2023-2024学年重庆市北碚区高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年重庆市北碚区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数的定义域为（）A． B． C．{x|x≥1} D．2．（5分）已知，那么cosα＝（）A． B． C． D．3．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≤0 C．∃x∈R，x2+2x+2＜0 D．∃x∈R，x2+2x+2≥04．（5分）古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，…．如图，则cos∠BAD＝（）A． B． C． D．5．（5分）设a＝0.20.4，b＝log30.4，c＝log56，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b6．（5分）函数的图像大致是（）A． B． C． D．7．（5分）设函数，若f（f（a））≥3，则实数a的取值范围是（）A． B． C．[﹣3，1] D．[1，+∞）8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+2）是偶函数，且f（x）在[0，2]上是增函数，则（）A．f（2）＜f（27）＜f（13） B．f（2）＜f（13）＜f（27） C．f（13）＜f（27）＜f（2） D．f（13）＜f（2）＜f（27）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的逸理中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．集合{0，2，1}和{1，0，2}是同一个集合 B．函数在定义域内为减函数 C．与y＝|x﹣2|是同一个函数 D．锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角（多选）10．（5分）下列化简正确的是（）A．sin45°cos45°＝1 B． C． D．11．（5分）函数f（x）＝ax2+2x+1与g（x）＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）下列说法正确的是（）A．函数的最小值为﹣4 B．关于x的不等式ax2+bx﹣2＜0的解集是（﹣1，2），则a+b＝0 C．若正实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为 D．若函数在区间（﹣∞，1）单调递减，则实数m的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13．（5分）设集合A＝{x|x≤4}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝．14．（5分）用二分法求图象是连续不断的函数f（x）在x∈（3，5）内零点近似值的过程中得到f（3）＜0，f（4）＜0，f（5）＞0，则函数的零点落在区间．15．（5分）已知正实数a，b满足2a+b＝4，则的最小值是．16．（5分）若定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，且当x＞0时，f（x）＜0，则f（0）＝，若，则满足不等式f（sin2α）＞2f（sinα）的α的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知角θ的终边为射线．（1）求sinθ，cosθ，tanθ的值；（2）求的值．18．（12分）化简求值：（1）；（2）．19．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）用单调性定义证明f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）若f（x）的定义域为（﹣1，1），解不等式．20．（12分）某学校在校园美化、改造活动中需要在半径为50m，圆心角为的扇形空地OPQ的内部修建一个矩形观赛场地ABCD．如图所示，M为弧PQ的中点，OM与AB和DC分别交于点E、F，记∠DOM＝θ．（1）求矩形ABCD面积S与θ之间的函数关系S＝f（θ）；（2）当θ取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大面积．21．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1，，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，____．请从以下三个条件中任选一个补充至横线上．①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线②函数f（x）的图象的一个对称中心为点③函数f（x）的图象经过点（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）将y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若对任意的，不等式g2（x）﹣mg（x）+1≤0恒成立，求m的取值范围．22．（12分）函数f（x）＝|ex﹣2|（e为自然对数的底数）．（1）若f（x0）＝2，求x0；（2）若关于x的方程，有三个不相等的实数解x1，x2，x3，（x1＜x2＜x3）．求的值．

2023-2024学年重庆市北碚区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数的定义域为（）A． B． C．{x|x≥1} D．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：，则，解得．故选：B．【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．2．（5分）已知，那么cosα＝（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．【解答】解：，则．故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．3．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≤0 C．∃x∈R，x2+2x+2＜0 D．∃x∈R，x2+2x+2≥0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x2+2x+2＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，…．如图，则cos∠BAD＝（）A． B． C． D．【分析】利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解．【解答】解：记∠BAC＝α，∠CAD＝β，由图知：，，，所以cos∠BAD＝cos（∠BAC+∠CAD）＝cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝．故选：B．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）设a＝0.20.4，b＝log30.4，c＝log56，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．【解答】解：0＜a＝0.20.4＜1，b＝log30.4＜log31＝0，c＝log56，综上所述，c＞a＞b．故选：C．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．6．（5分）函数的图像大致是（）A． B． C． D．【分析】先写出函数的定义域，再分0＜x＜1和x≥1两种情况，化简函数y的解析式，即可得解．