北师大实验中学2024届数学高一第二学期期末达标测试试题含解析

北师大实验中学2024届数学高一第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若且则的值是().A． B． C． D．2．下列选项正确的是（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则3．在直角中，，线段上有一点，线段上有一点，且，若，则（）A．1 B． C． D．4．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31 B．15 C．8 D．75．在中，是上一点，且，则（）A． B．C． D．6．若，且，则的值为A． B． C． D．7．如果成等差数列，成等比数列，那么等于（）A． B． C． D．8．已知平面上四个互异的点、、、满足：，则的形状一定是（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形9．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（）A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．210．记等差数列的前n项和为.若，则（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设无穷等比数列的公比为，若，则__________________．12．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．13．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．14．若则的最小值是__________．15．已知角的终边经过点，则的值为____________.16．从原点向直线作垂线，垂足为点，则的方程为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边的长.18．已知圆过点.（1）点，直线经过点A且平行于直线，求直线的方程；（2）若圆心的纵坐标为2,求圆的方程.19．已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．20．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值.21．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD;（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】由题设，又，则，所以，，应选答案C．点睛：角変换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．2、B【解题分析】

通过逐一判断ABCD选项，得到答案.【题目详解】对于A选项，若，代入，，故A错误；对于C选项，等价于，故C错误；对于D选项，若，则，故D错误，所以答案选B.【题目点拨】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.3、D【解题分析】

依照题意采用解析法，建系求出目标向量坐标，用数量积的坐标表示即可求出结果．【题目详解】如图，以A为原点，AC，AB所在直线分别为轴建系，依题设A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故选D．【题目点拨】本题主要考查解析法在向量中的应用，意在考查学生数形结合的能力．4、B【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.【题目详解】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.故选：B.【题目点拨】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.5、C【解题分析】

利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果．【题目详解】因为是上一点，且，则．故选：C．【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题．6、A【解题分析】

利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【题目详解】解：，且，，则，故选A．【题目点拨】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．7、D【解题分析】

因为成等差数列,所以,因为成等比数列,所以,因此.故选D8、C【解题分析】

由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【题目详解】设边的中点，则所以在中，垂直于的中线，所以是等腰三角形.故选C.【题目点拨】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.9、A【解题分析】

【题目详解】，选A.【题目点拨】本题考查由两直线平行求参数.10、D【解题分析】

由可得值，可得可得答案.【题目详解】解：由，可得，所以，从而，故选D.【题目点拨】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由可知,算出用表示的极限,再利用性质计算得出即可.【题目详解】显然公比不为1,所以公比为的等比数列求和公式,且,故.此时当时,求和极限为,所以,故,所以,故,又,故.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查等比数列求和公式,当时.12、16【解题分析】

利用及可计算，从而可计算的值.【题目详解】因为，故，因为，故，故，故填16.【题目点拨】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．13、【解题分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．【题目详解】因为，所以整理可得，由正弦定理得因为，所以所以当时，的面积的最大值为【题目点拨】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．14、【解题分析】

根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【题目详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【题目点拨】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.15、【解题分析】

由题意和任意角的三角函数的定义求出的值即可．【题目详解】由题意得角的终边经过点，则，所以，故答案为．【题目点拨】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16、.【解题分析】

先求得直线的斜率,由直线垂直时的斜率关系可求得直线的斜率.再根据点斜式即可求得直线的方程.【题目详解】从原点向直线作垂线,垂足为点则直线的斜率由两条垂直直线的斜率关系可知根据点斜式可得直线的方程为化简得故答案为:【题目点拨】本题考查了直线垂直时的斜率关系,点斜式方程的应用,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理实现边角转化，逆用两角和的正弦公式，进行化简，最后可求出角的大小；（2）利用面积公式结合，可以求出的值，再利用余弦定理可以求出边的长.【题目详解】（1）在中，由正弦定理得，，故，，，代入，并两边同除以，得：，即，因为在中，，所以，故，又由可得，所以，同样由得：.（2）因为的面积为，所以，又由（1）得：，所以，，又，所以，.由余弦定理得：所以.【题目点拨】本题考查了了正弦定理的应用，考查了面积公式，考查了利用余弦定理求边长，考查了数学运算能力.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）求出直线的斜率，由直线与直线平行，可知这两条直线的斜率相等，再利用点斜式可得出直线的方程；（2）由题意得出点在线段的中垂线上，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出圆的半径，于此可写出圆的标准方程．【题目详解】（1）直线过点，斜率为，所以直线的方程为，即；（2）由圆的对称性可知，必在线段的中垂线上，圆心的横坐标为：，即圆心为：，圆的半径：，圆的标准方程为：.【题目点拨】本题考查直线的方程，考查圆的方程的求解，在求解直线与圆的方程中，充分分析直线与圆的几何要素，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题．19、（1）；（2）1【解题分析】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出试题解析：（1）由题设及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因为，由勾股定理得故，得所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形20、(1)最小正周期是(2)【解题分析】

（1）运用辅助角公式化简得；（2）先计算的值为，构造，求出的值.【题目详解】（1）因为，所以，所以函数的最小正周期是.（2）因为，所以，因为，所以，所以，则【题目点拨】利用角的配凑法，即进行角的整体代入求值，考查整体思想的运用.21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．3分因为DF⊂平面A1CD，B