江苏省南京梅山2022年高考数学全真模拟密押卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设“，"是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m!M,mLB，则〃

②若则々〃尸；③若加_La,nila,则加_L〃；④若mHa,m工0,则。J_£；其中真命题的个

数为()

A.1B.2C.3D.4

2.已知i为虚数单位，复数z=(l+i)(2+i),则其共轨复数』=()

A.l+3zB.1-3zC.—l+3zD.-1—3i

9+1X〉0

3.已知函数/(X)={'是奇函数，则g(7(-D)的值为()

g(x),x<0

A.-10B.-9C.-7D.1

4.已知/为抛物线无2=4)，的准线，抛物线上的点M到/的距离为d,点尸的坐标为(4,1),贝1」|画+。的最小值是

()

A.717B.4C.2D.1+V17

5.已知双曲线「+-斗=13>0/>0)的一条渐近线为/,圆C：(x—c)2+V=4与/相切于点A，若乙4片乙的

面积为26，则双曲线厂的离心率为()

A.2B.C.-D.—

333

6.已知为非零向量，*25=52万”为“区忸=归5”的()

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.已知定义在R上的偶函数/(*),当xNO时，设a=/(E0),b=/(&),c=/(ln^),

则)

A.h>a>cB.h>a=cC.a=c>bD.c>a>h

1-Y2

8.函数上的图象大致为0

ex

9.已知函数/□)=,则/[/.(—2)]=()

C.3D.4

10.函数f(x)=Asin(s+0)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与7Xx)的图象交于两点，且M在)’轴

上，则下列说法中正确的是

A.函数/(x)的最小正周期是2兀

<4、

B.函数的图象关于点可兀,0成中心对称

C.函数"X)在(-=,<)单调递增

36

54

D.函数/(X)的图象向右平移——后关于原点成中心对称

12

11.已知3=(1,2),B=(m,/”+3),c=(加一2,-1),若£//B，则B•2=()

A.-7B.-3C.3D.7

12.已知山，〃是两条不重合的直线，a是一个平面，则下列命题中正确的是()

A.若m//a,ntla,则/”〃〃B.若mJ/a,〃ua,贝||〃〃/〃

C.若/〃J_〃，m±a,则〃//aD.若n!la»则〃z_L〃

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在数列｛凡｝中，％=1,。户0,曲线y=V在点(。“,片)处的切线经过点(见M，0),下列四个结论：①为=|；

1465

②。3=彳；③£生=不7；④数列｛4｝是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.

3/=]27

22

14.已知曲线。：J—]=l(x>0),点A,8在曲线。上，且以AB为直径的圆的方程是。-2)2+(>-1)2=1.则

2aa

15.已知函数/。)="一6一'一1,则关于x的不等式/(2%)+/(%+1)>-2的解集为.

16.已知函数/(另=芈，g(X)=—,若函数知X)=g(〃X))+m有3个不同的零点XI,X2,X3(X|VX2〈X3),则

2xx-m

2/(毛)+/(%)+/(&)的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)三棱柱ABC-AAG中，平面A41gB，平面ABC,AB=A4,=A3=4,BC=2,AC=2也，点F

为棱A3的中点，点E为线段4G上的动点.

(1)求证：EF1BC；

(2)若直线与E与平面AFG所成角为60°,求二面角后-84-4的正切值.

x-cosa

18.(12分)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为.八以。为极点，大轴正半轴为极轴建立极坐标系,

y-sin0.

7T

设点A在曲线。2：夕Sin6=l上，点8在曲线。3：。=-7■(2>°)上，且AAOB为正三角形.

(D求点A,3的极坐标；

(2)若点P为曲线G上的动点，M为线段AP的中点，求18Ml的最大值.

19.(12分)在①a=2,②a=b=2,③。=c=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AABC的面积

的值(或最大值).已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,三边。，b,c与面积S满足关系式:

4S=b2+c2-a2,且,求AABC的面积的值（或最大值）.

20.（12分）椭圆E：,+，=l（a>人>0）的离心率为乎，点出吟为椭圆上的一点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若斜率为攵的直线/过点A（O,l）,且与椭圆E交于C,。两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的实数攵，

直线BC,BD的斜率之积为定值.

