辽宁省葫芦岛市兴城市2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市兴城市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.2(x-1)=x B.x2-xy=2 C.x22.下列图形中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是(

)A.516

B.38

C.7164.“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是(

)A.确定事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.必然事件5.将y=4x2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为(

)A.y=4(x+3)2+1 B.y=4(x+1)2+36.在一个不透明的口袋里放置4个红球，n个绿球和2个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且绘制了绿球出现的频率图，则n的值可能是(

)A.2 B.4 C.6 D.97.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是(

)

A.π(x+3)2-x2=72 B.π(8.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=36°，弦AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形是(

)A.正五边形

B.正六边形

C.正十边形

D.正十二边形9.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点E在线段BC上，CE=5，以点C为圆心，CE长为半径作弧交AC于点D，交BC的延长线于点F，以点F为圆心，DE长为半径作弧，交DF于点G，连接CG，过点G作GH⊥BF，垂足为点H，则线段GH的长为(

)A.2 B.3 C.4 D.510.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为x=-1，以下结论：①abc>0；②当x>-2时，y的值随x值的增大而增大；③5a+2b+c<0；④抛物线一定经过点(-c3a,0)；⑤关于x的方程axA.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标为______12.已知A(0,3)，B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，则b=______13.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则圆锥的全面积为______．14.若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是______．15.如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是______．

16.如图，△ABC中，∠A=40°，△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A1BC1，若点C恰好在线段A1C1上，A

17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在线段AB上运动，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若△CDE与△BDE相似，则线段DE的长为______．

18.如图，在△ABC中，AC=4，AB=3，以点C为旋转中心，将线段BC顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，则线段AD的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题10.0分)

解方程：

(1)x2+5x+7=3x+11；

20.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(-2,-1)，C(1,-1)，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'．

(1)画出△AB'C'，写出点B'，C'的坐标；

(2)请直接写出线段AB'与x轴交点的坐标．21.(本小题12.0分)

为庆祝党的二十大的胜利召开，某校开展了“永远跟党走，奋进新征程”为主题的教育活动，活动方式有书法展示、手抄报设计、唱响经典红歌、爱国主义主题演讲(分别用字母A，B，C，D依次表示这四种活动方式)，为了解全体学生最喜欢哪种活动方式(要求必须选择一种且只能选择一种)，抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了以下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息回答下列问题：

(1)这次被调查的学生有多少人？

(2)请补全条形统计图；

(3)全校共有2400人，请估计该校最喜欢“书法展示”的学生有多少人？

(4)某班准备从最喜欢爱国主义主题演讲的甲、乙两名女生和丙、丁两名男生中任选两人参加学校组织的爱国主义演讲比赛，请用列表法或画树状图法求所选两人恰好为1名女生和1名男生的概率．22.(本小题12.0分)

如图，AB为⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠ADC=45°，CD交AB于点E．

(1)求∠BAC的度数；

(2)若点E为OB中点，CE=5，求AE的长．23.(本小题12.0分)

2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y(个)与销售单价x(元)满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？

(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？24.(本小题12.0分)

如图，△ABC中，∠B=∠ACB=30°，点O在线段BC上，连接AO，AO=OC，过点C作CD//AB交AO的延长线于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

(1)求证：AC为⊙O的切线；

(2)若AD=6，求图中阴影部分的面积．25.(本小题12.0分)

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC中点，点E在射线AD上运动，线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF．

(1)当点E与点D重合时，请直接写出AE与AF的数量关系；

(2)当点E在线段AD上时，请写出线段AF，ED，DC的数量关系，并说明理由；

(3)若AC=32，ED=1，请直接写出△ACF的面积．

26.(本小题14.0分)

如图，抛物线y=ax2+125x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线CD上运动．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点E在线段CD上，点D关于直线OE的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标；

