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文档简介

2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼重点中学九年级(上)期初数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共20.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.若二次根式5x-1有意义,则x的取值范围是(

)A.x>15 B.x≥15 C.2.下列各式中是最简二次根式的是(

)A.8 B.12 C.0.25 D.3.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为(

)A.(x+4)2=17 B.(x-4)2=174.一元二次方程x2-2x-6=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根为0 D.没有实数根5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD=50°,那么∠CAD的度数是(

)

A.20° B.25° C.30° D.40°6.正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是(

)A. B.

C. D.7.某景点去年第一季度接待游客25万人次,第二、第三季度共接待游客150万人次.设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变(x>0),则(

)A.25(1+x)2=150 B.25(1+x)=150

C.25+25(1+x)+25(1+x8.在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,则下列条件中:①a=10,b=8,c=6;②a2=3,b2=4,c2=5;③aA.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点,点P由点A出发,沿A→B→C→D做匀速运动,到达点D停止,则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是(

)

A. B.

C. D.10.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城,在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(单位:km)与甲车行驶时间x(单位:h)之间的函数关系如图所示,根据图象提供的信息,下列结论错误的是(

)A.两城相距480千米

B.乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时

C.当乙车到达B城时,甲车距离B城80千米

D.甲车出发后4小时,乙车追上甲车二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)11.将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是______.12.小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛,她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为86分,72分,81分,若依次按照40%,30%,30%的百分比确定成绩,则她的平均成绩是______分.13.如图,在Rt△BAC和Rt△BDC中,∠BAC=∠BDC=90°,O是BC的中点,连接AO、DO.若AO=3,则DO的长为______.

14.一直角三角形的两边长分别为5和12,则第三边的长是

.15.如图,在△ABC中,点E是BC的中点,点D是△ABC外一点,AD⊥BD,且AD平分∠BAC,连接DE.AB=13cm,AC=9cm,则DE的长为______.

16.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则△BEF的面积为______.

三、解答题(本大题共9小题,共82.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题6.0分)

计算:

(1)18-18.(本小题8.0分)

解方程:

(1)x2+2x-1=0;

19.(本小题6.0分)

为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况,某地区教育部门随机调查了若干名中学生,根据调查结果制作统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:

(I)本次接受随机抽样调查的中学生人数为______,图①中m的值是______;

(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;

(Ⅲ)根据统计数据,估计该地区250000名中学生中,每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数.20.(本小题10.0分)

如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F.

(1)求证:OE=OF;

(2)连接AF,CE直接写出当EF与AC满足什么关系时,四边形AECF是菱形?21.(本小题10.0分)

如图,已知过点B(1,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=2x+4相交于点P(a,2).

(1)求直线l1的解析式;

(2)根据图象直接写出不等式kx+b≥2x+4的解集;

(3)求四边形PAOC22.(本小题10.0分)

如图,长方形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点在边BC上

(1)如图(1),当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时,求AF的长.

(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,

①求证:EF=EG.

②求HF的长.23.(本小题10.0分)

2022年,合肥蜀山区某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,三月份销售256件.四、五月该商品十分畅销.销售量持续上涨.在售价不变的基础上,五月份的销售量达到400件.

(1)求四、五这两个月的月平均增长率;

(2)从六月份起,商场为了减少库存,从而采用降价促销方式,经调查发现,该商品每降价1元,月销量增加40件,当商品降价多少元时,商场月获利6240元?24.(本小题10.0分)

为提升学生的文学素养,培养学生的阅读兴趣,某校准备购进A,B两种图书.经调查,购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示,B种图书每本20元.

(1)当0≤x≤50和x>50时,求y与x之间的函数关系式;

(2)现学校准备购进300本图书,其中购进A种图书x本,设购进两种图书的总费用为w元.

①当x>50时,求出w与x间的函数表达式;

②若购进A种图书不少于60本,且不超过B种图书本数的2倍,那么应该怎样分配购买A,B两种图书才能使总费用最少?最少总费用多少元?25.(本小题12.0分)

如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.

