随机事件的运算 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

新授课7.1.4随机事件的运算 1.通过具体的实例理解交事件(或积事件)、并事件(或和事件)、互斥事件和对立事件的概念. 2.能结合实例进行随机事件的交、并运算.

问题1:在试验E“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”中,它的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.设事件A表示“掷出的点数为偶数”,事件B表示“掷出的点数大于4”,事件C表示“掷出的点数为6”,则C与事件A,B有何关系？知识点1:交事件和并事件在试验中,事件A,B都发生,则掷出的点数既是偶数又大于4,因此事件C发生；反之,若在一次试验中事件C发生,因为6是偶数又大于4,所以事件A,B都发生.

思考:根据前面的知识知道可以用集合来表示随机事件,试从集合运算的角度分析事件C与事件A,B有何关系.A={2,4,6},B={5,6},C={6}.A∩B={6}=C 由事件A与B都发生所构成的事件,称为事件A与B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).事件A∩B是由事件A和B所共有的样本点构成的集合. 事件A与B的交事件可用Venn图(如下图)表示:概念生成ABA∩B

问题2:在试验E“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示“掷出的点:数为偶数”,事件B表示“掷出的点数大于4”,事件C表示“掷出的点数为2,4,5,6其中之一”,则事件C与事件A,B有何关系？

若事件A,B至少有一个发生,则掷出的点数要么是偶数,要么大于4,因此事件C发生； 反之,若事件C发生,则事件A,B至少有一个发生.思考:试从集合运算的角度分析事件C与事件A,B的关系.A={2,4,6},B={5,6},C={2,4,5,6}A∪B={2,4,5,6}=CA∪BBA

一般地,由事件A,B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A,B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B),事件A,B的并事件是由事件A或B所包含的样本点构成的集合.

事件A,B的并事件可用Venn图表示:概念生成

问题3:在试验E“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示“掷出的点数为偶数”,事件B表示“掷出的点数为5”.则事件A与B能否同时发生？知识点2:互斥事件和对立事件 若事件A发生,则掷出的点数必为2,4,6之ー,事件B不发生；反之,若事件B发生,则掷出的点数为5,事件A不发生. 因此,事件A,B不能同时发生.事件A,B不能同时发生,则它们没有公共的样本点,即它们的交集是空集.A={2,4,6},B={5}A∩B=

事件A与B不能同时发生.思考:你能从集合运算的角度分析事件A,B的关系吗? 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=

)称为互斥事件.即A,B同时发生这一事件是不可能事件. 互斥事件可用Venn图表示:概念生成ABΩ

思考:抛掷一枚骰子,A=“掷出的点数为偶数”={2,4,6},B=“掷出的点数为奇数”={1,3,5},求A∩B,A∪B,此时A,B是什么关系?A∩B=

,此时A,B必有一个发生,但不可能同时发生,因此它们是互斥事件.A∪B={1,2,3,4,5,6}=Ω概念生成

A

Ω给定事件A,A不发生记为事件B.每次试验要么A发生,要么A不发生(即B发生),故事件A与B不可能同时发生,即A∪B=Ω,A∩B=

1.互斥事件与对立事件的区别与联系:对立一定互斥,但互斥未必对立.互斥对立①A发生,B不发生②B发生,A不发生③A,B都不发生①A发生,B不发生②B发生,A不发生事件A,B在不同关系下可能出现的情形:归纳总结ABΩA

Ω互斥对立2.随机事件的运算含义.事件的关系或运算含义符号表示交事件(积事件)并事件(和事件)互斥事件对立事件A与B至少一个发生A∪B或A＋BA与B同时发生A∩B或ABA与B不能同时发生A∩B＝

A与B有且仅有一个发生A∩B＝

,A∪B＝ΩABA∩BA∪BBAABΩA

Ω

例1.把标号为1,2,3,4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人1张,事件A表示随机事件“甲分得1号卡片”,事件B表示随机事件“乙分得1号卡片”. (1)A∩B,A∪B分别指什么事件？ (2)事件A与B是否为互斥事件？若是互斥事件,则是否互为对立事件？若不是对立事件,请分别说出事件A、B的对立事件.

解:(1)根据题意,A,B不可能同时发生,所以A∩B是不可能事件；A∪B表示“甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”.

例2.在试验E5“连续抛掷一枚骰子2次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;(2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否为互斥事件；(3)试用事件Aj表示随机事件A.解:试验E5的样本空间为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)Ω5=(1)由题意知:事件A=事件B=所以A∩B=A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)},{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.{(1,5)},{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

(2)事件C表示“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}. 因为A∩B={(1,5)}≠

,A∩C={(1,4)}≠

,B∩C=

,所以事件A与B,A与C不是互斥事件,B与C是互斥事件. (3)事件Aj表示“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j,所以 A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)} 所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.

练一练解:用H代表“出现正面”，用T代表“出现反面”．Ω＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH，TTT}，事件A＝{HHH，HHT，HTT，HTH}，事件B＝{HHH，TTT}，事件C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}．(1)A∪B＝{HHH，HHT，HTT，HTH