21.（12分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门

为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过

抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：

（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（M，210）,〃近似为这1000人得分的平均

值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求尸（50.5<Z<94）；

（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

（0得分不低于〃可获赠2次随机话费，得分低于〃则只有1次：

（u）每次赠送的随机话费和对应概率如下：

赠送话费（单位：元）1020

2]_

概率

3

现有一位市民要参加此次问卷调查，记x（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附:

7210=14.5,若Z〜则P(〃-3<Z<〃+S)=0.6826,P(〃—23<Z<〃+26)=0.9544.

22.(10分)已知函数/(x)=4sin(tyx+e)[A>O,3>O,-g<0<[]的最小正周期是乃，且当x=工时，/(x)

I22J6

取得最大值2.

(1)求/(X)的解析式；

(2)作出/(%)在[0,句上的图象(要列表).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线机

平行于平面。与平面夕的交线时也有加〃a,〃?/〃?，故②错误；若则加垂直平面

a内以及与平面e平行的所有直线，故③正确；若m/la,则存在直线/ua且〃?/〃，因

为ml/3,所以/，力，从而故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

2.B

【解析】

先根据复数的乘法计算出z,然后再根据共加复数的概念直接写出之即可.

【详解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共朝复数三=1一33

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共朝复数的概念，难度较易.

3.B

【解析】

根据分段函数表达式，先求得了(-1)的值，然后结合了(x)的奇偶性，求得g(/(-1))的值.

【详解】

因为函数/(幻=1’"是奇函数，所以/(—1)=—f(1)=-2,

g(x),x<0

g(/(-D)=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决

问题的能力.

4.B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当P，M，F共线时，|函+4取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点尸(0,1),准线y=-l,

过M作交/于点N,连接尸M

由抛物线定义耳=d,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>|PF|=V4?=4,

当且仅当三点共线时，取“=”号,

+d的最小值为4.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

5.D

【解析】

由圆。：(工一。)2+丁=4与/相切可知，圆心C(c,O)到/的距离为2,即。=2.又SAA"2=2S"OE="=2g,由

此求出。的值，利用离心率公式，求出e.

【详解】

由题意得b=2,SAAFiF2-ab=273,

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.

6.B

【解析】

由数量积的定义可得a2=\af>0,为实数，则由下各=石2G可得同2B=忖2-，根据共线的性质,可判断讶=机再根据

\a\a=即判断万=九由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

若a2b=ba成立，则同2b=停心则向量汗与B的方向相同，且同调=用同，从而口=忖,所以"以

若即=麻，则向量汗与坂的方向相同闾不=阵,从而口=忖，所以G=b.

所以“万2石=B2G，，为“问斤=B,"的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.

7.B

【解析】

Y+2x

根据偶函数性质，可判断a，C关系；由XNO时，/(幻=/_±；,求得导函数，并构造函数g(x)="-x-l,

由g'(x)进而判断函数f(x)在x20时的单调性，即可比较大小.

【详解】

/(x)为定义在R上的偶函数，

所以c=/In与=f-ln^y-^|=/(lnV2)

所以a=c；

f+2x

当xNO时，/(x)=e「；,

贝！|f\x)=e'-x-\,

令g(x)=e*-x-l

贝！|g'(x)=，-l,当x»O时，g'(x)="—12O,

则8(>)=/-8-1在尤2()时单调递增，

因为g(O)=e°—0—1=0,所以g(x)=e'—x—120,

即f'(x)=e'-x-l>Q,

X2-4-2艾

则于(x)=ex-在x>()时单调递增，

而O<ln0<0，所以

/(lnV2)</(V2),

综上可知，/(ln4]=/(ln&)</(&)

<)

即。=CV。，

故选：B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

8.D

【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值/(2)可区分剩余两个选项.

【详解】

]-r2

因为八-x)=------新X)知/(X)的图象不关于y轴对称，排除选项B,C.

1-43

又八2)=-^-=-r<0.排除A,故选D.

ee~

【点睛】

本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.

9.C

【解析】

结合分段函数的解析式,先求出/(-2)，进而可求出/[/(-2)].

【详解】

由题意可得/则

(-2)=32=9,/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故选:C.

