冀教九年级上册《第25章 图形的相似》2021年单元测试卷一（附答案详解）

冀教新版九年级上册《第25章图形的相似》2021年单元

测试卷（1）

1.若3x=5y（yr0）,则下列各式成立的是（）

A.J=-B.*三C—=：D.”马

3y3xx353

2.以下四组线段，成比例的是（）

A.4,3,2,6B.2,4,6,8C.3,4,5,6D.4,6,6,8

3.已知线段a=3czn,b=12cm,若线段c是线段a,b的比例中项，则线段c的长

为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.±6cm

4.如图，已知一组平行线a〃b〃c,被直线〃八〃所截，交点分别为4、B、C和。、

5.如图，在AABC中，点P为4?上一点，连接CP者再添加

一个条件使△AP"ACB相似，则下列选项中不能作为

添加条件的是（）

A.Z.ACP=4B

B./.APC="CB

C.AP-.AC=AC:AB

D.AP:AB=PC-.BC

6.在下列四个三角形中，与△ABC是位似图形且。为位似中心的是（）

A.①B.②C.③D.④

7.下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（）

AA，・△。•口。.口

C.4对

D.5对

10.如图，四边形ABC。为平行四边形，E,F为CQ边的

两个三等分点，连接AF,BE交于点G,则，EFG：

SA.BG=（）

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

11.一种雨伞的截面图（如图所示），伞骨4B=4C,支掌

杆OE=OF=40cm,当点。沿滑动时，雨伞开

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闭.若4B=3AE,4）=34。，此时8、。两点间的距离等于（)

A.60cm

B.80cm

C.100。"

D.120cm

12.如图，在△ABC中，=75°,48=6,AC=8,将△48C

沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的

13.如图，在△4BC中，D,E分别是48,AC的中点，下列说法

中不正确的是（）

A.S^ADE：S△4BC=1：2

CADAE

B.—=一

ABAC

C.xADEfABC

D-DE=lBC

14.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底

的长度之比是手。0.618,称为黄金比例），如图，著名的“断臂

维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的

长度之比也是在匚，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至

2

咽喉的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165C/?2

B.178。机

C.185cm

D.190c/n

15.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕固定点O旋转到位置。C,已知

栏杆A8的长为3.5m,OA的长为3”,C点到48的距离为0.3m,支柱OE的高为0.6m,

则栏杆。端离地面的距离为（）

16.在平面直角坐标系中，已知点4（一4,2）,8（-6,-4）,以原点。为位似中心，相似

比为右把△AB。缩小，则点A的对应点4的坐标是（）

A.(-2,1)B.(—8,4)

C.(一8,4)或(8,-4)D.(—2,1)或(2,—1)

17.已知户/则捻

18.已知：如图B'C'//BC,且。4'：A'A=4：3,

则△ABC与是位似图形，位似比为

19.如图，在△ABC中，点。在48边上，点E在线段

C。上，且BD=CD,AD=AE,4ACB=24B,

（1）若48=36。，则用=；

（2）若4c=2,BC=3,贝|CO=.

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20.已知：5=3=：#0.

234

(1)求等的值；

(2)若x-y+z=6,求代数式3x-2y+z的值.

21.如图，已知点。是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).

⑴以。点为位似中心在y轴的左侧将AOBC放大到原图的2倍(即新图与原图的相

似比为2),画出对应的AOB回

(2)若aOBC内部一点M的坐标为(a,b),则点M对应点M'的坐标是；

(3)求出变化后△0B回C回的面积.

22.如图，直线人〃，2〃，3,AC分别交，1，l2,G于点4,B,C：。尸分别交4,12,，3于

(1)求AC的长；

(2)若BE：CF=1：3,求OB：AB.

23.如图，小超想要测量窗外的路灯P4的高度.星期天晚上，他发现灯光透过窗户照

射在房间的地板上，经过窗户的最高点C的灯光落在地板B处，经过窗户的最低

点D的灯光落在地板A处,小超测得窗户距地面的高度QD=Im,窗高CD=1.5m,

并测得4Q=lm,4B=2m.请根据以上测量数据，求窗外的路灯P”的高度.

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24.如图，在正方形ABC。中，在BC边上取中点E,连接OE,过点E做EF1ED交

AB于点G、交AD延长线于点凡

(1)求证：△ECD-ADEF-,

(2)若CD=4,求AF的长.

25.如图，在AABC中，4c=8厘米，BC=16厘米，点P从点A

出发，沿着AC边向点C以lcm/s的速度运动，点。从点C

出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果。与Q

同时出发，经过几秒APQC和A/IBC相似？

26.猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利

用，因此工人师傅需要把它们截成大小不同的正方形.已知在△4BC中，AC=40,

BC=30,4C=90°.

