2024届甘肃省定西市渭源县数学高一第二学期期末质量检测试题含解析

2024届甘肃省定西市渭源县数学高一第二学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则（）．A． B． C． D．2．函数的大致图像是下列哪个选项（）A． B．C． D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B． C． D．4．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A． B． C． D．5．设，，在，，…，中，正数的个数是（）A．15 B．16 C．18 D．206．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（）A． B． C． D．7．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．3 B．6 C．9 D．818．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，9．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是A． B． C． D．10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝S4，则S13＝（）A．13 B．7 C．0 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．记，则函数的最小值为__________．12．__________.13．若实数满足，，则__________．14．已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________15．在中，是斜边的中点，，，平面，且，则_____．16．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则的值为___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.18．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.19．已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数在上的最大值和最小值.20．已知离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．21．2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

.所以选A.【题目点拨】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.2、B【解题分析】

化简，然后作图，值域小于部分翻折关于轴对称即可.【题目详解】，的图象与关于轴对称，将部分向上翻折，图象变化过程如下：轴上方部分图形即为所求图象.故选：B.【题目点拨】本题主要考查图形的对称变化，掌握关于轴对称是解决问题的关键.属于中档题.3、C【解题分析】

通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积.【题目详解】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选C.【题目点拨】本题考查了利用三视图求组合体图形的体积，考查了运算能力和空间想象能力.4、B【解题分析】

随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率．【题目详解】随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p．故选：B．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5、D【解题分析】

根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析的正负，再由的正负即可确定出，，…，中正数的个数.【题目详解】当时，，当时，，因为，所以，因为，，所以取等号时，所以均为正，又因为，所以均为正，所以正数的个数是：.故选：D.【题目点拨】本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.6、D【解题分析】

根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．【题目详解】A.，取，显然不成立，所以该选项错误；B.，取，显然不成立，所以该选项错误；C.，取，显然不成立，所以该选项错误；D.，由已知且，所以，即．所以该选项正确.故选：．【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7、A【解题分析】

利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.【题目详解】且本题正确选项：【题目点拨】本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.8、D【解题分析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【题目详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【题目点拨】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.9、B【解题分析】

可先确定奇偶性，再确定单调性．【题目详解】由题意A、B、C三个函数都是偶函数，D不是偶函数也不是奇函数，排除D，A中在上不单调，C中在是递增，只有B中函数在上递减．故选B．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．10、C【解题分析】

由题意，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．【题目详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝S4，∴4a1，解得a1＝﹣6d，∴S1378d﹣78d＝1．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

利用求解.【题目详解】，当时，等号成立.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解题分析】

利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可.【题目详解】.故答案为【题目点拨】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.13、【解题分析】

由反正弦函数的定义求解．【题目详解】∵，∴，，∴，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．14、【解题分析】

使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.【题目详解】已知圆C的方程为，要使过A点作圆的切线有两条即点A(1,2)在圆C外：恒成立.综上所述：故答案为：【题目点拨】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.15、【解题分析】

由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．【题目详解】如图，EC⊥面ABC，而CD⊂面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，∴CD＝5，ED1．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定和性质定理，利用勾股定理求线段的长度，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．16、2【解题分析】

根据等比数列的性质与基本量法求解即可.【题目详解】由题,因为,又等比数列的各项都是正数,故.故.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系.属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、【解题分析】

(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.(2)取线段的中点，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.【题目详解】(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，由题意有，解得：，，故圆的标准方程为.(2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为有则以为直径的圆的方程为：，整理为可得.令，解得或，故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、.【题目点拨】本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力.18、（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）【解题分析】

（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.【题目详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.【题目点拨】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.19、（1）；（2）5；-2【解题分析】

（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由求出的范围，再根据函数图像求最值即可【题目详解】（1），，令，即单减区间为；（2）由，当时，的最小值为：-2；当时，的最大值为：5【题目点拨】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题20、（1）（2）【解题分析】

（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长.【题目详解】（1），又，，即椭圆方程是，代入点,可得，椭圆方程