(1)如果AB=AC,∠BAC=90°

①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF,BD所在直线的位置关系为______,线段CF,BD的数量关系为______;

②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;

(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),请直接写出答案.

答案和解析1.【答案】B

解析:解:由题意得,5x-1≥0,

解得,x≥15,

故选:2.【答案】D

解析:解:A、8=22,故A不符合题意;

B、12=22,故B不符合题意;

C、0.253.【答案】B

解析:解:∵x2-8x-1=0,

∴x2-8x=1,

4.【答案】A

解析:解:∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×(-6)=28>0,

∴一元二次方程x2-2x-6=0有两个不相等的实数根,

故选:A.

根据一元二次方程根的判别式求解即可得出.

此题考查了一元二次方程根的判别式.一元二次方程ax5.【答案】B

解析:解:∵矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,

∴DB=AC,OD=OB,OA=OC,

∴OA=OD,

∴∠CAD=∠ADO,

∵∠COD=50°=∠CAD+∠ADO,

∴∠CAD=25°,

故选:B.

只要证明OA=OD,根据三角形的外角的性质即可解决问题;

本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.6.【答案】A

解析:解:∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,

∴k<0,

∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0,常数项小于0,

∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限.

故选:A.

根据自正比例函数的性质得到k<0,然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限.

本题考查了一次函数图象和性质.7.【答案】D

解析:解:∵该景点去年第一季度接待游客25万人次,该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变,

∴该景点去年第二季度接待游客25(1+x)万人次,第三季度接待游客25(1+x)2万人次.

依题意得:25(1+x)+25(1+x)2=150.

故选:D.

根据题意可知:该景点去年第二季度接待游客25(1+x)万人次,第三季度接待游客25(1+x8.【答案】C

解析:解:①∵b2+c2=82+62=100=a2,

∴此三角形是直角三角形;

②∵a2=3,b2=4,c2=5,

∴a2+b2≠c2,

∴此三角形不是直角三角形;

③∵a29.【答案】B

解析:解:当点P在AB上运动时,即0≤x≤2,如图1,

作PH⊥AD于H,AP=x,

∵菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点,

∴∠A=60°,AM=1,

∴∠APH=30°,

在Rt△APH中,AH=12AP=12x,

PH=3AH=32x,

∴y=12AM⋅PH=12⋅1⋅32x=34x;

当点P在BC上运动时,即2<x≤4,如图2,

作BE⊥AD于E,AP+BP=x,

∵四边形ABCD为菱形,∠B=120°,

∴∠A=60°,AM=1,AB=2,BC//AD,

∴∠ABE=30°,

在Rt△ABE中,AE=12AB=1,

PH=3AE=3,

∴y=12AM⋅BE=12×1×3=32;

当点P在CD上运动时,即4<x≤6,如图3,

作PF⊥AD于F,AB+BC+PC=x,则PD=6-x,

∵菱形ABCD中,∠B=120°,

∴∠ADC=120°,

∴∠DPF=30°,

在Rt△DPF中,DF=12DP=12(6-x),

PF=3DF=32(6-x),

∴y=12AM⋅PF=12×1×32(6-x)=34(6-x)=-34x+332,

∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段:当0≤x≤2,图象为线段,满足解析式y=34x;当2≤x≤4,图象为平行于x10.【答案】C

解析:解:由图象可知,两城相距480千米,故选项A不合题意;

由图象可知,乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时,故选项B不合题意;

甲车的速度为:480÷8=60(km/h),乙车的速度为:480÷(7-1)=80(km/h),

当乙车到达B城时,甲车距离B城:480-60÷7=60(km),故选项C符合题意;

设甲出发x小时后,乙车追上甲车,

则60x=80(x-1),

解得x=4,

即甲车出发后4小时,乙车追上甲车,故选项D不合题意.

故选:C.

根据函数图象可得两城相距480千米,乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时,根据“速度=路程÷时间”可得甲乙两车的速度,进而得出相应结论.

本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.11.【答案】y=2x-2

解析:解:根据平移的规则可知:

直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为:y=2x+1-3=2x-2.

