四川省宜宾市2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

四川省宜宾市2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量=(),=(-1,1),若,则的值为（）A． B． C． D．2．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．3．如果直线与平面不垂直，那么在平面内（）A．不存在与垂直的直线 B．存在一条与垂直的直线C．存在无数条与垂直的直线 D．任意一条都与垂直4．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）5．在中，，则是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．7．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为()A． B． C． D．8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），则首项a1为（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．10．若函数则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项12．函数的值域是________．13．设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________14．_____________.15．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：①三棱锥体积的最大值为；②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；④直线BQ与AP所成角的最大值为；其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）16．已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0)，若圆(x-2)2+(y-2)2=2上存在点C三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A、B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．18．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,华为的5G技术领先世界.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由H公司及G公司提供技术支持据市场调研预测,5C商用初期,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比及假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术,采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术设第n次技术更新后,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为及,不考虑其它因素的影响.(1)用表示,并求实数使是等比数列;(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由？(参考数据:)20．已知数列满足：，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前n项和，求证：21．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

对条件两边平方，得到该两个向量分别垂直，代入点的坐标，计算参数，即可．【题目详解】结合条件可知，，得到，代入坐标，得到，解得，故选D．【题目点拨】本道题考查了向量的运算，考查了向量垂直坐标表示，难度中等．2、C【解题分析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【题目详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【题目点拨】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．3、C【解题分析】

因为直线l与平面不垂直，必然会有一条直线与其垂直，而所有与该直线平行直线也与其垂直，因此选C4、D【解题分析】

直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可．【题目详解】解：向量a=（3，2），b则向量2b-故选D．【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．5、D【解题分析】

先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形【题目详解】因为，所以所以因为所以即所以所以因为，所以因为，所以，即是直角三角形故选：D【题目点拨】要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.6、D【解题分析】

根据三视图还原几何体，由三棱锥的几何特征即可求出其外接球表面积．【题目详解】根据三视图可知，该几何体如图所示：所以该几何体的外接球，即是长方体的外接球．因为，所以外接球直径．故该三棱锥的外接球表面积为．故选：D．【题目点拨】本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其外接球的表面积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率.【题目详解】同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有：共有36种，点数之和为5的基本事件有：共4种；所以所求概率为.故选C.【题目点拨】本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养.8、A【解题分析】

等比数列的公比设为，分别令，结合等比数列的定义和通项公式，解方程可得所求首项.【题目详解】等比数列的公比设为，由，令，可得，，两式相减可得，即，又所以.故选：A.【题目点拨】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9、D【解题分析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性10、B【解题分析】

首先根据题意得到，再计算即可.【题目详解】……，.故选：B【题目点拨】本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.【题目详解】解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为：.【题目点拨】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.12、【解题分析】

求出函数在上的值域，根据原函数与反函数的关系即可求解.【题目详解】因为函数，当时是单调减函数当时，；当时，所以在上的值域为根据反函数的定义域就是原函数的值域可得函数的值域为故答案为：【题目点拨】本题求一个反三角函数的值域，着重考查了余弦函数的图像与性质和反函数的性质等知识，属于基础题.13、2019【解题分析】

根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.【题目详解】由二次方程根与系数的关系可得，由等差数列的性质得出，因此，等差数列的前项的和为，故答案为.【题目点拨】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.14、【解题分析】,故填.15、①③【解题分析】

由①可知只需求点A到面的最大值对于②，求直线PB与平面PAQ所成角的最大值，可转化为到轴截面距离的最大值问题进行求解对于③④，可采用建系法进行分析【题目详解】选项①如图所示，当时，四棱锥体积最大，选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以选项③和④，如图所示：以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，由于，，，所以取不到答案选①、③【题目点拨】几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解.16、3【解题分析】

利用参数方程假设C点坐标，表示出AC和BC，利用AC⋅BC=0可得到a【题目详解】设C∴∵∠ACB=90°∴∴当sinα+∴0<a≤3本题正确结果：3【题目点拨】本题考查圆中参数范围求解的问题，关键是能够利用圆的参数方程，利用向量数量积及三角函数关系求得最值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．【解题分析】

本题可先将甲种薄钢板设为x张，乙种薄钢板设为y张，然后根据题意，得出两个不等式关系，也就是3x+6y≥45、5x+6y≥55以及薄钢板的总面积是z=2x+3y，然后通过线性规划画出图像并求出总面积z=2x+3y的最小值，最后得出结果．【题目详解】设甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x+6y个，B种产品外壳5x+6y个，由题意可得3x+6y≥455x+6y≥55x≥0,y≥0，薄钢板的总面积是可行域的阴影部分如图所示，其中l1：3x+6y=45、l2：因目标函数z=2x+3y在可行域上的最小值在区域边界的A5此时z的最小值为2×5+3×5=25即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A、【题目点拨】（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直角坐标系中的任意一条直线l；②平移：将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．（2）用线性规划解题时要注意z的几何意义．18、（1）（2）【解题分析】

（1）先由题意得到，求出，再由，作出，得到数列为等比数列，进而可求出其通项公式；（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.【题目详解】解：（1）由题可得.当时，，即.由题设，，两式相减得.所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2）由（1）可得，所以，.两边同乘以得.上式右边错位相减得.所以.化简得.【题目点拨】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的前项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.19、（1），；（2）见解析【解题分析】

(1)根据题意经过次技术更新后，通过整理得到，构造是等比数列，求出，得证；(2)由（1）可求出通项，令，通过相关计算即可求出n的最小值，从而得到答案.【题目详解】（1）由题意，可设5商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为.易知经过次技术更新后，则，①由①式，可设，对比①式可知.又.从而当时，是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，所以经过次技术更形后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比.由题意，令，得.故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.【题目点拨】本题主要考查数列的实际应用，等比数列的证明，数列与不等式的相关计算，综合性强，意在考查学生的阅读理解能力，转化能力，分析能力，计算能力，难度较大.20、(1)；；(2)(3)见证明；【解题分析】

（1）令可求得；（2）在已知等式基础上，用代得另一等式，然后相减，可求得，并检验一下是否适合此表达式；（3）用裂项相消法求和．【题目详解】解：（1）由已知得，∴(2)由，①得时，，②①-②得∴，也适合此式，∴（）．（3）由（2）得，∴∴∵，