三角函数的简单应用 高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.8三角函数的简单应用新授课想一想：说出你所知道的具有周期现象的生活例子.周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型．面对实际问题建立数学模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B是一项重要的基本技能．1.了解三角函数是研究周期变化的重要模型.2.对一些简单的周期变化能够选择适当的三角函数模型，用来刻画和解决实际问题.例1

当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，右边是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.（1）根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温建立一个函数模型；（2）当平均气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间.解：（1）根据表格可画图，如图所示，由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，可以考虑用t＝Acos(ωx＋φ)＋B来描述.由最高气温为17.9℃，最低气温为9.5℃，tmax＝A＋B，tmin＝－A＋B，∵x＝2时，t取最大值，即ωx＋φ＝0，∴为惠灵顿的月平均气温函数模型.（2）当平均气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间.（2）如图所示，作直线t=13.7与函数图象交于两点：（5，13.7），（11，13.7），这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间.例2

水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图，设水车(即圆周)的直径为3m，其中心(即圆心)O到水面的距离b＝1.2m，逆时针匀速旋转一周的时间是

min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位：m).（1）求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式，并画出这个函数的图象；（2）当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，说所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？OPbR由已知可得：R＝1.5m，b＝1.2m，水车转一圈所需时间为

，转速为rad/s，解：设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面下时，点P距水面的高度为负值.（1）作PM垂直于水面，ON垂直于PM，设Q为为水车与水面的交点，∠QON＝φ，OPbRQMN设从点Q时开始计时(t＝0)，旋转t

s水车转动的角的大小为α，即∠QOP＝α＝ωt＝rad.从图中不难看出：h＝PM＝PN＋NM＝Rsin(α－φ)＋b.OPbRQMN∵sinφ＝

，∴φ≈53.1°＝0.295π，因此h关于时间t的函数解析式为

找出使

取

的五个关键点：(11.8，1.2)，(31.8，2.7)，(51.8，1.2)，(71.8，－0.3)，(91.8，1.2)，描点连线，画出函数在区间[0，91.8]上的图象.（2）当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，说所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？OPbR（2）雨季河水上涨或旱季河河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化，水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车转速加快，将迟周期T减小，转速减慢这时周期T增大.总结归纳解三角函数应用问题的基本步骤

（1）审题：读懂题目中的“文字”“图象”：“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题.（2）建模：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型.（3）解模：利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果.（4）回归实际问题：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学的科学性，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验.1.如图所示,某海湾相对于平均海平面的水面高度h(单位:米)在某天24时内的变化情况