(3)点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点答案和解析1.【答案】C

解析：解：A、2(x-1)=x，是一元一次方程，故不符合题意；

B、x2-xy=2，含有两个未知数，故不符合题意；

C、x2-2x+1=0，是一元二次方程，故符合题意；

D、x22.【答案】B

解析：解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：B．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】B

解析：解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，

∴黑色方砖在整个地板中所占的比值=616=38，

∴该小球停留在黑色区域的概率是34.【答案】B

解析：解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，

故选：B．

必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能够确定一个事件是何种事件是解题的关键；

5.【答案】C

解析：解：∵二次函数y=3x2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，

∴所得图象的函数解析式是：y=4(x-3)2+1．

故选：C．

由二次函数y=46.【答案】D

解析：解：由统计图可知，黄球出现的频率为0.6，

∴n4+n+2=0.6，

解得n=9，

经检验，n=9是原方程的解．

故选：D．

根据统计图可知，黄球出现的频率为0.67.【答案】B

解析：解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π(x2+3)8.【答案】A

解析：解：如图，连接AO，BO，

∵∠ACB=36°，

∴∠AOB=2∠C=72°，

∴360°÷72°=5，

∴AB是正五边形的一条边，

故选：A．

构造弧AB所对的圆周角后即可求得答案．

本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．

9.【答案】B

解析：解：∵以点F为圆心，DE长为半径作弧，交DF于点G，

∴FG=DE，

∴∠GCH=∠ACB，

∵GH⊥BF，

∴∠GHC=90°，

∴∠B=∠GHC=90°，

∴△CGH∽△CAB，

∴GH：AB=CG：AC，

∵AC=AB2+BC2=62+82=10，

∴GH：6=5：10，

∴GH=3．

故选：B10.【答案】D

解析：解：①∵函数开口方向向下，

∴a<0；

∵对称轴在y轴左侧，

∴a、b同号，

∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，

∴c>0，

∴abc>0，

故①正确；

②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，

∴当x<-2时，y的值随x值的增大而增大，

故②错误；

③∵图象与x轴交于点A(-3,0)，对称轴为直线x=-1，

∴图象与x轴的另一个交点为(1,0)，

∴a+b+c=0，

∵x=3时，y<0，

∴9a+3b+c<0，

∵10a+4b+2c<0，即5a+2b+c<0，

故③正确；

④∵图象与x轴的交点为在(-3,0)和(1,0)，

∴ax2+bx+c=0的两根为-3和1，

∴-3=ca，

∴c=-3a，

∴-c3a=1，

∴抛物线一定经过点(-c3a,0)，

故④正确；

⑤∵抛物线与直线y=-x+1有两个交点，

∴关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根，

故⑤正确．

综上所述，正确的有①③④⑤共4个，

故选：D．

由题意得到抛物线的开口向上，对称轴-b2a=-1，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc>0，即可判断①；

根据函数性质即可判断②；

根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)以及x=3时，y<0，得到11.【答案】(-3,5)