【点睛】

本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

10.B

【解析】

根据函数的图象，求得函数/(x)=Asin(2x+g),再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

7T1Jr7T7V

根据给定函数的图象，可得点C的横坐标为工，所以丁7=”-(-7)=二，解得T=不，

32362

所以/(x)的最小正周期丁=〃，不妨令A>0,。<。<乃，由周期丁=〃，所以。=2,

又/(一£|=0,所以9=。，所以〃x)=Asin(2x+3

jrk7T7147r/、f4

令2x+^=时/eZ,解得x=女eZ,当左=3时，x=—,即函数/(x)的一个对称中心为彳万,0

3263\3

即函数/(x)的图象关于点[g乃,o]成中心对称.故选B.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得

三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能

力，属于基础题.

11.B

【解析】

由平行求出参数加，再由数量积的坐标运算计算.

【详解】

由Z//B，得2机一(机+3)=0,则7"=3,

b=(3,6),c-(1,-1),所以石-c=3-6=-3♦

故选：B.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.

12.D

【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.

【详解】

解：选项A中直线〃?，〃还可能相交或异面，

选项B中加，”还可能异面，

选项C,由条件可得〃//二或〃ua.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0(3X3)

【解析】

先利用导数求得曲线y=x’在点(/,片)处的切线方程，由此求得明与。“的递推关系式，进而证得数列｛q｝是等比

数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.

【详解】

••・y=3/，二曲线y=/在点（a,，C）处的切线方程为V-嫁=3。；（%一4）,

则-a：=3a；（%-%）.

2

Van^0,:.a“+i=，

2

则｛4｝是首项为1,公比为§的等比数列，

44

从而。2=|，

91火4=-

7/•=12-27'

3

故所有正确结论的编号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】

本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前〃项和公式,

属于基础题.

14.土立

2

【解析】

设所在直线方程为设点坐标分别为（石,都在。上，代入曲线方程,

43/"：y—l=Z（x-2）A.3Ay）,B（x2,y2）,

两式作差可得21一2=不一1=不*不=1,从而可得直线的斜率，联立直线AB与。的方程，由|AB|=2,利用

弦长公式即可求解.

【详解】

因为是圆的直径，必过圆心（2,1）点，

设AB所在直线方程为&,：V-1=k（x-2）

设4.8点坐标分别为4（%,乂），8（和必），都在。上,

22

工上=1

2a2a2

两式相减,

22

V__2z-=i

2

121a

可得(％—士)(网+WM-％)(X+)‘2)

2

2a2a

6…2=P+X2=」X2=1

%一/2y+%22

(因为(2,1)是AB的中点)，即攵=1

联立直线A3与。的方程：

y^x-1

*Xay~厂―4x+2+2a-=0

2

12"a

又|A3|=2,即|AB『=4,即

(%,-^)2+(^-^)2=4

又因为yx-y1=x{-x2,

则有4=2(再-X2)2=2^(%1+x2)--4X]X2J

=2[42-4(2+2a2)]

即8-8/=2

・一+百

••-i---

2

故答案为：土立

2

【点睛】

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题.

15.(一;,+8)

【解析】

判断8(力=/(月+1的奇偶性和单调性，原不等式转化为g(2x)>T(x+)=g(-x—),运用单调性，可得到所

求解集.

【详解】

令g(x)="x)+l，易知函数g(x)为奇函数，在R上单调递增，

f(2x)+〃x+l)>-2o"2x)+1+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)>0,

，g(2x)>-孰x+)=g(-x-)

2x>-x-\»即x>——

3

故答案为：,+o0^

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

16.(T，O)U(O，g)

【解析】

先根据题意，求出〃(x)=g(/(x))+〃?的解得f(x)=£,或"x)=-〃7,然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及

最值，在根据题意求出函数〃(x)=g(/(x))+〃?有3个不同的零点X”X2,X3(X1VX2〈X3),分情况讨论求出

2/(xJ+/(9)+/(七)的取值范围.

