线性系统的时域分析

第三章线性系统的时域分析3-1时间响应

3-2一阶系统的时间响应3-3二阶系统的时间响应3-4瞬态响应的性能指标

3-5系统的误差分析第三章线性系统的时域分析系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。

系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。第三章线性系统的时域分析3-1时间响应时间响应的概念稳态响应瞬态响应时间趋于无穷大时，系统的输出状态。其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。第三章线性系统的时域分析3-2一阶系统的时间响应1、一阶系统的数学模型当初始条件为零时，其传递函数为

T-时间常数

第三章线性系统的时域分析对上式取拉氏反变换，得

1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)第三章线性系统的时域分析2、一阶系统的单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应的特点第三章线性系统的时域分析xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo(∞)=1，无稳态误差。当t=0时，初始斜率为时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T越小，C(t)响应越快，达到稳态用的时间越短，即系统的惯性越小。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T～4T。第三章线性系统的时域分析当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即3、一阶系统的脉动响应一阶系统单位脉冲响应的特点第三章线性系统的时域分析xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号都如此。当t=0时，初始斜率为即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变系统及非线性系统。

第三章线性系统的时域分析规律

凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。第三章线性系统的时域分析3-3二阶系统的时间响应1、二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：其中，T—为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。－自然频率（或无阻尼固有频率）

－阻尼比（相对阻尼系数）

二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示

第三章线性系统的时域分析二阶系统的特征方程：

特征根为：

下面分四种情况进行说明：

(1)欠阻尼

令

－衰减系数

－阻尼振荡角频率，得

第三章线性系统的时域分析2、二阶系统的单位阶跃响应

h(t)

第三章线性系统的时域分析欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点:第三章线性系统的时域分析瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定。振荡幅值随ξ减小而加大。(2)临界阻尼

第三章线性系统的时域分析临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应特点※单调上升，无振荡、无超调※xo(∞)=1，无稳态误差。(3)过阻尼

第三章线性系统的时域分析第三章线性系统的时域分析特点※单调上升，无振荡，过渡过程时间长※xo(∞)=1，无稳态误差。(4)无阻尼（ξ=0）状态

系统有一对共轭虚根

系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：第三章线性系统的时域分析第三章线性系统的时域分析3、二阶系统的单位脉冲响应第二章控制系统的数学模型及传递函数

结论二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ξ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定ξ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长0<ξ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快ξ=0时，出现等幅振荡第三章线性系统的时域分析3-4瞬态响应的性能指标

假设前提

1）系统在单位阶跃信号作用下2）初始条件为0，即在单位阶跃输入作用前，系统处于静止状态。第三章线性系统的时域分析延迟时间td：单位阶跃响应c(t)达到其稳态值的50%所需的时间。上升时间tr：响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。峰值时间tp：响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：调整时间ts：响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的

±2%或±5%）内所需的时间。td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。Mp用来评定系统的相对平稳性。第三章线性系统的时域分析表示性能指标的单位阶跃响应曲线

第二章控制系统的数学模型及传递函数

结论二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。通常根据允许的最大超调量来确定ξ。一般选择在0.4～0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp，但系统快速性降低，tr、tp增加。

当ξ=0.7时，系统的Mp、ts均小，故称其为最佳阻尼比。第三章线性系统的时域分析1）误差：

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

2）稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t→∞）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：3-5系统的误差分析1、误差及稳态误差的概念从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。

第三章线性系统的时域分析系统的开环传递函数可写成下面的形式：第三章线性系统的时域分析2、系统的类型可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：第三章线性系统的时域分析1）静态位置误差系数Kp

第三章线性系统的时域分析按输入信号的不同来定义各种静态误差系数，并求相应的稳态误差。

当输入为单位阶跃时的稳态误差，称为位置误差

3、静态误差系统与稳态误差2）静态速度误差系数Kv

第三章线性系统的时域分析当输入为单位斜坡时的稳态误差，称为速度误差。

称为静态速度误差系数。

3）静态加速度误差系数Ka第三章线性系统的时域分析当输入为单位加速度时的稳态误差，称为加速度误差。称为静态加速度误差系数。第三章线性系统的时域分析第二章控制系统的数学模型及传递函数

结论不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有意义。第三章线性系统的时域分析4、扰动作用下的稳态误差考虑图示系统，图中为系统的参考输入，为系统的扰动作用。

扰动偏差传递函数为：

所以，扰动引起的稳态偏差：

由扰动引起的输出为：即系统误差：

稳态误差：

第三章线性系统的时域分析第二章控制系统的数学模型及传递函数

本章小结时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但