(1)如图1,若截取AABC的内接正方形OEFG,请你求出此正方形的边长；

(2)如图2,若在△力BC内并排截取两个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△

ABC),请你求出每个小正方形的边长；

(3)如图3,若在△ABC内并排截取三个相同的小正方形(它们组成的矩形内接于△

ABC),请你求出每个小正方形的边长；

(4)猜想：如图4,假设在△力BC内并排截取〃个相同的小正方形(它们组成的矩形

内接于AABC),则每个小正方形的边长是多少？

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A、:可以化成：xy=15,故此选项错误；

B、^=|,可以化成：无y=15,故此选项错误；

C、可以化成：5x=3y,故此选项错误；

D、*可以化成：3x=5y,故此选项正确.

故选：D.

比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中

间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案.

此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积.

2.【答案】A

【解析】解：43=g是成比例线段，选项符合题意；

36

以不是成比例线段，选项不符合题意；

48

C、：¥三不是成比例线段，选项不符合题意；

46

:于9,不是成比例线段，选项不符合题意.

Oo

故选：A.

根据比例的基本性质判断即可.

本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求

解.

3.【答案】C

【解析】解：•.,线段c是线段。和b的比例中项，a=3cm,b=12cm,

・•.c2=ab=36,

解得：c=±6,

又•.•线段是正数，

:.c=6cm.

故选：C.

根据线段比例中项的概念得出«：c=c：b,再根据a=3cm,b-12cm,求出c的值，

注意把负值舍去.

本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求

解.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

根据平行线分线段成比例定理得到黑=需然后利用比例性质可求出EF的长.

BCEF

【解答】

解:Va//b//c,

二殁="，EP-=—,

BCEF3EF

EF=2.4.

故选A.

5.【答案】D

【解析】解：A、当44cp=乙B,44=N4,可得△ACB,故该选项不符合题意；

B、当乙4PC=UCB,乙4=乙4,可得△4PC-△力CB,故该选项不符合题意；

C、当4P：4C=AC：AB,乙4=乙4,可得△APCsaaCB,故该选项不符合题意；

D、当AP：AB=PC：BC,N4=N4无法证明△4PC与△4CB相似，故该选项符合题

忌；

故选：D.

利用相似三角形的判定可求解.

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键.

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6.【答案】B

【解析】解：•••②与△ABC相似，对应点的连线相交于点0,对应边互相平行，

/.②与△ABC是位似图形且0为位似中心，

故选：B.

根据位似图形的概念判断即可.

本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的

连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位

似中心.

7.【答案】D

【解析】解：4两个三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；

8.两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；

C.两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；

D两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故。选项符合要求；

故选：D.

根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案.

本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似

形.

8.【答案】B

【解析】解：VDE//BC,DF//AC,

四边形EDFC是平行四边形，

DF=EC,

设4E=2x,DF=3尤，

・••CE=DF=3x,

***AC=5%,

•・•△BDF~>BAC

:.——DF=——BF,

ACBC

•,*BF=一3,

BC5

故选：B.

根据相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质与判定即可求出答案.

本题考查相似三角形判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本

题属于中等题型.

9.【答案】C

【解析】解：.・•=/AC。，44=乙4,

・•・△4C0〜△ABC,

•:DE"BC,

・•・△ADE^^ABC,

ACD~AADE,

vDE//BC,

・•・乙EDC=Z-DCB,

v乙B=乙DCE,

*'•△CDE~〉BCD,

故共4对，

故选：C.

根据相似三角形的判定定理即可得到结论.

此题考查了相似三角形的判定.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意平

行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可

解决问题.

【解答】

解：••,四边形ABCQ是平行四边形，

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/.CD=AB,CD”AB,

vDE=EF=FC,

・・.EF：AB=1：3,

vCD//AB,

，△EFG~ABAG,

.S&EFG一（EF\2_1

,・S^BAG-G-9’

故选：C.

IL【答案】D

【解析】解：・.・AB=3AE,AD=34。，

ABAD「

：•—=—=3,

AEAO

又・・♦Z,EAO=乙BAD,

/.△A0E~4ADB,

BDABc

,,'-――~"1=3,

OEAE

•••OE—40cm,

BD

•.苗=3o,

解得BD=120cm.

故选：D.

先求出*=*=3,然后判定AAOE和AADB相似，根据相似三角形对应边成比例列式

AEAO

求解即可.

本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判断出△

4。5和44DB相似是解题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项错误；

8、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误.