【详解】

解：令t=f(x),函数〃(x)=g(/(x))+〃7有3个不同的零点，

即g(f)=a_+m=0有两个不同的解，解之得4=”/=—加

t-m2

即/(x)=£,或/(x)=-m

因为=的导函数

尸(x)=f(；.丝)(x>0),令/'(x)<0,解得x>e,/((%)>0,解得0<x<e,

可得f(x)在(0,e)递增，在(e,+8)递减；

f(x)的最大值为/(e)=g,且xf0,/(x)f-oo；xf+ooj(x)-0

且f⑴=0;

要使函数〃(x)=g(/(x))+"7有3个不同的零点，

(1)〃x)=£,有两个不同的解，此时〃X)=TW有一个解；

(2)/(力=一加有两个不同的解，此时/(力=£,有一个解

当f(x)=£,有两个不同的解，此时/(力=一加有一个解，

此时一机=!，/〃=一’,不符合题意；

24

或是一m=0,m=0不符合题意；

-m<0

所以只能是，m1解得0<〃?<1

I22

/(%2)=/(x3)=p

此时2〃内)+/(3+/(%,)=-1«,

此时一1〈一〃z<()

"X)=T〃有两个不同的解，此时/(力=£,有一个解

此时丝=_L,〃?=1,不符合题意；

22

或是二=0,m=0不符合题意；

2

m八

—<0

〜21

所以只能是解得一5<加<。

I2

/(工2)=/(不)=一加

此时2〃X|)+/(%)+/(玉)=-加，

0八<-m<—1

2

综上：2/(XJ+/(G)+/(X,)的取值范围是(一l，0)u(0，g)

故答案为(-1，0)口(0，£|

【点睛】

本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想,

属于综合性极强的题目，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(1)见解析；(2)y

【解析】

(1)可证3C，面4EF,从而可得

(2)可证点E为线段4G的三等分点，再过E作于G,过G作垂足为，，则NE/7G为二

面角E-的平面角，利用解直角三角形的方法可求tanNE”G.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用

两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求tanZEHG.

【详解】

证明：(1)因为A5=A4]=4B,尸为A8中点，所以

因为平面照片3J.平面ABC,平面AAABC平面ABC=AB,A/u平面

所以4尸，平面ABC,而BCu平面ABC,故4尸，8。，

又因为BC2+AC2=AB2,所以BC_L4C,则

又AC|CAE=A，故8。_1面4后广，又EFU面A]EF,所以3CLER.

(2)由(1)可得：与G_1面4/&,3田在面AFG内的射影为AG，

则ZB,EC,为直线B,E与平面AFC,所成的角，即Zfi,EC,=60°.

因为BCJ.AC,所以4G，4G，4G=2,所以EG=竽，所以46=半，

即点E为线段4G的三等分点.

解法一：过E作EG_LA用于G,则EG,平面48,

所以EG_L84,过G作G"_L881,垂足为，,

则ZEHG为二面角E—6耳一A的平面角,

因为EG=,AG=2,G”=2x

32

2G

则在用AEHG中，有+EGK2,

tanZEHG=-----=1=一

GH63

2

所以二面角E-BB「4的平面角的正切值为y.

解法二：以点尸为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,—2,0)，A(0,0,26)1(0,2,0),4(0,4,26),C(相,1,0),

设点石(5,为*。)，由章/得：一2出)=：(6,3,01

即/=半，^=2,Z0=2A/3,点后［孚,2,26),

平面A4f8的一个法向量而=(1,0,0),

(2^/3、________

又布=：,0,2百，8瓦=丽.=(0,2,26),

设平面EBq的一个法向量为n=(x,y,z),

----x+2\/iy=0r

则｛3,令x=G，则平面破耳的一个法向量为〃=(3,6,—1).

2y+2cz=0

布•而3

设二面角E-B4—A的平面角为。，贝!|c°se=wp=u，

22

即tan6=§,所以二面角E—Bq-A的正切值为

【点睛】

TT

线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为不得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中

注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可

以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

18.⑴A(2,£),小司(2)—FV3.

2

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解;

(2)设点M的直角坐标为(x,y),则点P的直角坐标为(2X-6,2丁-1).将此代入曲线G的方程，可得点M在以

为圆心，；为半径的圆上，所以|BM|的最大值为|BQ|+g,即得解.