故答案为:y=2x-2.

根据函数的平移规则“上加下减”,即可得出直线平移后的解析式.

本题考查了一次函数图象与几何变换,解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键.12.【答案】80.3

解析:解:根据题意得:

86×40%+72×30%+81×30%

=34.4+21.6+24.3

=80.3(分),

∴她的平均成绩是80.3分.

故答案为:80.3.

根据加权平均数的计算公式列出算式,再进行计算即可得出答案.

本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求86,72,81这三个数的平均数,对加权平均数的理解不正确.13.【答案】3

解析:解:在Rt△BAC和Rt△BDC中,∵∠BAC=∠BDC=90°,O是BC的中点,

∴AO=12BC,DO=12BC,

∴DO=AO,

14.【答案】13或119解析:【分析】

本题考查了的勾股定理,当已知条件中没有明确哪是斜边时,要注意讨论.

本题已知直角三角形的两边长,但未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即12是斜边长或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.

【解答】

解:设第三边为x,

(1)若12是直角边,则第三边x是斜边,由勾股定理得:

52+122=x2,

∴x=13;

(2)若12是斜边,则第三边x为直角边,由勾股定理得:

52+x2=1215.【答案】2

解析:解:延长AC、BD交于点H,

在△ADB和△ADH中,

∠BAD=∠HADAD=AD∠ADB=∠ADH=90°,

∴△ADB≌△ADH(ASA),

∴AH=AB=13,BD=DH,

∴CH=AH-AC=4,

∵BE=EC,BD=DH,

∴DE=12CH=2,

故答案为:2.

延长AC、BD交于点H,证明△ADB≌△ADH,根据全等三角形的性质得到AH=AB=13,16.【答案】32解析:解:∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,CM=AE=1,

∴F、C、M三点共线,

∴DE=DM,∠EDM=90°,

∴∠EDF+∠FDM=90°,

∵∠EDF=45°,

∴∠FDM=∠EDF=45°,

在△DEF和△DMF中,

DE=DM∠EDF=∠FDMDF=DF,

∴△DEF≌△DMF(SAS),

∴EF=MF,

设BF=x,则CF=3-x,FM=3-x+1=4-x,EF=4-x,

∵Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,

∴22+x2=(4-x)2,

解得x=32,

∴BF=32,

∴△BEF的面积为12×32×2=32.

故答案为:32.

由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°17.【答案】解:(1)18-27+13

=32-3解析:(1)先根据二次根式的性质进行计算,再根据二次根式的加减法法则进行计算即可;

(2)先根据完全平方公式,平方差公式,二次根式的性质进行计算,再根据二次根式的加减法法则进行计算即可.

本题考查了二次根式的混合运算,完全平方公式和平方差公式等知识点,能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键.18.【答案】解:(1)x2+2x-1=0,

x2+2x=1,

x2+2x+1=2,

(x+1)2=2,

x+1=±2,

所以x1=-2-1,解析:(1)利用配方法得到(x+1)2=2,然后利用直接开平方法解方程;

(2)先移项,再利用因式分解法把方程转化为x-2=0或x-1=019.【答案】解:(I)250;12;

(Ⅱ)平均数为0.5×30+1×60+1.5×120+2×20+2.5×20250=1.38(h),

众数为1.5h,中位数为1.5+1.52=1.5h;

(Ⅲ)估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h解析:【分析】

本题考查平均数、众数、中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.

(I)由1h人数及其所占百分比可得总人数,根据百分比之和为1可得m的值;

(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的定义求解可得;

(Ⅲ)总人数乘以样本中每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数所占比例可得.

【解答】解:(I)本次接受随机抽样调查的中学生人数为60÷24%=250人,

m=100-(24+48+8+8)=12,

故答案为250;12;

(Ⅱ)见答案;

(Ⅲ)见答案.20.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,AB//CD,

∴∠OAE=∠OCF,

在△OAE和△OCF中,

∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF,

∴△AOE≌△COF(ASA),

∴OE=OF;

(2)当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形.