。、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

故选：D.

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

13.【答案】A

【解析】解：­.•D,E分别是AB,AC的中点,

•••DE是△ABC的中位线，

.DE〃BC——————i

ab-ac-bc-2，

ADE-^is.ABC,DE=-BC,

2

...应匹=(空尸=(与2=1

S&ABC4'

故选：A.

由O,E分别是48,AC的中点，可得出OE是△ABC的中位线，进而可得出DE〃BC,

*=*=北=9，由DE〃BC可得出△4DE-ZMBC,再利用相似三角形的性质可得出

ADACDCL

受匹此题得解.

S—BC4

本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质找

出守=:是解题的关键.

5AABC4

14.【答案】B

【解析】解：设某人的咽喉至肚脐的长度为则

—«0.618,

X

解得x«42.072,

设某人的肚脐至足底的长度为四〃1,则

-2-6-+--4-2-.-0-7-2-X0-.6r1e8,

y

解得y»110.149,

其身高可能是110.149+0.618y178(cm),

故选：B.

依据黄金分割可得某人的咽喉至肚脐的长度，再根据黄金分割，可得其身高可能是

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178cm.

本题主要考查了黄金分割，利用黄金比例进行计算是解决问题的关键.

15.【答案】C

【解析】解：过。作DG1AB于G,过C作CH1AB于

H,

则OG〃CH,

ODG〜AOCH1

aDG_0D

•・丽一'oc"

•・•栏杆从水平位置A8绕固定点。旋转到位置DC,

・•.CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,

・•・OC=0.5m,

,DG_3

"o.3-o.5J

・•・DG=1.8m,

vOE—0.6m,

・•・栏杆。端离地面的距离为1.8+0.6=2.4m.

故选：C.

过。作DG14B于G,过。作CH,ZB于"，则DG〃CH,根据相似三角形的性质即可

得到结论.

本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

16.【答案】D

【解析】解：•••点4(—4,2),B(—6,-4),以原点。为位似中心，相似比为去把AAB。缩

小，

二点A的对应点A的坐标是：(一2,1)或

故选：D.

根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为鼠那么位似

图形对应点的坐标的比等于％或-匕即可求得答案.

此题考查了位似图形与坐标的关系.此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位

似变换是以原点为位似中心，相似比为A,那么位似图形对应点的坐标比等于土k.

17.【答案】2

【解析】解：

b7

5.

Aa=-D,

7

a前5

---=1—=—

a+b^b+b12

故答案为：*

利用比例的性质得到a=^b,代入代数式即可得到结论.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例性质是解题的关键.

18.【答案】△A'B'C7：4

【解析】解：B'C'//BC,

：.^ABC-^A'B'C,

•_A_iB_>_—_B_f_O_B_I_C_I____O__B_i

"ABBO'BCOB'

Z.A'B'0=/.ABO,Z.C'B'0=乙CBO,

.•.誓=器，41®C，=〃BC,

ABBC

：.LABC-LA'B'C,

位似比=AB：A'B'=OA：OA'=(4+3)：4+=7：4.

由平行易得△ABC-ZiA'B'C',且两三角形位似，位似比等于OA'：。4.

用到的知识点为：相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比.

19.【答案】3一久源

25

【解析】解：(1)・・,BD=CD,

:.乙B=乙BCD=36°,

：•Z-ADC=72°,

vAD=AE,

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・，・Z.ADE=JLAED=72°,

:.^LDAE=180°-Z.ADE-Z.AED=36°,

viACB=2乙B,

・•・乙ACB=72°,

・•・Z.ACD=36°,

v/.AED=/LEAC+Z-ACD=72°,

・・・Z.EAC=Z.ACD=36°,

・•・AE-EC=ADj

vZ-ACD=乙DAE=36°,Z-ADE=(ADC,

AED^/LCADJ

:.A一D=一CD,

DEAD

AD2=CD•DE=DE•(AD+DE)

.-.DE=^AD，(负数舍去)

•••CD=DE+AD=—AD,

2

DE3-V5

•'CD-2

故答案为U；

2

(2)•・•BD=CD,

:、乙B=乙BCD,

・•・Z.ADC=乙B+乙BCD=2zF,

,:乙ACB=2乙B,

:.Z-ACB=z^ADC,Z-ACD=乙B,

・••△/CD〜△ABC,

ACADCD

••AB~AC~BC'

ADCD

：・一=一,

23

设AD=2Q,CD=3Q=BD,

ACAD

・AB~~AC"

.2_2a

••2a+3a—2'

V1O

:，a=—，

.•.CD=幽

5

故答案为：亚亚.

