2024届广州市重点中学数学高一第二学期期末经典试题含解析

2024届广州市重点中学数学高一第二学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生2．已知正项数列，若点在函数的图像上，则（）A．12 B．13 C．14 D．163．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN与BM所成角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列结论正确的是（）A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形6．在中，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．7．已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（）A．8 B． C． D．48．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（）A．600 B．800 C．1000 D．12009．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（）A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀B．有一部分棉花的纤维长度比较短C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上D．这批棉花有可能混进了一些次品二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，那么的值是________．12．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．13．的值为__________.14．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为________元.（精确到1元）15．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．16．函数的定义域________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.（1）用，表示；（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.18．某科研小组对冬季昼夜温差大小与某反季节作物种子发芽多少之间的关系进行分析，分别记录了每天昼夜温差和每100颗种子的发芽数，其中5天的数据如下，该小组的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，再用方程对其余的2组数据进行检验.日期第1天第2天第3天第4天第5天温度（℃）101113128发芽数（颗）2326322616（1）求余下的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是第2、3、4天的数据，求关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与2组检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式；线性回归方程中系数计算公式：，，其中、表示样本的平均值）19．已知，求的值．20．内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，，求的面积.21．已知是等差数列，设数列的前n项和为，且，，又，.（1）求和的通项公式；（2）令，求的前n项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：A中两事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中两事件既是互斥事件又是对立事件；D中两事件是互斥但不对立事件考点：互斥事件与对立事件2、A【解题分析】

由已知点在函数图象上求出通项公式，得，由对数的定义计算．【题目详解】由题意，，∴，∴．故选：A.【题目点拨】本题考查数列的通项公式，考查对数的运算．属于基础题．3、C【解题分析】

把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE和CN平行且相等，故∠EBM(或其补角)为所求.再由△BEM是等边三角形，可得∠EBM=60°,从而得出结论.【题目详解】把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE和CN平行且相等，故异面直线CN与BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM(或其补角)为所求,再由BEM是等边三角形，可得∠EBM=60,故选：C【题目点拨】本题主要考查了求异面直线所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题.4、C【解题分析】对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误对于④：假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确故选：C．5、D【解题分析】空间中不共线三点确定一个平面，空间中两两相交的三条直线确定一个或三个平面，一条直线和一个直线外一点能确定一个平面，梯形有两对边相互平行，所以梯形一定是平面图形，因此选D.6、C【解题分析】

根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【题目详解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故选C【题目点拨】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

先求解圆锥的底面半径,再根据侧面展开图的结构计算扇形中间的距离即可.【题目详解】设圆柱的高为,则,得.因为,所以为的中位线,所以,则.即圆锥的底面半径为1,母线长为4,则展开后所得扇形的弧长为,圆心角为.所以从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了圆柱与圆锥内切求解有关量的问题以及圆锥的侧面积展开求距离最小值的问题.属于中档题.8、B【解题分析】

根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数．【题目详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，即，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，则该校高二年级学生人数为人．故选：．【题目点拨】本题考查分层抽样的方法，属于容易题．9、B【解题分析】

先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得到本题答案.【题目详解】由题意可得，圆心到直线的距离为，故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B【题目点拨】本题主要考查直线与圆的综合问题，数学结合是解决本题的关键.10、C【解题分析】

根据频率分布直方图计算纤维长度超过的频率，可知不超过一半，从而得到结果.【题目详解】由频率分布直方图可知，纤维长度超过的频率为：棉花纤维长度达到以上的不超过一半不合理本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

首先根据题中条件求出角，然后代入即可.【题目详解】由题知，，所以，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.12、①③【解题分析】

∵f（x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；∵T=，故②不正确；令x=﹣代入f（x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，故y=f（x）的图象关于点对称，③正确④不正确；故答案为①③．13、【解题分析】

由反余弦可知，由此可计算出的值.【题目详解】.故答案为：.【题目点拨】本题考查正切值的计算，涉及反余弦的应用，求出反余弦值是关键，考查计算能力，属于基础题.14、218660【解题分析】

20万存款满一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（【题目详解】20万存款满一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（200000×(1.018)故填218660.【题目点拨】本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金×（1+利率×(1-15、4π【解题分析】

利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.【题目详解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π．【题目点拨】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.16、.【解题分析】

根据反正弦函数的定义得出，解出可得出所求函数的定义域.【题目详解】由反正弦的定义可得，解得，因此，函数的定义域为，故答案为：.【题目点拨】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）依题意可得、，再根据，计算可得；（2）设存在实数，使得，由因为，所以存在实数，使，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【题目详解】解：（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以.因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以，所以.因为，所以，则.又，.所以.（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数，使得，则因为，所以存在实数，使，即，整理得解得，故.【题目点拨】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.18、（1）；（2）；（3）线性回归方程是可靠的.【解题分析】

（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）由已知数据求得与，则线性回归方程可求；（3）利用回归方程计算与8时的值，再由已知数据作差取绝对值，与1比较大小得结论．【题目详解】解：（1）设“余下的2组数据恰好是不相邻2天数据为事件”，从5组数据中选取3组数据，余下的2组数据共10种情况：，，，，，，，，，．其中事件的有6种，；（2）由数据求得，，且，．代入公式得：，．线性回归方程为：；（3）当时，，，当时，，．故得到的线性回归方程是可靠的．【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查古典概型的概率计算问题，属于中档题．19、3【解题分析】

利用两角和的正切公式化简，求得的值，根据诱导公式求得的值.【题目详解】由得．将代入上式，得，解得．于是，所以．【题目点拨】本小题主要考查两角和的正切公式、诱导公式，属于基础题.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得，从而得．（2）用余弦定理求得，再由三角形面积公式可得三角形面积．【题目详解】（1）因为，由正弦定理，因为，，所以.因为，所以.（2）因为，，，由余弦定理得，解得或，均适合题.当时，的面积为.当时，的面积为.【题目点拨】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定