解析：解：y=2(x+3)2+5的顶点坐标为(-3,5)．

故答案为：(-3,5)12.【答案】2

解析：解：将A(0,3)，B(2,3)代入解析式，

得：c=3-4+2b+c=3，

解得b=2c=3，

故答案为13.【答案】5200πcm解析：解：∵圆锥的底面直径是80cm，

∴底面圆的半径为40cm，

∴圆锥的底面积为402π=1600π，圆锥的侧面积=π×40×90=3600πcm2．

∴圆锥的全面积为1600π+3600π=5200πcm2．

故答案为：14.【答案】a≤1

解析：解：因为关于x的一元二次方程有实根，

所以△=b2-4ac=4-4a≥0，

解之得a≤1．

故答案为a≤1．

在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

(1)二次项系数不为零；

(2)在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c15.【答案】35°

解析：解：如图，连接OD，

根据题意得，∠CAB=60°，

∵点D在量角器上对应的读数是50°，

∴∠DOB=50°，

∵∠DAB=12∠DOB，

∴∠DAB=25°，

∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=35°，

故答案为：35°．

根据圆周角定理得出16.【答案】70°

解析：解：∵△ABC中，∠A=40°，△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A1BC1，

∴∠A=∠A1=40°，CB=CB1，

∵A17.【答案】1.5或1.92

解析：解：∵DE⊥BC，

∴∠DEB=90°．

∴∠ACB=∠DEB．

∴DE//AC．

∴△ACB∽△DEB．

∵△CDE与△BDE相似，

(一)当∠B=∠DCB时，∵DE⊥BC，

∴点E是CB的中点．

∴DE是△ABC的中位线．

∴DE=12AC=1.5．

(二)当∠B=∠EDC时，

∴CEDE=DEBE．

由△ACB∽△DEB得DEBE=ACBC=34．

∴CEDE=DEBE=34．

∴CE=3418.【答案】1

解析：解：如图，把线段AC绕着C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，

∴△ACE为等边三角形，

∴AE=AC=4，

在△ADE中，AD+DE≥AE，

∴AD≥AE-DE，

∵以点C为旋转中心，将线段BC顺时针旋转60°，得到线段CD，

∴△CBA≌△CDE，

∴AB=DE=3，

∴AD≥AE-DE=4-3=1，

∴线段AD的最小值为1．

故答案为：1．

首先把线段AC绕着C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，可以得到AD≥AE-DE，然后利用旋转的性质和等边三角形的性质即可求解．

此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了全等三角形的性质、等边三角形的性质及三角形的三边关系，有一定的综合性．

19.【答案】解：(1)x2+5x+7=3x+11，

x2+2x-4=0，

∵a=1，b=2，c=-4，

∴x=-b±b2-4ac2a=-2±22-4×1×(-4)2×1=-2±252，

∴x解析：(1)先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解即可；

(2)先化成一般式找到a、b、c，计算b2-4ac判定根的情况，最后运用求根公式即可求解．

本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出20.【答案】解：(1)如图，△AB'C'即为所求．

点B'(3,-2)，C'(3,1)．

(2)设直线AB'的解析式为y=kx+b，

将A(1,1)，B'(3,-2)代入，

得k+b=13k+b=-2，

解得k=-32b=52，

∴直线AB'的解析式为y=-32x+52，

令y=0，得x=解析：(1)根据旋转的性质作图，即可得出答案．

(2)利用待定系数法求出直线AB'的解析式，再令y=0，求出x，即可得所求的坐标．

本题考查作图-旋转变换、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握旋转的性质以及待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．

21.【答案】解：(1)30÷30%=100(人)，

答：这次被调查的学生有100人；

(2)喜欢C的人数为：100-20-30-15=35(人)，

补全条形统计图如下：

(3)2400×20100=480(人)，

答：估计该校最喜欢“书法展示”的学生约有480人；

(4)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选两人恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，

∴所选两人恰好为1名女生和1名男生的概率为812解析：(1)由喜欢B的人数除以所占百分比即可；

(2)求出喜欢C的人数，补全条形统计图即可；

(3)由全校共有学生人数乘以该校最喜欢“书法展示”的学生所占的比例即可；

(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选两人恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．

本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：(1)连接OC，

∵∠ADC=45°，

∴∠AOC=2∠ADC=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠BAC的度数为45°；

(2)设OE=x，

∵点E为OB中点，

∴OB=2OE=2x，

∴AO=OC=OB=2x，

在Rt△COE中，CE=5，

∴OE2+OC2=CE2，

∴x2+(2x)2=52解析：(1)连接OC，利用圆周角定理可求出∠AOC=2∠ADC=90°，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答；