5

(1)通过证明△AEDs/ca。，可得胃=黑，可求CDAD,即可

求解；

(2)通过证明△AC。-△力BC,可得若%可求解.

本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题

的关键.

20.【答案】解：⑴W=3，

/4

:.一X=一2,

Z4

・•・——x+z=一X,+1.=—2+.1Y=-6=3

ZZ442

(2)设|=(=：=k(kH0),则％=2k,y-3/c,z-4fc,

把x=2k,y=3fc,z=4攵代入x—y+z=6,得2k—3k+4k=6,

解得k=2,

%=4,y=6,z=8,

：•3x—2y+z=12—12+8=8.

【解析】(1)根据9=3,得出2=1再根据管=2+1,然后代值计算即可得出答案；

(2)根据比例的性质，可用设|=：=；=k(kRO),进而解答即可.

本题考查了比例的性质，关键是利用了比例的性质解答.

21.【答案】(一2。,一2匕)10

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【解析】解：⑴如图，△。照C回为所作;

(2)点M对应点M'的坐标为(一2见一2匕)；

(3)△。8回CE1的面积=4s△OCB=4x(2x3-ix2xl-|x2xl-|x3xl)=10.

故答案为(—2a,-2b)；10.

(1)把B、C的横纵坐标都乘以-2得到B'、C'的坐标，然后描点即可；

(2)利用(1)中对应点的关系求解；

⑶先计算4OBC的面积，然后利用相似的性质把^OBC的面积乘以4得到△OBE1C团的

面积.

本题考查了作图-位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的

关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形.

22.【答案】解：(1)vIJ/lzf/lz，

.DE_AB

*,,

DFAC

即3=—,

3+6AC

解得：AC=12;

(2)・・•切/沙/如

BEOB1

--=--=

CFOC3

VAB=4,AC=12,

:.BC=8,

・•・08=2,

・・・OB-.AB=2:4=1:2

【解析】(1)利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.

(2)利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对

应线段成比例.

23.【答案】解：•：DQ工BP,

・・・乙CQB=90°.

・・•QD=lm,QA=1m,

:.Z-QAD=45°.

・・•PHA.PB,乙HAP=45°,

・•・PH=PA.

设PH=P4=%m.

PH上PB,CQ工PB,

・・・PH//CQ,

•••△QBC~〉PBH,

CQ_BQ

•t•一，

PHPB

-1.-5-+-1=-1-+-2,

xx+2

解得x=10.

经检验，x=10是原方程的解且符合题意.

答：窗外的路灯的高度是10/n.

【解析】首先根据Q。=QE=1m,可得4QAD=45。，然后证明PH=P力，再证明△

PBHFQBC,可得黑=器，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案.

此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出PH=P4根据相似三角形

的判定方法证明^PBHS4QBC.

24.【答案】(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，EF1ED,

：.4FED=ZC=90°,BC//AD,

・••Z-CED=Z.FDE,

•••△ECD~ADEF：

(2)解：•••四边形ABC。是正方形，

•••ZC=90°,AD=BC=CD=4,

.:E为5c的中点,

第20页，共23页

•••CE=-BC=2,

2

在RtZkDCE中，由勾股定理得：DE=WE?+DC2=+4?=2遥,

ECD~ADEF,

CDDE

:.——=—,

DEDF

4_2y/5

-2V5-DF，

解得：DF=5,

vAD—4,

・•・4F=DF-A。=5—4=1.

【解析】(1)根据正方形的性质得出匕FED="=90。，BC//AD,根据平行线的性质得

出NCED=4FDE,再根据相似三角形的判定得出即可；

(2)根据正方形的性质得出NC=90°,AD=BC=CD=4,求出CE,根据勾股定理求

出。E,根据相似得出比例式，代入求出即可.

本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识

点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

25.【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，

则CP=4C-AP=8-x,CQ=2x,

⑴当CP与CA是对应边时，华=装，

ACDC

即Qi=三，

816

解得久=4秒；

(2)当CP与BC是对应边时，得=笔，

即七=三，

168

解得％=I秒；

故经过4或|秒，两个三角形相似.

【解析】设经过x秒APQC1和AABC相似，先求出CP=8-x,CQ=2x,再利用相似

三角形对应边成比例列式求解即可.

本题主要利用相似三角形对应边成比例求解,因为对应边不明确，所以要分两种情况讨

论求解.

C

26.【答案】解：

G/i\尸

(1)如图1中，/.V：\

/

过点C作CN1,/____________

A

---------D^E~~冲。图9EB

AB分别交G