【详解】

n

(1)因为点B在曲线。3：夕=一一(夕>0)上，A496为正三角形,

6

7F

所以点A在曲线。=二(。〉0)上.

6

又因为点A在曲线。2：。0m6=1上,

所以点A的极坐标是(2,",

从而，点3的极坐标是2,一看

(2)由(1)可知，点A的直角坐标为(6,1)，B的直角坐标为(61)

设点M的直角坐标为比丫)，则点P的直角坐标为(2x-V3,2y-1).

凡1n

x=——+—cos/

将此代入曲线G的方程，有22

y=—+—sin。，

r22

(应1>1

即点M在以。修,为圆心，不为半径的圆上.

【22)2

|BQI=J*G)2+(|)2=6

所以的最大值为|BQ|+g=；+G.

【点睛】

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划

归，数学运算的能力，属于中档题.

19.见解析

【解析】

।,222

若选择①，结合三角形的面积公式，得4s=4x：6csinA=〃+c2-a2,化简得到$皿A=生上工勺=cosA,贝!!

22bc

tanA=l,X00<A<180°,从而得到A=45。，

Z.22_2

将。=2代入-----=cosA,^b2+c2=\[2bc+4.

2bc

又回c+4=//+c2N2bc，:・bc<4+2版,当且仅当力=c=)4+2行时等号成立.

:.S=—ftcsinA<—x(4+2夜)x—=收+1,

222

故△ABC的面积的最大值为&+1，此时力=c="+2筋・

若选择②，a=b=2,结合三角形的面积公式,得45=4x《bcsin4=从+j,化简得到sinA="+二-。?=3,

22bc

则tanA=l,又()°<A<180°,从而得到A=45。，

则A=B=45°,此时△ABC为等腰直角三角形，S='x2x2=2.

2

若选择③，b=C=2,则结合三角形的面积公式，得4s=4x»csin4=〃+c2_a2,化简得到

sinA="+c,-a-=cosA,则tanA=l,又0°<A<180°,从而得到A=45。，贝！|S='x2x2xsin45°=血.

2bc2

y2y2

20.(1)—+^-=1；(2)证明见解析

64

【解析】

(D运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得“，b,进而得到椭圆方程；(2)设直线/：丁=辰+1,代入椭圆方程,

运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值.

【详解】

(1)因为e=所以cCI2=Z?2+-^―ci①

33UJ

又椭圆过点(6,五)，所以方+3=1②

由①②，解得〃=6,/=4

所以椭圆E的标准方程为工+片=1.

64

(2)证明设直线/：y^kx+\,

"22

工+匕=1

联立｛64一得(3r+2*+6京一9=0,

y=kx+l

设。(石,y),。(々,必)，

e6k9

贝!]x,+x------——,x.x--------——

123k2+21223k2+2

易知8（0,-2）

故后卜_M+2%+2_依1+3米2+3々29丁+3-（X1+x?）+9

x}x2

i，3Hxi+%）9与-

=k-+—~-+——=k72+3k-（3/+2）=-2

xtx2xtx2

所以对于任意的左，直线BC,BD的斜率之积为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理

和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题.

21.(1)0.8185(2)详见解析

【解析】

(1)利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.

(2)写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.

【详解】

解：(1)从这1000人问卷调查得到的平均值〃为

//=35x0.025+45x0.15+55x0.20+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75

=65

•••由于得分Z服从正态分布N（65,210）,

06R96+0QS44

.・.P（50.5vZ<94）=尸（65—14.5<Z<65+2x14.5）=-------=0.8185

（2）设得分不低于〃分的概率为p,p=P（Z2〃）=；

02251

（或由频率分布直方图知p=0.025+0.15+0.2+上h=0.5=-）

法一：X的取值为10,20,30,40

P（X=10）=；xg=；；

P（X=20）△x1+'幺2=2_；

,72323318

P(X=30)+C；(|针］

p(X=40)」xk，」；

,723318

所以X的分布列为

X10203040

721

P

318918

法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下

2次话费总和203040

2211

P—X——X—

33明033

X的取值为10,20,30,40

121

P（X=10）=—x—=—；

17233

__11147

P（zX=20）=—x-+-x-=—；

'7232918