天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试卷（含答案）

南开中学2024届高三第三次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第I卷一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.已知直线，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为（）A.B.C.D.4.设，则的值为（）A.B.C.26D.275.若则的大小关系为（）A.B.C.D.6.如图，实心正方体的棱长为4，其中上､下底面的中心分别为.若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）A.B.C.D.7.已知抛物线准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（）A.B.C.D.8.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A.10B.14C.20D.249.已知函数，有下列命题：（）①为函数图象的一条对称轴②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为③在上有3个零点，则实数的取值范围是④函数在上单调递增其中错误的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4第II卷二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）10.已知是虚数单位，复数__________.11.在的展开式中，常数项为__________.（结果用数字表示）12.圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________.13.2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.14.已知平行四边形的面积为为线段的中点.则__________，若为线段上的一点，且，则的最小值为__________.15.牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，则的2次近似值为__________；设，数列的前项积为.若任意的恒成立，则整数的最小值为__________.三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知的面积为，.（1）求和的值；（2）求的值.17.（本小题满分15分）如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，平面平面.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围.18.（本小题满分15分）椭圆，长轴长为（为半焦距），左顶点为，过点作直线与椭圆交于另一个点（点在第一象限），两点均在椭圆上且关于轴对称，点为坐标原点，直线的斜率为，直线与的外接圆（为圆心）相切于点，与椭圆交于另一个点，且；（1）求椭圆的离心率；（2）求直线与直线的斜率；（3）求椭圆的标准方程.19.（本小题满分15分）已知数列，，即当时，，记.（1）求的值；（2）求当，试用的代数式表示（3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.20.（本小题满分16分）设是正整数，为正有理数.（1）求函数的最小值；（2）证明：；（3）设，记为不小于的最小整数，例如.令，求的值.（参考数据：）2024届南开中学高三第三次月考数学学科参考答案一､单选题1-9DABABDCDB二､填空题10.11.12.13.15014.，15.，三､解答题16.解：（1）在中，由，为钝角，，的面积为，可得，即，则，联立，解得，由，可得，由正弦定理得，即，解得.（2）且为锐角，，，.17.解：（1）在等腰梯形中有，所以且，所以，即，因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.所以，因为面面.因为面，所以.（2）由（1）知平面且，如图，以为原点，正方向为轴，轴，轴正向建立空间直角坐标系，则，所以，设为平面的一个法向量，则，令，则，所以，所以点到平面的距离为；（3）令，则，则，设为平面的一个法向量，则，令，则，所以，而平面平面，所以平面的一个法向量为，所以，又，所以，所以，故的取值范围为.18.（1）因为长轴长为，所以离心率.（2）设椭圆方程为，直线的方程为，联立方程可得：，韦达定理，，代入，得，即点；所以，解得，所以直线的斜率为.所以的外接圆圆心，因为，所以直线的斜率为.（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得：，由韦达定理：可得，代入直线方程则，所以；所以；.因此，椭圆的方程为.19.解：（1）依题意：，由得，所以；（2）①当为奇数时，为偶数，②当为偶数时，为奇数，；综上：；（3）由（2）知，当时，，因为是的整数倍，所以为整数，所以为奇数，由得，所以满足条件的的个数为，所以集合中元素的个数为1024.20.解：（1）依题意，，而为正有理数，由，解得，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值为.（2）由（1）知，当时，，即，，当且仅当