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），当0＜x＜1时，y＝+（x﹣1）＝+x﹣1＞2﹣1＝1，当x≥1时，y＝﹣（x﹣1）＝x﹣x+1＝1，综上，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查分段函数的图象与性质，熟练掌握对数的运算法则，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．（5分）设函数，若f（f（a））≥3，则实数a的取值范围是（）A． B． C．[﹣3，1] D．[1，+∞）【分析】令f（a）＝t，先分段讨论t求得f（a）≥1，再分段讨论a，进一步求出a的范围即可．【解答】解：因为，令f（a）＝t，则f（f（a））≥3可化为f（t）≥3，当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1（负值舍去），即f（a）≥1；当t＜0时，﹣t2+2t≥3，即t2﹣2t+3≤0，而t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2＞0，故上述不等式无解，综上，f（a）≥1．若a≥0，则a2+2a≥1，解得（负值舍去）；若a＜0，则﹣a2+2a≥1，解得a＝1（舍去），综上，实数a的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用，一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+2）是偶函数，且f（x）在[0，2]上是增函数，则（）A．f（2）＜f（27）＜f（13） B．f（2）＜f（13）＜f（27） C．f（13）＜f（27）＜f（2） D．f（13）＜f（2）＜f（27）【分析】利用函数平移得到f（x）是奇函数，再利用对称性和奇偶性得到f（x）的周期为8，且在[﹣2，2]上是增函数，从而利用f（x）的性质即可得解【解答】解：因为f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，所以f（x）对称中心是（0，0），故f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，因为f（x+2）是偶函数，所以f（x+2）＝f（﹣x+2），则f（x+4）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），因此f（x）的周期为8，所以f（27）＝f（3）＝f（1），f（13）＝f（5）＝f（﹣1），因为f（x）在[0，2]上是增函数且f（x）是奇函数，所以f（x）在[﹣2，2]上是增函数，所以f（﹣1）＜f（1）＜f（2），所以f（13）＜f（27）＜f（2）．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及周期性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的逸理中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．集合{0，2，1}和{1，0，2}是同一个集合 B．函数在定义域内为减函数 C．与y＝|x﹣2|是同一个函数 D．锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角【分析】结合函数的性质，集合的定义，同一函数和象限角的定义，即可求解．【解答】解：对于A，由集合的无序性可知，集合{0，2，1}和{1，0，2}是同一个集合，故A正确；对于B，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在定义域内不为减函数，故B错误；对于C，y＝，函数解析式相同，定义域、值域、映射关系也相同，故C正确；对于D，390°为第一象限角，但不为锐角，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查函数的性质，集合的定义，同一函数和象限角的定义，属于基础题．（多选）10．（5分）下列化简正确的是（）A．sin45°cos45°＝1 B． C． D．【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．【解答】解：对于A，sin45°cos45°＝，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，＝cos60°sin40°+sin60°cos40°＝sin（60°+40°）＝sin100°＝sin80°，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题．11．（5分）函数f（x）＝ax2+2x+1与g（x）＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为（）A． B． C． D．【分析】利用二次函数的图象得出a的正负，结合幂函数特点可得答案．【解答】解：对于A，二次函数开口向下，所以a＜0，此时g（x）＝xa与图中符合；对于B，二次函数开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝xa在（0，+∞）为增函数，不符合；对于C，二次函数开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝xa在（0，+∞）为增函数，符合；对于D，二次函数开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝xa在（0，+∞）为增函数，符合．故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的判断，属于基础题．（多选）12．（5分）下列说法正确的是（）A．函数的最小值为﹣4 B．关于x的不等式ax2+bx﹣2＜0的解集是（﹣1，2），则a+b＝0 C．若正实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为 D．若函数在区间（﹣∞，1）单调递减，则实数m的取值范围是【分析】A中，由基本不等式的性质，可得函数y的最大值，判断出A的真假；B中，由不等式的解集，可得方程的根，再由韦达定理可得a+b＝0，判断出B的真假；C值，由“1”的活用及基本不等式的性质，可得代数式的最小值，判断出C的真假；D中，由对数函数的性质可得m的范围，判断出D的真假．【解答】解：A中，因为x∈（﹣，0），所以tanx＜0，所以﹣tanx＞0，所以﹣tanx+（﹣）≥2＝4，当且仅当﹣tanx＝﹣，即tanx＝﹣2时取等号，所以y＝tanx+≤﹣4，即函数y的最大值为﹣4，所以A不正确；B中，关于x的不等式ax2+bx﹣2＜0的解集是（﹣1，2），可得﹣1，2为关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的解，所以﹣1+2＝﹣，即a+b＝0，所以B正确；C中，因为正实数a，b满足a+b＝2，即a+1+b＝3，则＝（）••（a+1+b）＝[1+1++]≥（2+2）＝，当且仅当＝，即b＝a+1，即a＝，b＝时取等号，即的最小值为，所以C正确；D中，若函数在区间（﹣∞，1）单调递减，，解得﹣＜m≤﹣，所以D不正确．故选：BC．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用及代数式的性质的应用，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13．（5分）设集合A＝{x|x≤4}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝（2，4]．【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：A＝{x|x≤4}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝{x|x＞2}，则A∩B＝（2，4]．故答案为：（2，4]．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．14．（5分）用二分法求图象是连续不断的函数f（x）在x∈（3，5）内零点近似值的过程中得到f（3）＜0，f（4）＜0，f（5）＞0，则函数的零点落在区间（4，5）．