解得所以其多项式表示为当时，可得从而可得当时，可得故有同样可以得到练习：设求的多项式表示并且计算矩阵函数的幂级数表示定义：设，一元函数能够展开成关于的幂级数并且该幂级数地收敛半径为。当矩阵的谱半径时，我们将收敛矩阵幂级数的和定义为矩阵函数，一般记为，即因为当时，有当时，有当时，有所以对于任意的矩阵，当时，我们有由此可以得到一些简单的推论：

矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即定理：设，那么当时，我们有证明：首先证明第一个等式现在证明第二个等式同样可以证明其余的结论。注意：这里矩阵与的交换性条件是必不可少的。例：设那么容易计算并且于是有故有显然三者互不相等。另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。例：设是一个Hermite矩阵，那么是一个酉矩阵。证明：由矩阵指数函数公式可得这表明为一个酉矩阵。例：设是一个实的反对称矩阵（或反-H阵），那么为一个正交矩阵(或酉矩阵)。证明：设为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示可得同样可以证明当为一个反H-矩阵时，为一个酉矩阵。其中为维输入变量，维状态向量，为矩阵理论的简单应用一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统的状态空间性方程为

线性空间和线性映射分别为维输出向量，矩阵为型矩阵且均为时间的函数矩阵。定义：如果上述方程中的矩阵都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形方程为考虑一个线性定常系统

定义：对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的。定义：对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。我们首先以单输入单输出系统为例。考虑系统下面的单输入单输出系统：其中和是维矢量，是矩阵，及是标量。定理：上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵是可逆（非奇异）矩阵。例1：设由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。例2：设由于矩阵是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。定理：上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵是可逆（非奇异）矩阵。例3：设由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例4：设由于矩阵是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。我们再以多输入多输出系统为例。考虑系统下面的多输入多输出系统：定理：上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵是列满秩的。由于矩阵是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。例5：设二矩阵理论在生物数学中的应用在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89

瓣花。另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我们称下面的数列为Fibonacci级数。它满足下述第推公式：以及初始条件：试求该数列的通项公式，并且求出极限

解：设因为，所以令那么我们有于是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出

即可，我们利用的相似标准形来化简的计算。

的特征多项式为，它的两个特征根为：由此可以看出可以对角化。解齐次线性方程组可以得到它的一个基础解系：同理可得一个基础解系是令那么从而由递推公式以及初始条件可得比较上式的第二个分量得这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容易计算出：

这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。第一节线性空间一：线性空间的定义与例子定义

设是一个非空的集合，是一个数域，在集和中定义两种代数运算,一种是加法运算,用来表示;另一种是数乘运算,用来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）零元素在中存在一个元素，使得对于任意的都有（4）负元素对于中的任意元素都存在一个元素使得

（5）（6）（7）（8）称这样的为数域上的线性空间。例1

全体实函数集合构成实数域上的线性空间。例2

复数域上的全体型矩阵构成的集合为上的线性空间。

例3

实数域上全体次数小于或等于的多项式集合构成实数域上的线性空间例4

全体正的实数在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：

例5

表示实数域上的全体无限序列组成的的集合。即在中定义加法与数乘：则为实数域上的一个线性空间。例6

在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有例7

在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合不构成上的线性空间。Hilbert条件是：级数收敛例8

在中有界的无限序列组成的子集也构成上的线性空间。一个无限序列称为有界的，如果存在一个实数，使得二：线性空间的基本概念及其性质定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关部分无关；部分相关整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。例1

实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2

实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例3

实数域上的线性空间中，函数组也是线性无关的。例4

实数域上的线性空间空间中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。线性空间的基底，维数与坐标变换定义设为数域上的一个线性空间。如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意一个向量都可以由线性表出则称为的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称为一个维线性空间，记为例1

实数域上的线性空间中向量组与向量组

都是的基。是3维线性空间。例2

实数域上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。例3

实数域上的线性空间中的向量组

与向量组都是的基底。的维数为注意：

通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4

在4维线性空间中，向量组

与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。解：设向量在第一组基下的坐标为于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为

将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称阶方阵是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵是可逆的。任取，设在两组基下的坐标分别为

与，那么我们有：称上式为坐标变换公式。例1在4维线性空间中，向量组与向量组为其两组基，求从基到基的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式向量第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得在第二组基下的坐标为例2

教材13页例1.2.6

线性空间的子空间定义设为数域上的一个维线性空间，为的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的都有那么我们称为的一个子空间。例1对于任意一个有限维线性空间，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间

以及线性空间本身。例2

设，那么线性方程组的全部解为维线性空间的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3

设为维线性空间中的一组向量，那么非空子集合

构成线性空间的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称为该子空间的生成元。的基底即为向量组

的极大线性无关组，的维数即为向量组的秩。例4

实数域上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间，问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？子空间的交与和

矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量

定义设是数域上的线性空间的一个线性变换，如果对于数域中任一元素，中都存在一个非零向量，使得

那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。现在设是数域上的维线性空间，中取定一个基，设线性变换在这组基下的矩阵是，向量在这组基下的坐标是，。那么我们有

由此可得定理：

是的特征值是的特征值

是的属于的特征向量是的属于的特征向量因此，只要将的全部特征值求出来，它们就是线性变换的全部特征值；只要将矩阵的属于的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是的属于的全部特征向量。例1

设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的一个基下的矩阵是求的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为所以的特征值是（二重）与。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量是

这里为数域中不全为零的数对。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：

从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量这里为数域中任意非零数。

矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵的属于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以组成的一个子空间，称之为矩阵的属于特征值的特征子空间，记为，不难看出正是特征方程组的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。（3）设是的个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相似对角化定义数域上的维线性空间的一个线性变换称为可以对角化的，如果中存在一个基底，使得在这个基底下的矩阵为对角矩阵。我们在中取定一个基底，设线性变换在这个基下的矩阵为，那么可以得到下面的定理定理：可以对角化可以对角化。定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是

有个线性无关的特征向量。定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例1

判断矩阵是否可以对角化？解：先求出的特征值于是的特征值为（二重）由于是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑于是从而不可以相似对角化。例2

设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的一个基下的矩阵是判断是否可以对角化？解：根据前面例题的讨论可知有3个线性无关的特征向量:因此可以对角化，在这组基下的矩阵是由基到基的过渡矩阵是于是有例3

数域上的维线性空间的任一幂等变换一定可以对角化。

第二章－矩阵与矩阵的Jordan标准形再见！再见！

向量与矩阵的范数

定义：

设是实数域（或复数域）上的维线性空间，对于中的任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为的范数，记为，并且要求范数满足下列运算条件：

（1）非负性：当只有且仅有当

（2）齐次性：为任意数。（3）三角不等式：对于中的任意两个向量都有例：在维线性空间中，对于任意的向量定义证明：都是上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设则其中且。引理（Minkowski不等式）：设则其中实数。几种常用的范数定义：设向量，对任意的数