证明:∵△AOE≌△COF,

∴OA=OC,OE=OF,

∴四边形AECF是平行四边形,

∵EF⊥AC,

∴四边形AECF是菱形.解析:(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得OA=OC,AB//CD,则可证得△AOE≌△COF(ASA),继而证得OE=OF;

(2)由△AOE≌△COF,可得OA=OC,OE=OF,可征得四边形AECF是平行四边形,由EF⊥AC,根据菱形的判定即可证的结论.

此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.21.【答案】解:(1)∵点P(a,2)在直线l2:y=2x+4上,

∴2×a+4=2,即a=-1,则P的坐标为(-1,2),

∵直线l1:y=kx+b过点B(1,0),

∴k+b=0-k+b=2,

解得k=-1b=1.

∴直线l1的解析式为:y=-x+1.

(2)不等式kx+b≥2x+4的解集为x≤-1.

(3)∵直线l1与y轴相交于点C,

∴C的坐标为(0,1),

又∵直线l2与x轴相交于点A,

∴A点的坐标为(-2,0)解析:(1)由点P(a,2)在直线l2上,利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出a值,再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式;

(2)kx+b≥2x+4即y=kx+b的函数值大于等于2x+4的函数值,观察函数图象得到当x≤-1时满足条件;

(3)根据面积差22.【答案】(1)解:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,

∴BF=EF,

∵AB=8,

∴EF=8-AF,

在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,

即42+AF2=(8-AF)2,

解得:AF=3;

(2)①证明:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,

∴∠BGF=∠EGF,

∵长方形纸片ABCD的边AD//BC,

∴∠BGF=∠EFG,

∴∠EGF=∠EFG,

∴EF=EG;

②解:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,

解析:(1)根据翻折的性质可得BF=EF,然后用AF表示出EF,在Rt△AEF中,利用勾股定理列出方程求解即可;

(2)①根据翻折的性质可得∠BGF=∠EGF,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BGF=∠EFG,从而得到∠EGF=∠EFG,再根据等角对等边证明即可;

②根据翻折的性质可得EG=BG,HE=AB,FH=AF,然后在Rt△EFH中,利用勾股定理列式计算即可得解.

本题考查了翻折变换的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,勾股定理等知识,熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键.23.【答案】解:(1)设四、五这两个月的月平均增长率为x,

依题意得:256(1+x)2=400,

解得:x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合题意,舍去).

答:四、五这两个月的月平均增长率为25%;

(2)设商品降价m元,则每件获利(40-m-25)元,月销售量为(400+40m)件,

依题意得:(40-m-25)(400+40m)=6240,

整理得:m2-5m+6=0,

解得:m1解析:(1)设四、五这两个月的月平均增长率为x,利用五月份的销售量=三月份的销售量×(1+月平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;

(2)设商品降价m元,则每件获利(40-m-25)元,月销售量为(400+40m)件,利用商场销售该商品月销售利润=每件的销售利润×月销售量,即可得出关于m24.【答案】解:(1)当0≤x≤50时,设y与x之间的函数关系式是y=kx,

50k=1100,

解得:k=22,

∴当0≤x≤50时,y与x之间的函数关系式是y=22x;

当x>50时,设y与x之间的函数关系式是y=ax+b,

则50a+b=1100100a+b=2000,

解得a=18b=200,

∴当x>50时,y与x之间的函数关系式是y=18x+200;

(2)①当x>50时,w=18x+200+20(300-x)=-2x+6200,

∴当x>50时,w与x间的函数表达式为w=-2x+6200;

②∵购进A种图书不少于60本,且不超过B种图书本数的2倍,

∴60≤x≤2(300-x),

解得60≤x≤200,

由①知,w=-2x+6200,

∵-2<0,

∴当x=200时,w最小,最小值为5800,

此时300-200=100,

答:购买A种图书200本,B种图书100本,费用最少,最少费用为5800解析:(1)根据函数图象可以分段求出各段对应的函数解析式;

(2)①当x>50时,设总费用为w元,求出w关于x的关系式;

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