【分析】根据函数的零点存在定理判断即可．【解答】解：由题意可知，函数f（x）的图象是连续不断，且在x∈（3，5）内存在零点，因为f（4）＜0，f（5）＞0，所以f（4）•f（5）＜0，所以函数的零点落在区间（4，5）．故答案为：（4，5）．【点评】本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．15．（5分）已知正实数a，b满足2a+b＝4，则的最小值是．【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解．【解答】解：正实数a，b满足2a+b＝4，则（2a+b）2＝4a2+4ab+b2＝16，4a2+b2＝（2a+b）2﹣4ab＝16﹣4ab＝16﹣2•2a•b≥，当且仅当2a＝b＝2时，等号成立，故≥，所以所求最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．16．（5分）若定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，且当x＞0时，f（x）＜0，则f（0）＝0，若，则满足不等式f（sin2α）＞2f（sinα）的α的取值范围是（﹣，0）．【分析】由已知利用赋值法，根据函数的单调性及奇偶性，正弦函数的性质，结合同角三角函数关系即可分别求解．【解答】解：因为定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，所以f（0）+f（0）＝f（0），即f（0）＝0，令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，因为当x＞0时，f（x）＜0，任取﹣1＜x1＜x2＜1，则1﹣x1x2＞0，x2﹣x1＞0，＞0，由可得，f（x2）+f（﹣x1）＝f（）＜0，所以f（x2）+f（﹣x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），所以f（x）在（﹣1，1）上单调递减的奇函数，若，则不等式f（sin2α）＞2f（sinα）可转化为f（）＞2f（sinα），所以f（）＞2f（sinα），即2f（tanα）＞2f（sinα），所以f（tanα）＞2（sinα），因为，所以﹣1＜tanα＜1，﹣，因为f（x）在（﹣1，1）上单调递减，所以tanα＜sinα，即＜sinα，所以sinα＜sinαcosα，即sinα（1﹣cosα）＜0，即或，解得﹣，故α的范围为（﹣，0）．故答案为：0；（﹣，0）．【点评】本题主要考查了赋值法的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知角θ的终边为射线．（1）求sinθ，cosθ，tanθ的值；（2）求的值．【分析】（1）结合三角函数的定义，即可求解；（2）结合余弦的两角和公式，即可求解．【解答】解：（1）角θ的终边为射线，在该射线上取一点（4，﹣3），则sinθ＝，同理可得，cosθ＝，tanθ＝﹣；（2），cos2θ＝，故＝＝＝．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．18．（12分）化简求值：（1）；（2）．【分析】（1）根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据已知条件，结合对数的运算法则，即可求解．【解答】解：（1）原式＝+＝＝＝16；（2）原式＝＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．19．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）用单调性定义证明f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）若f（x）的定义域为（﹣1，1），解不等式．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断；（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，然后利用作差法检验f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．【解答】（1）解：函数定义域为R，因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数；（2）证明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则x2﹣x1＞0，2﹣x1x2＞0，2+＞02+＞0，所以＞0则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）解：因为f（x）的定义域为（﹣1，1），由不等式可得f（x2）＞﹣f（）＝f（﹣），所以x2＜﹣且，解得，故不等式的解集为{x|}．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，还考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某学校在校园美化、改造活动中需要在半径为50m，圆心角为的扇形空地OPQ的内部修建一个矩形观赛场地ABCD．如图所示，M为弧PQ的中点，OM与AB和DC分别交于点E、F，记∠DOM＝θ．（1）求矩形ABCD面积S与θ之间的函数关系S＝f（θ）；（2）当θ取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大面积．【分析】（1）由题意得θ的取值范围，用θ的三角函数分别表示出DF和EF，计算矩形ABCD的面积，根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；（2）由θ的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，求解即可．【解答】解：（1）由题知，θ∈（0，），在Rt△ODF中，OF＝50cosθ，DF＝50sinθ，所以AE＝DF＝50sinθ，在Rt△OAE中，OE＝＝＝，所以EF＝OF﹣OE＝50cosθ﹣，所以矩形ABCD面积为：S＝f（θ）＝2DF•EF＝100sinθ（50cosθ﹣）＝5000（sinθcosθ﹣）＝5000（sin2θ﹣）＝（sin2θ+cos2θ﹣）＝[sin（2θ+）﹣]，θ∈（0，）．（2）因为θ∈（0，），所以2θ+∈（，），当2θ+＝，即θ＝时，S取得最大值为Smax＝f（）＝×（1﹣）＝（m2）．【点评】本题考查了三角函数的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1，，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，____．请从以下三个条件中任选一个补充至横线上．①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线②函数f（x）的图象的一个对称中心为点③函数f（x）的图象经过点（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）将y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若对任意的，不等式g2（x）﹣mg（x）+1≤0恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）结合正弦函数的周期先求出ω，然后结合正弦函数的性质即可求解函数解析式；（2）结合函数图象的平移先求出g（x）的解析式，然后结合正弦函数的性质求出g（x）的范围，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解m的范围．【解答】解：（1）由题意得，T＝2×＝π，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）+1，若选①：函数f（x）的图象的一条对称轴为直线，则，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝，f（x）＝2sin（2x+）