(2)设OE=x，根据线段中点的定义可得AO=OC=OB=2x，然后在Rt△COE中，利用勾股定理进行计算即可解答．

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，

由图象可得，当x=50时，y=120；x=60时，y=100，

∴50k+b=12060k+b=100，

解得：k=-2b=220，

∵销售单价不低于成本价且不高于成本价的1.8倍，

∴40≤x≤72

∴y与x之间的关系式为：y=-2x+220(40≤x≤72)；

(2)根据题意得：(x-40)(-2x+220)=2400，

整理得：x2-150x+5600=0，

解得x=70或x=80，

∵40≤x≤72，

∴x=70，

答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；

(3)设该商家每天获得的利润为w元，

则w=(x-40)y=(x-40)(-2x+220)=-2x2+300x-8800=-2(x-75)2+2450，

∵-2<0，40≤x≤72，

∴当x=72时，w最大，最大值为解析：(1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，把x=50时，y=120；x=60时，y=100，代入解析式可得k、b的值解方程组即可得到结论；

(2)根据每个毛绒玩具“拉伊卜”利润×销售利润=2400列出方程，解方程取在40≤x≤72的值即可；

(2)设该公司日获利为w元，根据每天的总利润=每个毛绒玩具“拉伊卜”利润×销售利润列出函数解析式，根据二次函数的性质和自变量的取值范围求函数最值．

本题考查了二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

24.【答案】(1)证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E，

∵∠B=∠ACB=30°，

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，

∵AO=OC，

∴∠CAO=∠ACB=30°，

∴∠BAD=∠BAC-∠CAO=90°，

∵CD//AB，

∴∠ODC=∠BAD=90°，∠DCO=∠B=30°=∠ECO，

∵OE⊥AC，

∴∠OEC=90°=∠ODC，

在△OCE和△OCD中，

∠OEC=∠ODC∠ECO=∠DCOOC=OC，

∴△OCE≌△OCD(AAS)，

∴OE=OD，

∵⊙O是以O为圆心，OD为半径，

∴OE为半径，

又OE⊥AC，

∴AC为⊙O的切线；

(2)解：由(1)得，∠ODC=90°，∠DAC=30°，

∵AD=6，

∴CD=AD⋅tan30°=6×33=23，

∵∠OCD=30°，

∴OD=CD⋅tan30°=23×33=2解析：(1)过点O作OE⊥AC于点E，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角的和差求出∠BAD=90°，根据平行线的性质得出∠ODC=∠BAD=90°，∠DCO=30°=∠ECO，利用AAS证明△OCE≌△OCD，则OE=OD，进而得出OE为半径，根据切线的判定定理即可得解；

(2)解直角三角形得出CD=23，OD=2，根据阴影部分的面积=四边形ODCE的面积25.【答案】(1)解：AE=AF，理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC中点，

∴AD=DC=BD，AD⊥DC，

∵点E与点D重合时，

∴AE=EC，

∵线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，

∴EC=CF，EC⊥CF，

∴AE=CF，AE//CF，

∴四边形AECF是正方形，

∴AE=AF；

(2)解：AF-ED=DC，理由如下：

过点C作CG⊥AC，交AD的延长线于点G，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠DAC=45°，

∵∠ACG=90°，

∴∠AGC=45°，∠DCG=45°，

∴AC=GC，DC=DG，

∵∠ACG=∠ECG，

∴∠FCA=∠ECG，

∵EC=FC，

∴△ACF≌△GCE(SAS)，

∴AF=EG，

∵EG-ED=DG=DC，

∴AF-ED=DC；

(3)解：当E在线段AD上，由(2)可知，△ACF≌△GCE，

∴△ACF的面积=△GCE的面积，

∵AC=32，ED=1，

∴CD=AD=DG=3，

∴EG=ED+DG=1+3=4，

∴△ACF的面积=△GCE的面积=12EG×CD=12×4×3=6，

当当E在射线AD上，△ACF的面积=△GCE的面积=解析：(1)根据直角三角形的性质和正方形的判定和性质解答即可；

(2)过点C作CG⊥AC，交AD的延长线于点G，根据直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

(3)根据等腰直角三角形的性质得出边长关系，进而解答即可．

本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+125x+c与x轴交于点A(-1,0)，与y轴交于点C(0,3)，

∴a-125+c=0c=3，

解得a=-